高三文科数学解析几何专题

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2008届高三文科数学第二轮复习资料
——《解析几何》专题
1
．已知动圆过定点
?
1,0
?
，且与直线
x??1
相切.
(1) 求动圆的圆心轨迹
C
的方程；
(2) 是否存在直线
l< br>，使
l
过点（0，1），并与轨迹
C
交于
P,Q
两点 ，且满足
OP?OQ?0
？若存在，
求出直线
l
的方程；若不存在， 说明理由.



x
2
y
2
C
：
2
?
2
?1
(
a?b?0
)的左、右焦点. 2．如图,设
F
1
、
F
2
分别为椭圆
ab
3
(Ⅰ)设椭圆C上的点
A(1,)
到F
1
、F
2
两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和离心率；
2
(Ⅱ)设点K是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点，求线段
F
1
K
的中点 的轨迹方程．



3．已知圆C: x
2
+y
2
-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的
直线L,使以L 被圆C截得弦AB为直径的圆
经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在，说
明理由



y
A
F
1

O
F
2
x < br>4．已知圆
C
：
x
2
?y
2
?4
.
（1）直线
l
过点
P
?
1,2
?
，且与圆
C
交于
A
、
B
两点，若
|AB|?23
， 求直线
l
的方程;
（2）过圆
C
上一动点
M
作平 行于
x
轴的直线
m
，设
m
与
y
轴的交点为
N
，若向量
OQ?OM?ON
，
求动点
Q
的轨迹方 程，并说明此轨迹是什么曲线.



5．如图，已知圆A的半径是2，圆 外一定点N与圆A上的点的最短距离为6，过动点P作A的切线PM
（M为切点），连结PN使得PM： PN=
2
，试建立适当
P
的坐标系，求动点P的轨迹







6．已知三点P（5，2）、
F
1
（－6，0）、
F
2
（6，0）．
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M
A
N

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（Ⅰ）求以
F
1
、
F
2
为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点P、
F
1< br>、
F
2
关于直线y＝x的对称点分别为
P
?
、
F
1
'
、
F
2
'
，求以
F
1< br>'
、
F
2
'
为焦点且过点
P
?
的< br>双曲线的标准方程．





7．某运输公司接 受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重为6吨的
A
< br>型卡车与4辆载重为10吨的
B
型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返次数为A
型卡车4次，
B
型
卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费用为
A
型卡车320元，
B
型卡车504元，请你给该公司调配车辆，
使公司所花 的成本费用最低．





8．曲线
x
2
?y
2
?x?6y?3?0
上两点P、Q满足：①关于直线
kx ?y?4?0
对称；②
OP?OQ
.求直
线PQ的方程.





9．两类药片有效成分如下表
成分
药品
A（1片）
阿斯匹林
（
mg
）
2
小苏打
（
mg
）
5
可待因
（
mg
）
1
每片价格
（元）
0．1
1 7 6
B（1片） 0．2
若要求提供12
mg
阿斯匹林， 70
mg
小苏打，28
mg
可待因，两类药片的最小总数是多少？在最小总数
情况下的两类药片怎样搭配价格最低？














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参考答案
1．解：（1）如图，设
M
为动圆圆心，
F
?
1,0
?
，过点
M
作直线
x??1
的垂线，垂足为
N
，由题意知：
MF?MN
，
即动点
M
到定点
F
与定直线
x??1
的距离相等，由
抛物线的定义知，点
M
的轨迹为抛物线，其中
F
?
1,0
?

为焦点，
x??1
为准线，
∴ 动点
R
的轨迹方程为
y
2
?4x
．
（2）由题可设直线
l
的方程为
x?k(y?1)(k?0)
，

N
A
M
x
o
F
?
1,0
?
?
y?4x
2
△
?16k?16?0
，
k??1或k?1
．
设
P(x< br>1
,y
1
)
，
Q(x
2
,y
2)
，则
y
1
?y
2
?4k
，
y
1
y
2
?4k
．
由
OP?OQ?0
，即
OP?
?
x
1
,y
1
?
，
OQ?
?
x
2
,y
2
?
，于是
x
1x
2
?y
1
y
2
?0
，
即
k
2
?
y
1
?1
??
y
2
?1
?
?y
1
y
2
?0
，
(k
2?1)y
1
y
2
?k
2
(y
1
?y< br>2
)?k
2
?0
，
由
?
?
x?k (y?1)
2
x??1
得
y
2
?4ky?4k?0

k??4
或
k?0
（舍去）
4k(k?1)
，
?k4k?k?
，解得
0
又
k??4??1
， ∴ 直线
l
存在，其方程为
x?4y?4?0


2．解：(Ⅰ)
2a?4
，
222
19
??1
.
22
a4b

a?4
，
b?3
.
2
2
y
A
x
2
y
2
??1
， 椭圆的方程为
43
因为
c?a?b?1
.
所以离心率
e?
222
F
1

O
F
2
x
1
.
2
(Ⅱ)设
KF
1
的中点为
M(x,y)
，则点
K(2x?1,2y)
.
(2x?1)
2
(2y)
2
??1
. 又点K在椭圆上，则
KF
1
中点的轨迹方程为
43

?y?x?b
3．解:设直线L的斜率为１，且L的方程为y=x+b,则
?
2 消元得方程
2
x?y?2x?4y?4?0
?
２x
2
+（2b+2）x+b
2
+4b-4=0，设此方程两根为x
1
，x
2
，则x
1
+x
2
＝－（b+1），y
1
+y< br>2
= x
1
+x
2
+2b=b-1，
则ＡＢ中点为
?
?
?
b?1b?1
?
2
2
,
?
，又弦长为
k?1x
1
?x
2
＝
2
??b?6b?9
?
，由题意可列式
2
??
2
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?
b?1
??b?1
?
??
?
??
?
2
??
2?
方程为y=x+1．

22
?
2
?
?b< br>2
?6b?9
?
?
?
解得b=1或b=-9，经检验b=-9 不合题意．所以所求直线＝
?
??
2
??
??
2
l
与圆的两个交点坐标为
1,3
和
1,?3
，4．解（Ⅰ）①当直线< br>l
垂直于
x
轴时，则此时直线方程为
x?1
，
其距离 为
23
，满足题意
②若直线l
不垂直于
x
轴，设其方程为
y?2?k
?
x?1?
，即
kx?y?k?2?0

设圆心到此直线的距离为< br>d
，则
23?24?d
2
，得
d?1

∴
1?
????
|?k?2|
k
2
?1
，
k?
3
，
4
故所求直线方程为
3x?4y?5?0

综上所述，所求直线为
3x?4y?5?0
或
x?1

（Ⅱ）设点
M
的坐标为
?
x
0
,y
0?
，
Q
点坐标为
?
x,y
?

则
N
点坐标是
?
0,y
0
?

∵
OQ?OM?ON
，
∴
?
x,y
?
?
?
x
0
,2y
0
?
即
x
0< br>?x
，
2
0
2
0
2
y
0
?
y

2
y
2
?4
又∵
x?y?4
，∴
x?
4
由已知，直线m ox轴，所以，
y?0
，
y
2
x
2
??1(y?0)
， ∴
Q
点的轨迹方程是
164
轨迹是焦点坐标为
F
1
(0,?23),F
2
(0,23)
，长轴为8的椭圆，并去掉
(?2,0)
两点．

5．解：以AN所在直线为x轴，AN的中垂
线为y轴建立平面直角坐标系如图所示，
则A(-4,0),N(4,0),设P（x，y）
M
P
由|PM|：|PN|=
2
，|PM|=|PA| –|MA|得：
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222
A
N

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2|PN|
2
?|PA|
2
?4

2222
?
代入坐标得：
2
?
(x?4)?y?(x?4) ?y?4

??
整理得：
x
2
?y2
?24x?20?0

即
(x?12)
2
?y
2
?124

所以动点P的轨迹是以点
(12,0)为圆心，
以231为半径的圆
． x
2
y
2
6．解：（I）由题意，可设所求椭圆的标准方程为
2
+
2
?1
(a?b?0)
，其半焦距
c?6
． < br>a
b
2a?|PF
1
|?|PF
2
|
?11
2
?2
2
?1
2
?2
2
?65
， ∴
a?
35
，
x
2
y
2
b?a?c?4 5?36?9
，故所求椭圆的标准方程为
?1
； +
45
9
222
（II）点P（5，2）、
F
1
（－6，0）、
F
2
（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：
P
?
(2,5)
、< br>F
1
'
（0，-6）、
F
2
'
（0，6）
设所求双曲线的标准方程为
x
2
a
1
2
-
y
2
b
1
2
?1
(a
1
?0,b
1
?0)
，由题意知半焦距
c
1
?6
，
2a1
?|P'F
1
'|?|P'F
2
'|
?11
2
?2
2
?1
2
?2
2
?45
， ∴
a
1
?
25
，
y
2
x
2
?1
． -
b
1
?c< br>1
?a
1
?36?20?16
，故所求双曲线的标准方程为
2 016
222
点评：本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和 基本运算能力

7．解：该公司调8辆A型车，成本最低．

8．解：
?圆上两点P、Q关于直线kx?y?4?0对称，

11

?直线kx?y?4?0经过圆心（?，3），即有k（??）?3?4?0，?k?2，
22
1

设直线PQ方程为y??x?t，P（x
1
，y
1），Q（x
2
，y
2
），
2
1
?
5< br>?
y??x?t，
由
?
消y得x
2
?（4?t）x? t
2
?6t?3?0
.
2
4
?
x
2?y
2
?x?6y?3?0，
?
（44?t）（4t
2
?6t?3）
?x
1
?x
2
?，x
1
x
2
?，

55
?OP?OQ，?
y
1
y
2< br>???1即x
1
x
2
?y
1
y
2
? 0
.
x
1
x
2
1111
?
y
1
??x
1
?t，y
2
??x
2
?t，?x
1
x
2
?（?x
1
?t）（?x
2
?t）?
0

2222
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515（4t
2
?6t?3）1（44?t）
22

即x< br>1
x
2
?t（x
1
?x
2
）?t?0，?? ?t?t?0，
424525
35
或t?

24
1315< br>?直线PQ方程为y??x?或y??x?即x?2y?3?0或2x?4y?5?0
.
2224
?t?
化简得
8t?22t?15?0，
2

9．解：设A类药x片，B类药y片，
?
2x?y?12,
?
5x ?7y?70,
?
?
由题意
?
x?6y?28,

?x、y
满足的可行域如图
?
x?0且x?N，
?
??
y?0且y?N，
两类药片的最小总数
z?x?y

由图象可知，最小总数应在B点附近可行域内的整点处取得.
y
12
10
14
B

3
O
6
A
14
28 x
14
?
x?,
?
?
2x ?y?12,
1480
?
9
??B(,)

??
5 x?7y?70,80
99
?
?
y?,
?
9
?在B点附近可行域内的整点有C（1，10），D（2，9），E（3，8），F（4，8）.
?
两类药片的最小总数是11片.
xy
?
，
?x?y?11(x?1,2,3)

105
xyx11?x22?x19
?w?????元
， ，
?当x ?3时有最小值
1051051010
设在最小总数情况下的两类药片总价格
w?即用A类3片B类8片可使价格最低.




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