【金版学案】高中数学选修4-4习题 第一讲 坐标系 单元检测卷

高考资源网（） 您身边的高考专家
单元检测卷(一)
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题
给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的)
?
π
?
?
1．在极坐标系中，已 知M
－5，
?
，下列所给出的不能表示点
3
??
M的坐标的 是( )
??
π
?
4π
?
?
A.
?
5，－
?
B.
?
5，
3< br>?
3
???
??
2π
?
5π
?
?? ?
C.
5，－
D
－5，－
?

3
?
3
???
1．A
2．在极坐标系中，点(ρ，θ)与点(－ρ，π－θ)的位置关系是( )
A．关于极轴所在直线对称
B．关于极点对称
C．重合
π
D．关于直线θ＝(ρ∈R)对称
2
2.A
??
π
?
π
?
3．在极坐标系中，已知点P
1
?
2，?
、P
2
?
－3，－
?
，则|P
1
P
2
|的
4
?
4
???
值为( )
A.13 B．5
版权所有@高考资源网
- 1 -

高考资源网（） 您身边的高考专家
C.13＋62 D.13－62
3.A
1
4．将y＝sin x的图像横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，
2
再 将纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解
析式为( )
11
A．y＝2sin x B．y＝sin 2x
22
11
C．y＝2sin 2x D．y＝sinx
22
4．

答案：D
5．极坐标方程ρ＝1表示( )
A．直线 B．射线
C．圆 D．椭圆
5．C
?
π
?
6．在极坐标系中，过点
?
2，
?
且与极轴垂直的直线方程为( )
3
??
A．ρ＝－4cos θ B．ρcos θ－1＝0
C．ρsin θ＝－3 D．ρ＝－3sin θ
版权所有@高考资源网
- 2 -

高考资源网（） 您身边的高考专家
?
π
?
6．解析：设M(ρ，
θ
)为直 线上除
?
2，
?
以外的任意一点，则有ρcos
3
??
?
π
π
?
θ
＝2·cos ，则ρcos
θ
＝1，经检验
?
2，
?
符合方程．
3
3
??
答案：B
7．曲线的极坐标方程为ρ＝4sin θ，化为直角坐标方程是( )
A．x
2
＋(y＋2)
2
＝4
B．x
2
＋(y－2)
2
＝4
C．(x－2)
2
＋y
2
＝4
D．(x＋2)
2
＋y
2
＝4
7．B
??< br>π
?
3π
?
8．在极坐标系中，已知点A
?
－2，－
?
，B
?
2，
?
，O(0，0)，
2
?< br>4
???
则△ABO为( )
A．正三角形
B．直角三角形
C．锐角等腰三角形
D．直角等腰三角形
8.D
9．两圆ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ的公共部分面积是( )
π
1
A.－ B．π－2
42
ππ
C.－1 D.
22

版权所有@高考资源网
- 3 -

高考资源网（） 您身边的高考专家

9.C
?
ππ
?
10．已知点P
1
的球坐标是P
1
?
23，，
?
，P
2< br>的柱坐标是
64
??
??
π
P
2
?
3，，1
?
，则|P
1
P
2
|等于( )
4
??
A．2 B.3 C．22 D.
10.A
2

2
x
2
y
2
11．可以将椭圆＋＝1 变为圆x
2
＋y
2
＝4的伸缩变换是( )
108
?< br>?
?
2x′＝5x
?
5x′＝2x
A.
?
B.
?

?
2y′＝y
?
y′＝2y
?
?
??
?
2x′＝x
?
5x′＝2x
C.
?
D.
?

??
?
5y′＝2x
?
2y′＝y
?
2x
?
x
2
y
2
2x
2
y< br>2
?
11．解析：方法1：将椭圆方程＋＝1化为＋＝4，∴
?
108 52
5
??
2
?
y
?
2
＋
??< br>＝4，令
?
2
?
?
?
y
?
y′＝< br>2
，
2
x′＝x，
5
得x′
2
＋y′
2
＝4，即x
2
＋y
2
＝4，∴伸缩变
?
?5x′＝2x，
换为
?
方法2：将x
2
＋y
2
＝4改写为x′
2
＋y′
2
＝4，设伸缩变
?
?
2 y′＝y.
22
?
?
x′＝λx（λ>0），
λ
x
换为
?
代入x′
2
＋y′
2
＝4得λ
2
x
2
＋μ
2
y
2
＝4，即
4
?
?< br>y′＝μy（μ>0），
4
x
2
y
2
＋＝1，与椭圆 ＋＝1，比较系数得解得
2
4108
μ
1
1
μ
＝，
＝，
48
2
μ
2
y
2
?
?
?
λ
2
＝
1
，
10
?
?
?λ
＝
2
，
5
版权所有@高考资源网
- 4 -

高考资源网（） 您身边的高考专家
?
?
?
∴伸缩变换为
?
即
?< br>?
1
?
y′＝y，
?
2
答案：D
2
x′＝x，
5
5x′＝2x，
2y′＝y.

π
12．圆ρ＝r与圆ρ＝－2rsin(θ＋)(r>0)的公共弦所在直线的方程
4
为( )
A．2ρ(sin θ＋cos θ)＝r
B．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r
C.2ρ(sin θ＋cos θ)＝r
D.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r
12．解析：圆ρ＝r的直角坐标方程为x
2
＋y
2
＝ r
2
，①圆ρ＝－2rsin(θ
＋)＝－2r(sin
θ
cos＋cos
θ
sin)＝－2r(sin θ＋cos
θ
)，两边
444
同乘以ρ得ρ
2
＝－2r(ρsin
θ
＋ρcos
θ
)，∴x
2
＋y
2
＋2rx＋2ry＝0，
② 由①—②得2(x＋y)＝－r，即为两圆公共弦所在直线的直角坐标
方程．将直线2(x＋y)＝－r 化为极坐标方程为2
ρ
(cos
θ
＋sin
θ
)
＝－r.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答
案填在题中的横线上)
13．(2015·广州市高三毕业班调研测试)曲线ρ＝2cos θ－23sin
θ(0≤θ<2π)与极轴的交点的极坐标是____________．
13．(0，0)(2，0)
版权所有@高考资源网
- 5 -

πππ

高考资源网（） 您身边的高考专家
?
π
?
2
??
14．已知直线的极坐标 方程为ρsin
θ＋
＝，则极点到直线
4
?
2
?
的 距离是________．
2
14.
2
15．(2015·广东信宜统测 )在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的圆心到直
线ρcos θ＝2的距离是________．
15．1
π
16．与曲线ρcos θ＋1＝0关于θ＝对称的曲线的极坐标方程是
4
________．
16．ρsin θ＋1＝0
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的 文
字说明、证明过程及演算步骤)
??
?
x＇＝2x，
?
x＇＝2x，
17．在伸缩变换
?
与伸缩变换
?
的作用下，x
2
??
?
y＇＝y
?
y＇＝2y
＋y
2
＝1分别变成什么图形？
?
?
x＇
?
2
，
?x＇＝2x，
?
x＝
22
2
?
?
＋y＇17． 解析：由得
?
代入x＋y＝1得
?
2
??
?
y＇＝ y
?
x＇
?
y＝y＇，
2
?
?
x＇＝2x ，
x＇
22
＝1，即＋y＇＝1.所以在伸缩变换
?
的作用下，单位 圆
4
?
y＇＝y
?
2
?
?
x＇＝2x，< br>x
222
x＋y＝1变成椭圆＋y＝1.由
?
得
4
?
y＇＝2y
?
?
?
y＇
?
y＝
2
x＇
x＝，
2
代入x
2
＋y
2
＝
版权所有@高考资源网
- 6 -

高考资源网（） 您身边的高考专家
?
?
x＇
?
2
?
y＇
?
2
?
x＇＝2x，
22
1得
??
＋
??
＝1，即x＇＋y＇＝4，所以在伸缩变换
?
?
2
??
2< br>?
?
?
y＇＝2y
的作用下，单位圆x
2
＋y
2
＝1变成圆x
2
＋y
2
＝4.
?
π
?
?
18．(本小题满分12分)已知定点P
4，
?
.
3
??
?
π
?
(1)将极点移至O′
?
23，
?
处，极轴方向不变，求点P的新坐标；
6
??
π
(2)极点不变，将极轴逆时针转动角，求点P的新坐标．
6
18．解析：(1)设点P新坐标为(ρ，
θ
)，如下图所示，由题意可知：

|OO′|＝23，|OP|＝4，
ππ
∠POx＝，∠O′Ox＝，
36
π
∴∠POO′＝.
6
在△POO′中，
π
ρ
＝4＋(23)－2×4×23×cos
6
＝16＋12－24＝4，
222
∴
ρ
＝2.
版权所有@高考资源网
- 7 -

高考资源网（） 您身边的高考专家
又
sin ∠OPO′sin ∠POO′
＝，
2
23
π
sin
6
3
∴sin ∠OPO′＝×23＝，
22
π
∴∠OPO′＝.
3
πππ
∴∠OP′P＝π－－＝，
333
2π
∴∠PP′x＝.
3
2π
∴∠PO′x′＝.
3
?
2π
?
??
. ∴点P的新坐标为
2，
3
??
(2)如下图所示，

设点P新坐标为(ρ，
θ
)，
πππ
则ρ＝4，
θ
＝＋＝.
362
?
π
?
∴点P的新坐标为
?
4，
?
.
2
??
版权所有@高考资源网
- 8 -

高考资源网（） 您身边的高考专家
1
19．(本小题满分14分)△ABC底边BC＝10，∠A＝∠B，以 B
2
为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程．
19．分析：本题利用正 余弦定理的边角关系找到顶点A的ρ、θ
之间的关系，从而求得其轨迹方程．
解析：如下图，令A(ρ，
θ
)，

在△ABC内，设∠B＝θ，∠A＝
由正弦定理，得
θ
2
，又|B C|＝10，|AB|＝
ρ
.于是
ρ
?
3θ
?
??
π－
sin
2
??
＝
10
sin
2
θ
，
化简，得点A轨迹的极坐标方程为
ρ
＝10＋20cos
θ
.
20．(本小题满分14分)已知定 点A(a，0)，动点P对极点O和点
A的张角∠OPA＝
π
.在OP的延长线上取点 Q，使|PQ|＝|PA|.当P在极
3
轴上方运动时，求点Q的轨迹的极坐标方程．

20．解析：设Q、P的坐标分别是(ρ，
θ
)、(ρ
1
，
θ
1
)，则θ＝θ
1
.
版权所有@高考资源网
- 9 -

高考资源网（） 您身边的高考专家
在△POA中，由正弦定理得，
?
2π
?
asin
θ
a
??
ρ
1
＝·sin.
－θ
，|PA|＝
ππ
?
3
?
sinsin
33
又|OQ|＝|OP|＋|PA|，
?
π
?
∴
ρ
＝2asin
?
θ
＋
?
.
6
??< br>21．(本小题满分14分)在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，P
是圆x
2< br>＋y
2
＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交PA于点Q，求点
Q的轨迹的 极坐标方程．
21．分析：需要找出点Q的极角和极径的关系，在这里我们可以
通过三角形的面积建立关系．
解析：以圆心O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设Q(ρ，
θ
)，P(1， 2
θ
)．

因为S
△
OAQ
＋S
△OQP
＝S
△
OAP
，
111
所以·3
ρ
·sin
θ
＋
ρ
·sin
θ
＝×3×1×sin 2
θ
.
222
3
整理得ρ＝cos
θ
.
2

22．(本小题满分14分)已知半圆直径|AB|＝2r(r＞0)，半圆外一条
版权所有@高考资源网
- 10 -

高考资源网（） 您身边的高考专家
r
??
??
2a＜
直线l与AB所在直线垂直相 交与点T，并且|AT|＝2a
2
?
.若半圆上
?
相异两点M、N到 l的距离|MP|，|NQ|满足|MP|∶|MA|＝|NQ|∶|NA|＝
1，通过建立极坐标系， 求证|MA|＋|NA|＝|AB|.
22．证明：证法一 以A为极点，射线AB为极轴建立极坐标系，
则半圆的极坐标方程为ρ＝2rcos
θ
，
设M(ρ
1
，
θ
1
)，N(ρ2
，
θ
2
)，
则ρ
1
＝2rcos
θ
1
，
ρ
2
＝2rcos
θ
2
，
又|MP|＝2a＋ρ
1
cos
θ
1
＝2a＋2rcos
2
θ
1
，
|NQ|＝2a＋ρ
2
cos
θ
2
＝2a＋2rcos
2
θ
2
，
∴|MP|＝2a＋2rcos
2
θ
1
＝2rcos
θ
1
，
∴|NQ|＝2a＋2rcos
2
θ
2
＝2rcos
θ
2
，
∴cos
θ
1
，cos
θ
2
是关于cos
θ
的方程rcos
2
θ
－rcos
θ
＋a＝0
的两个根，由韦达定理知：cos
θ
1
＋cos
θ
2
＝1，∴|MA|＋|NA|＝2rcos
θ
1
＋2rcos
θ
2
＝2r＝|AB|.
证法二 以A为极点，射线AB为极轴建立直角坐标系，
则半圆的极坐标方程为ρ＝2rcos
θ
，
设M(ρ
1
，
θ
1
)，N(ρ
2
，
θ
2
)，
2a
又由题意知，M(ρ
1
，
θ
1
)，N(ρ
2
，
θ
2
)在抛物线ρ＝上，
1－cos
θ
∴2rcos
θ
＝
2a
，rcos
2
θ
－rcos
θ
＋a＝0，
1－cos
θ
∴cos
θ
1
，cos
θ
2
是方程rcos
2
θ
－rcos
θ
＋a＝0的两个根，
由韦达定理知：cos
θ
1
＋cos
θ
2
＝1，
版权所有@高考资源网
- 11 -

高考资源网（） 您身边的高考专家
∴|MA|＋|NA|＝2rcos θ
1
＋2rcos
θ
2
＝2r＝|AB|.
版权所有@高考资源网
- 12 -