高中数学中难题型-高中数学有概率吗
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多维层次练6
[A级 基础巩固]
1．已知点(－3，－1)
和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，
则a的取值范围为( )
A．(－24，7)
B．(－7，24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
解析：根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)＜0，
即(a＋7)(a－24)＜0，解得－7＜a＜24.
答案：B
x≥0，
?
?
2．在平面直角坐标系中，不等式组
?
x＋y≤2，
所表示的
平面区域
?
?
x≤y
的面积为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：不等式组表示的平面区域是以点(0，0)，(0，2)和(1，1)为<
br>顶点的三角形区域(含边界)，
1
则面积为
×2×1＝1，故选A.
2
答案：A
?
?
2x－y≤4，
3．(2018·天津卷
)设变量x，y满足约束条件
?
则目标
－x＋y≤1，
?
?
y≥0，
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- 1 -
x＋y≤5，
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函数z＝3x＋5y的最大值为( )
A．6
C．21
B．19
D．45
解析：画出可行域如图中阴影部分所示，
3
z
由z＝3x＋5y得y＝－
x＋.
55
3
3
z
设直线l
0
为y＝－x，平移直线l
0
，当直线y＝－
x＋
过点A(2，
555
3)时，z取得最大值，
z
max
＝3×2＋5×3＝21.
故选C.
答案：C
2x＋3y－3≤0，
?
?
4．(2017·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件?
2x－3y＋3≥0，
则z＝
?
?
y＋3≥0，
2x
＋y的最小值是( )
A．－15 B．－9 C．1 D．9
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- 2 -
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解析：不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
将目标函
数z＝2x＋y化为y＝－2x＋z，作出直线y＝－2x，并平
移该直线，知当直线y＝－2x＋z经
过点A(－6，－3)时，z有最小值，
且z
min
＝2×(－6)－3＝－15.
故选A.
答案：A
5．(2020·长沙一中第三次调研)在平面直角坐标系xO
y中，M为不
2x＋3y－6≤0，
?
?
等式组
?
x＋y－
2≥0，
所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是
?
?
y≥0
( )
A．1 B.2 C．2 D．22
解析：作出不等式组表示的可行
域如图中阴影部分所示，因此|OM|
的最小值为点O到直线x＋y－2＝0的距离．
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|－2|
所以|OM|
min
＝
＝2.
2
答案：B
6．(2019·北京卷)若x，y满足|x|≤1－y，且
y≥－1，则3x＋y的
最大值为( )
A．－7 B．1 C．5 D．7
?
y－1≤x≤1－y，
解析：|x|≤1－y，且y≥－1等价于
?
表示的平面
?
y≥－1，
区域如图中阴影部分所示．
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令3x＋y＝z，则y＝－3x＋z.
作直线l
0
：y＝－3x，并进行平移．
显然当l
0
过点
A(2，－1)时，z取最大值，z
max
＝3×2－1＝5.
答案：C
x－2y＋4≤0，
?
?
y＋1
7．(2020·郑州质检)已知变量x，y
满足
?
x≥2，
则k＝
x－3
?
?
x＋y－6≥0
，
的取值范围是( )
1
A．k＞或k≤－5
2
1
C．k≥或k＜－5
2
1
B．－5≤k＜
2
1
D．－5＜k≤
2
解析：作不等式组表示的平面区域，如图所示．
由于k＝表示动点M(x，y)与定点P(3，－1)连线的斜率．
x－3
y＋1<
br>4－（－1）
1
又k
PA
＝
＝－5，且直线x－2y＋4＝0
的斜率为
.
2
2－3
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1
所以k＞或k≤－5.
2
答案：A y≥1，
?
?
8．已知实数x，y满足
?
y≤2x－1，
如果目标函数z＝x－y的最小
?
?
x＋y≤m，
值为－1，则实数m等于
( )
A．7 B．5 C．4 D．1
解析：绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，
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?
m＋12m－1
?
?
y＝2x－1，
?
联立直线方程
?
可得交点坐标为A
?
，
??
，
3
??
3
?
y＝－x＋m，
由目标函数的几何意义可知目标
函数在点A处取得最小值，
m＋12m－1
所以－＝－1，解得m＝5.
33
答案：B
x≤2，
?
?
9．(2019·北京卷)若
x，y满足
?
y≥－1，
则y－x的最小值
?
?
4x－3y
＋1≥0，
为________，最大值为________．
解析：作出可行域，如图阴影部分所示．
设z＝y－x，则y＝x＋z.
z的几何意义是直线y＝x＋z的纵截距，通过图象可知，当直线y
＝x＋z经过点A(2，3)时，
z取得最大值，此时z
max
＝3－2＝1.当直线
经过点B(2，－1)时，z取得
最小值，此时z
min
＝－1－2＝－3.
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答案：－3 1
x－2≤0，
?
?
10．(2
020·河南天一大联考)不等式组
?
x－2y＋4≥0，
表示的平面
??
－x－y＋2≤0
区域的面积为________．
解析：依据不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，
平面区域为△ABC及其内部，其中A(2，0)，B(0，2)，C(2，3)，
1
所以所求面积为
×2×|AC|＝3.
2
答案：3
x
－1≥0，
?
?
y
11．若x，y满足约束条件
?
x－y≤
0，
则的最大值为_______．
x
?
?
x＋y－4≤0，解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由斜率
y
的意义知，是可行域内一
点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1，
x
y
3)与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.
x
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答案：3
x≤1，
?
?
12．(2
020·马鞍山模拟)已知实数x，y满足
?
y≤x＋1，
则x
2
＋
y
2
的
?
?
y≥1－x，
最大值与最小值之和为_____
___．
x≤1，
?
?
解析：作出不等式组
?
y≤x＋1
，
表示的可行域如图阴影部分所示，
?
?
y≥1－x
x
2<
br>＋y
2
的几何意义是原点O到可行域内点的距离的平方，由图可知，O
到直线x
＋y－1＝0的距离最小，为
1
.
2
可行域内的点B与坐标原点的距离最大
，为2
2
＋1
2
＝5.
111
所以x
2
＋y
2
的最大值与最小值之和为5＋＝
.
22
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11
答案：
2
[B级 能力提升]
x≥1，
?
?
13．不等式组
?
y≥2，
的解集记为D，
则“?(x，y)∈D，使x－y
?
?
x＋y≤4
≥a成立”的必要不充分条
件是( )
A．a＜0 B．a≤－3 C．a＞0 D．a≤－2
x≥1
，
?
?
解析：画出不等式组
?
y≥2，
表示的区域D，如图
所示，其中A(2，
?
?
x＋y≤4
2)，
B(1，2)，C(1，3)．
?(x，y)∈D，使x－y≥a成立，则a≤(x－y)<
br>min
，平移直线x－y
＝0，易知当直线经过点C(1，3)时，x－y取得最小值，
(x－y)
min
＝－2，
则a≤－2.
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故必要不充分条件可以是a＜0.
答案：A
2x－
y－3≥0，
?
?
14．(2020·南昌检测)设变量x，y满足约束条件
?
x－2y－4≤0，
若
?
?
y≥1，
11
目标函
数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最小值为1，则＋的最小值为
ab
( )
A．7＋26
C．3＋26
B．7＋22
D．3＋22 ?
2x－y－3≥0，
解析：作出变量x，y满足约束条件
?
x－2y－
4≤0，
表示的可行域
?
y≥1
如图所示，
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当直线z＝ax＋by(a＞0，b＞0)过直线y＝1和2x－y－3
＝0的交点
(2，1)时，有最小值为1.
所以2a＋b＝1，因为a＞0，b＞0， ?
11
?
112a
b
??
＋
所以＋＝(2a＋
b)
ab
＝3＋＋
≥
abba
??
3＋2
??<
br>2a
b
2a
b
·
＝3＋22
?
当且仅当b
＝
a
时取“＝”
?
.
ba
??
11
所以＋的最小值为3＋22.
ab
答案：D
15．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗
A原料1千克、B原料2千克
；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，
B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润
是400
元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不
超过12千克．通
过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品
中，公司共可获得的最大利润是________．
解析：设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，则根据题意得x、
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?
x≥0，x∈N，
?
y≥0，y∈N，
y的约
束条件为
?
x＋2y≤12，
?
?
2x＋y≤12.设获利z元，则z＝300x＋400y.
画出可行域如图所示．
画直线l：300x＋400y＝0，
即3x＋4y＝0.
平移直线l，从图中可知，
当直线过点M时，
目标函数取得最大值．
?
x＋2y＝12，
?
x＝4，
由
?
解得
?
?
2x＋y＝12，
?
y＝4，
即M的坐标为(4，4)，
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所以z
max
＝300×4＋400×4＝2 800(元)．
答案：2 800元
[C级 素养升华]
y≤x，
?
?
16．(多选题)设不等式组
?
3y≥x，
表示的平面区域为
?
?<
br>x＋y≤4
Ω
1
，不等式
(x＋2)
2
＋(y－2)
2
≤2表示的平面区域为Ω
2
，对于Ω
1
中的任意一点M<
br>和Ω
2
中的任意一点N，则( )
A．Ω
1
的面积为2
B．|MN|的最小值为2
C．|MN|的最大值为32
D．直线MN斜率的最小值为－2－3
y≤x，
?
?
解析：不等式
组
?
3y≥x，
表示的平面区域Ω
和不等式(x＋2)
＋(y
?
?
x＋y≤4
1
2
－2)
2
≤2表示的平面区
域Ω
2
如图所示，
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?
y＝x，
由
?
得点A的坐标为(2，2)，所
以|OA|＝2
?
x＋y＝4，
?
x＋y＝4，
由
?
得点B的坐标为(3，1)，所以|AB|＝
?
3y＝x，
2，
2.
又x＋y＝4与y＝x垂直，所以∠OAB为直角，即△AOB为直角三
角形．
11
故Ω
1
的面积为S
△AOB
＝
|OA||AB|＝×22×
2＝2，故A正确；
22
对于Ω
1
中的任意一点M和Ω
2
中的任意一点N，|MN|的最小值就
是点(0，0)与圆(x＋2)
2
＋(y－2)
2
＝2的圆心(－2，2)连线的长度减去半
径，
即为（－2－0）
2
＋（2－0）
2
－2＝2，故B正确；
|MN|的最大值是点B(3，1)与圆(x＋2)
2
＋(y－2)
2
＝2
的圆心(－2，
2)的连线的长度加上半径，
即为（－2－3）
2
＋（2－1）
2
＋2＝26＋2，故C不正确；
设过原点O的直线为y＝kx，即kx－y＝0，当直线y＝kx和圆(x
＋2)＋(y－2)
＝2相切时，即
22
|2k＋2|
＝2，解得k＝－2－3或－2＋
k
2
＋1
3，由图可知直线MN的斜率的最小值为－2－3，故D正确．
答案：ABD
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