高考数学易错题举例解析

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高考数学易错题举例解析
高中数学中 有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也
就是在转化过程 中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望
能对同学们的学 习有所帮助。加强思维的严密性训练。
● 忽视等价性变形，导致错误。
?
x>0
?
x + y>0
?
x>1
?
x + y>3
????
? ，但 与 不等价。
?
y>0
?
xy>0
?
y>2
?
xy>2
x
【例1】已知f(x) = ax + ，若
?3?f(1)?0,3?f(2)?6,
求
f(3)
的范围。
b
①
?
?3?a?b?0
?
错误解法 由条件得
?

b
3?2a??6
?
②
2
?
②×2－①
6?a?15

③

①×2－②得
?
8b2
???

④

333
10b431043
③
+
④
得
?3a??,即?f(3)?.

33333
x
，其值是同时
b
错误分析 采用这种解法，忽视了这 样一个事实：作为满足条件的函数
f(x)?ax?
受
a和b
制约的。当a
取最大（小）值时，
b
不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。
?
f(1)?a?b
?
正确解法 由题意有
?
b
, 解得：
f(2)?2a?
?
2
?
12
a?[2f(2)?f(1)],b?[2f(1)?f(2)],

33
b1651637
?f(3)?3a??f(2)?f(1).
把
f(1)
和
f(2)
的范围代入得
?f(3)?.
< br>39933
在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有 牢固地掌握基
础知识，才能反思性地看问题。

●忽视隐含条件，导致结果错误。
【例2】
2
(1) 设
?
、
?
是方程
x?2kx?k?6?0
的两个实根，则
(
?
?1)?(
?
?1)
22
的最小值是
(A)?
49
4
(B)8(C)18 (D)不存在

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思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。
利用一元二次方程根与系数的关系易得：
?
?
?
?2k,
???k?6,

?(
?
?1)
2
?(
?
?1)
2
?
?
2
?2
?
?1?
?
2
?2
?
?1
?(
?
?
?
)
2< br>?2
??
?2(
?
?
?
)?2

3 49
?4(k?)
2
?.
44
有的学生一看到
?
4 9
，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果
4
能 以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。
?
原 方程有两个实根
?
、
?
，∴
??4k
2
?4(k? 6)?0
?
k??2或k?3.

当
k?3
时，
(
?
?1)?(
?
?1)
的最小值是8；
当
k ??2
时，
(
?
?1)?(
?
?1)
的最小值是1 8。
这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。
(2) 已知(x+2)
2
+
y
2
22
4
=1, 求x+y的取值范围。
22
22
错解 由已知得 y
2
=－4x
2
－16x－12，因此 x
2
+y
2
=－3x
2
－16x－12=－3(x+
8
2
28
)+ ，
33
82828
∴当x=－ 时，x
2
+y
2
有最大值 ，即x
2
+y
2
的取值范围是(－∞, ]。
333
分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。
事实上，由于(x+2)
2
+
y
2
y
2
2
4
=1 ? (x+2)=1－
4
≤1 ? －3≤x≤－1，
x
2
+y
2
的取值范围是[1,
28
]。
3
从而当x=－1时x
2
+y
2
有最小值1。∴
注意有界性：偶次方x
2
≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数a
x
>0，圆锥曲线有界性等。

●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。
11
【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+
a
)
2
+(b+
b
)
2
的最小值。
错解 (a +
1
1
2
1112
)+(b+)
2
=a
2
+b
2
+
2
+
2
+4≥2ab++4≥4
ab?
+4=8,
ab
abab
ab
∴(a+
1
2
1
)+(b+)
2
的最小值是8.
ab
1
,第二次等号
2
分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式 a
2
+b
2
≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=
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1
，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。
ab
1111112
事实上，原式= a
2
+b
2
+
2
+
2
+4=( a
2
+b
2
)+(
2
+
2
)+4=[(a+b)< br>2
－2ab]+[(+)
2
－]+4
abab
abab
1
= (1－2ab)(1+
22
)+4，
ab
a?b
2
11111
由ab≤()= 得：1－2ab≥1－=, 且
22
≥16，1+
22
≥17，
2422
abab
1251
∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)，
222
11
25
∴(a + )
2
+ (b + )
2
的最小值是
2
。
ab
成立的条件是ab=

●不进行分类讨论，导致错误
n
【例4】(1)已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和< br>S
n
?2?1
，求
a
n
.

nn?1nn?1
?2
n?1
.
错误解法
a
n
?S
n
?S
n?1
?(2?1)?(2?1)?2?2
错 误分析 显然，当
n?1
时，
a
1
?S
1
?3? 2
1?1
?1
。
错误原因：没有注意公式
a
n
? S
n
?S
n?1
成立的条件是。
因此在运用
a
n
?S
n
?S
n?1
时，必须检验
n?1
时的情形。 即：
a
n
?
?
2
(2)实数
a
为何值时， 圆
x?y?2ax?a?1?0
与抛物线
y?
2
错误解法 将圆
x?y?2ax?a?1?0
与抛物线
y?
2
222
222
?
S
1
(n?1)
。
?
S
n
(n?2,n?N)
1
x
有两个公共点。
2
1
x
联立，消去
y
，
2
得
x?(2a?)x?a?1?0(x?0).
①
1
2
2
?
??0
?
17
1
?
.
因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得
?
2a??0
， 解之得< br>a?
8
2
?
2
?
?
a?1?0.

错误分析 （如图2－2－1；2－2－2）显然，当
a?0
时，圆与抛物线有两个公共点。

y


y
x
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O O
x
图
2
－
2
－
1
图
2
－
2
－
2

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要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。
?< br>??0
当方程①有一正根、一负根时，得
?
2
解之，得
?1? a?1.

a?1?0.
?
因此，当
a?
171
2 22
2
或
?1?a?1
时，圆
x?y?2ax?a?1?0
与抛物线
y?x
有两个公共点。
82
1
222
2
思考题：实数
a
为何值时，圆
x?y?2ax?a?1?0
与抛物线
y?x
，
2
(1) 有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点。

●以偏概全，导致错误
以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出 问题的全部答案，从而表现出
思维的不严密性。
【例5】(1)设等比数列
?
a
n
?
的全
n
项和为
S
n
.若
S
3
?S
6
?2S
9
，求数列的公比
q
.
a
1
(1?q
3
)a
1
(1?q
6
)a
1
(1?q
9
)
??2?
错误解法
?S
3
?S
6
?2S
9
,
?
，
1?q1?q1?q
整理得q
3
(2q
6
?q
3< br>?1）＝0.

6333
3
由q?0得方程2q?q?1?0.?(2 q?1)(q?1)?0,?q??
4
2
或q?1
。
a
1
(1?q
3
)a
1
(1?q
6
)a
1(1?q
9
)
??2?
错误分析 在错解中，由，
1?q1 ?q1?q
整理得q
3
(2q
6
?q
3
?1）＝0
时，应有
a
1
?0和q?1
。
在等比数列中，
a
1
?0
是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比
q? 1
的情
况，再在
q?1
的情况下，对式子进行整理变形。
正确解法 若
q?1
，则有
S
3
?3a
1
,S
6?6a
1
,S
9
?9a
1
.
但
a1
?0
，即得
S
3
?S
6
?2S
9< br>,
与题设矛盾，
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故
q?1
.
a
1
(1?q
3
)a
1
(1?q
6
)a
1
(1?q
9
)
363
??2?
）＝0
, 即又依题意
S
3
?S
6
?2S
9
? ?
q(2q?q?1
1?q1?q1?q
(2q?1)(q?1)?0,
因为< br>q?1
，所以
q?1?0,
所以
2q?1?0.
解得
q??
3333
3
4
.

2
说明 此题 为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准
而痛失 2分。
(2)求过点
(0,1)
的直线，使它与抛物线
y?2x
仅 有一个交点。
错误解法 设所求的过点
(0,1)
的直线为
y?kx?1
，则它与抛物线的交点为 < br>2
?
y?kx?1
222
，消去
y
得
(kx ?1)?2x?0.
整理得
kx?(2k?2)x?1?0.

?
2
?
y?2x
?
直线与抛物线仅有一个交点，
???0,
解得
k?
错误分析 此处解法共有三处错误：
第一，设所求直线为
y?k x?1
时，没有考虑
k?0
与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线
的 斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。
第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和 相切两种情况，而上述解法没有考虑相切
的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切” 和“只有一个交点”的关系理解不透。
第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要 考虑它的判别式，所以它的二次项系
数不能为零，即
k?0,
而上述解法没作考虑，表 现出思维不严密。
正确解法 ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直
x
轴，因为 过点
(0,1)
，所以
x?0,
即
y
轴，它正
好与 抛物线
y?2x
相切。
②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行
x
轴，它正好与抛物线
y?2x
只有一个交点。
③一般地， 设所求的过点
(0,1)
的直线为
y?kx?1(k?0)
,则
?< br>1
2
2
11
.?
所求直线为
y?x?1.

22
?
y?kx?1
?
y?2x
2
，
?
k
2
x
2
?(2k?2)x?1?0.
令
??0,
解得k =
2
,∴ 所求直线为
y?
综上，满足条件的直线为：
y?1,

1
x?1.

2
x?0,y?
1
x?1.

2
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《章节易错训练题》
1、已知集合M = {直线} ，N = {圆} ，则M∩N中元素个数是 A(集合元素的确定性)
(A) 0 (B) 0或1 (C) 0或2 (D) 0或1或2
2、已知A =
{
x
|
x
2
+ tx + 1 = 0
}
，若A∩R
*
=
?
，则实数t集合T = ___。
tt??2
(空集)
3、如果kx
2
+2kx－(k+2)<0恒成立，则实数k的取值范围是C(等号)
(A) －1≤k≤0 (B) －1≤k<0 (C) －14、命题
A:x?1
＜3，命题
B:(x?2)(x?a)< br>＜0，若A是B的充分不必要条件，则
a
的取值范围是C(等
号)
（A）
(4,??)
（B）
?
4,??
?
（C）
(??,?4)
（D）
?
??,?4
?

1
5、若不等式x
2
－log
a
x
<0在(0, )内恒成立，则实数
a
的取值范围是A(等号)
2
1
(A) [
16
,1) (B) (1, + ?)
1
(C) (
16
,1)
1
(D) (
2
,1)∪(1,2)
??
n
+ 1
(－1)
6、若不等式(－1)
n
a < 2 + 对于任意正整数n恒成立，则实数
a
的取值范围是A(等号)
n
3
(A) [－2，
2
)
3
(B) (－2，
2
)
3
(C) [－3，
2
)
3
(D) (－3，
2
)
7、已知定义在实数集
R上的函数
f(x)
满足：
f(1)?1
；当
x?0
时，
f(x)?0
；对于任意
的实数
x
、
y
都有f(x?y)?f(x)?f(y)
。证明：
f(x)
为奇函数。(特殊与一般关 系)
8、已知函数f(x) =
1－2x
，则函数
f(x)
的单调区间是_____。递减区间(－?，－1)和(－1， +?)
x + 1
（单调性、单调区间）
9、函数y = log
0. 5
(x
2
－1) 的单调递增区间是________。[－2 ，－1）（定义域）
x
?
?
2－2 x>1
。
?
x

0≤x<1
?
?
x－1
?
?
log
2
(x+2) x>0
－
10、已知函数f (x)=
?
x
x≤0
， f (x)的反函数f
1
(x)=
?
x－1
?
（漏反函数定义域即原函数值域）
11、函数 f (x) = log
1
(x
2
+ a x + 2) 值域为 R，则实数 a 的取值范围是D(正确使用△≥0和△<0)
2
(A) (－22 ,22 )
(C) (－?,－22 )∪(22 ,+?)
(B) [－22 ,22 ]
(D) (－?,－22 ]∪[22 ,+?)
12、若x≥0， y≥0且x+2y=1，那么2x+3y
2
的最小值为B(隐含条件)
（A）2
3
（B）
4

2
（C）
3
（D）0
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x
2
?4x?3
22
13、函数y=
2
的值域是_ _______。(－∞, )∪(,1)∪(1,+∞) （定义域）
x?x?6
55
x
14、函数y = sin x (1 + tan x tan
2
)的最小正周期是C （定义域）
(A)
2

?
(B)
?
(C) 2
?
(D) 3
15、已知 f (x) 是周期为 2 的奇函数，当 x ? [0,1) 时，f (x) = 2

x
，则 f (log
1
23) = D(对数运算)
2
23
(A)
16

3
16
(B)
23

2
16
(C) －
23

23
(D) －
16

16、已知函数
f(x)?ax? bx?3x
在
x??1
处取得极值。
（1）讨论
f(1)和
f(?1)
是函数
f(x)
的极大值还是极小值；
（2）过 点
A(0,16)
作曲线
y?f(x)
的切线，求此切线方程。(2004天 津)
（求极值或最值推理判断不充分(建议列表)；求过点切线方程，不判断点是否在曲线上。）
3 3
3 sin
?
cos
?

?
17、已知tan (
?
－
3
)= －
5
则tan
?
= ； = 。 、 （化齐次式）
23
3cos
2
?
－2sin
2
?

14
18、若 3 sin
2
?
+ 2 sin
2
?
－2 sin
?
= 0，则cos
2
?
+ cos
2
?
的最小值是 __ 。 (隐含条件)
9
3
1
19、已知sin
?
+ cos
?
=
5
，
?
? (0，
?
)，则cot
?
= _______。－ (隐含条件)
4
20、在△ABC中，用a、b、c和A、B、C分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a =2、
b?2
、
A?
（A）
?
4
，则∠B = B(隐含条件)
（B）
?

12
?

6
（C）
?
6
或
5
?

6
（D）
?
12
或
11
?

12
25
11
21、已知a>0 , b>0 , a+b=1，则(a +
a
)
2
+ (b +
b
)
2
的最小值是_______。 (三相等)
2
4
22、已知x ≠ k
?
(k ? Z)，函数y = sin
2
x +
sin
2
x
的最小值是______。5（三相等）
23、求
y?
28
?
的最小值。
22
sinxcosx
错解1
y?
28288

??2???
2222
|sinxcosx|
sinxcosxsinxcosx< br>16
?16,.?y
min
?16.

|sin2x|

?
错解2
y?(
28
2
?sinx)?(?cos
2
x)?1?22?28?1??1?62 .

22
sinxcosx
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错误分析 在解法1中，
y ?16
的充要条件是
即
|tanx|?
28
?且|sin2x|?1 .

22
sinxcosx
1
且|sinx|?1.
这是自 相矛盾的。
?y
min
?16.

2
在解法2中，
y??1?62
的充要条件是
28
2?sinx且?cos
2
x，即sin
2
x?2，cos
2x?22,
这是不可能的。
22
sinxcosx
正确解法1
y?2cscx?8secx

22
?2(1?cot
2
x )?8(1?tan
2
x)

?10?2(cot< br>2
x?4tan
2
x)
?10?2?2cotx?4tanx
?18.
22

其中，当
cotx?4tanx，即cotx?2时，y?1 8.
?y
min
?18.

正 确 解 法2 取正常数
k
，易得
222
y?(
28
2
?ksi nx)?(?kcos
2
x)?k
?2?2k?2?8k?k?6?2k?k.

22
sinxcosx
其中“
?
”取“＝”的充要条件是
281
222
?ksinx且?kcosx，即tanx?且k?18.
< br>22
2
sinxcosx
1
2
因此，当
tanx?时 ，y?6?2k?k?18,
?y
min
?18.

2
24、已知a
1
= 1，a
n
= a
n
－
1
+ 2
n1
(n≥2)，则a
n
= ________。2
n
－1(认清项数)
25、已知 －9、a
1
、a
2
、－1 四个实数成等差数列，－9、b
1
、b
2
、b
3
、－1 五个实数成等比数列，
则 b
2
(a
2
－a
1
) = A(符号)
(A) －8 (B) 8
9
(C) －
8
9
(D)
8
－
26、已知 {a
n
} 是等比数列，S
n
是 其前n项和，判断S
k
，S
2k
－S
k
，S
3k< br>－S
2k
成等比数列吗？
当q = －1，k为偶数时，S
k
= 0，则S
k
，S
2k
－S< br>k
，S
3k
－S
2k
不成等比数列；
当q≠－1或q = －1且k为奇数时，则S
k
，S
2k
－Sk
，S
3k
－S
2k
成等比数列。
（忽视公比q = －1）
27、已知定义在R上的函数
f(x)
和数列
{a
n
}
满足下列条件：

a
1
?a,a
n
?f( a
n?1
)(n?2,3,4,
...
),a
2
?a
1
，f(a
n
)－f(a
n
－
1
) = k(a
n
－a
n
－
1
)(n = 2,3,┄)，其中a< br>为常数，k为非零常数。（1）令
b
n
?a
n?1
?a
n
(n?N*)
，证明数列
{b
n
}
是等比数列；（2） 求数列
{a
n
}
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的通项公式；（3）当
|k| ?1
时，求
lima
n
。(2004天津)
n??
（等比数列中的0和1，正确分类讨论）
28、不等式m
2
－(m
2
－3m)i< (m
2
－4m + 3)i + 10成立的实数m的取值集合是________。{3}(隐含条件)
(－1+i)(2+i)
29、i是虚数单位，的虚部为（ ）C(概念不清)
i
3
(A) －1 (B) －i
2
(C) －3 (D) －3 i
30、实数
m
，使方程
x?(m?4i)x?1?2mi?0
至 少有一个实根。
错误解法
?
方程至少有一个实根，
???(m?4i )
2
?4(1?2mi)?m
2
?20?0
?
m?25,
或
m??25.

错误分析 实数集合是复数集合的真 子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一
定成立，必须经过严格推广后方可使用。 一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此
题目盲目地把它推广到复系数一元二次方 程中，造成解法错误。
正确解法 设
a
是方程的实数根，则
a
2
?(m?4i)a?1?2mi?0,?a
2
?ma?1?(4a?2m)i?0.

由于
a、m
都是实数，
?
?
a
2
?ma?1?0
,解得
m??2.

?
4a?2m?0
?
31、和a = (3,－4)平行的单位向量是_________；和a = (3,－4)垂直的单位向量是_________。
34344343
( ，－ )或(－ ， )；( ， )或(－ ，－ )(漏解)
55555555
32、将函数y= 4x－8的图象L按向量a平移到L

，L

的函数表达式为y= 4x，则向量a=______。
a = (h，4h+8) (其中h ? R)(漏解)
rrrrrr
33、已知 |a
|＝1，|
b
|＝
2
，若
a

b，求
a
·
b
。
rrrrrr
①若
a
，
b
共向，则
a
·
b
＝|
a
|?|
b
|＝
2
，


34、在正三棱锥A－BCD中，E、F是AB、BC的中点，EF⊥DE，若BC = a，则正三棱锥A－BCD的
体积为____________。
2
3
a (隐含条件)
24

rrrrrr
②若
a
，
b
异向，则
a
·
b
＝－|
a
|?|
b|＝－
2
。(漏解)
35、在直二面角 ?－AB－? 的棱 AB 上取一点 P，过 P 分别在 ?、? 两个平面内作与棱成 45° 的斜
线 PC、PD，那么∠CPD的大小为D(漏解)
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(A) 45? (B) 60? (C) 120? (D) 60? 或 120?
36、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点 F。
（1）证明PA平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C—PB—D的大小。(2004天津)
(条件不充分(漏PA ? 平面EDB，
DE?
平面PDC，DE∩EF = E等)；运算错误，锐角钝角不分。)
x
2
37、若方程
m

+ y
2
= 1表示椭圆，则m 的范围是_______。(0，1)∪(1，+ ?)(漏解)
1
x
2
3
38、已知椭圆

+ y
2
= 1的离心率为 ，则 m 的值为 ____ 。4 或 (漏解)
m2
4
39、椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F
1
、F
2
组成的三角形的周
x
2
y
2
2
?
2 2
长为 4 + 23 且∠F
1
BF
2
= ，则椭圆的方程是 。 + y = 1或x + = 1(漏解)
3
44
40、椭圆的中心是原点O，它的短轴长为< br>22
，相应于焦点F（c，0）（
c?0
）的准线
l
与x轴相 交于
点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。
（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若
OP?OQ?0
，求直线PQ的方程；
（3 ）设
AP?
?
AQ
（
?
?1
），过点P且平行于准 线
l
的直线与椭圆相交于另一点M，证明
FM??
?
FQ
。 (2004天津)
(设方程时漏条件a>2 ，误认短轴是b = 22 ；要分析直线PQ斜率是否存在(有时也可以设为x = ky +
b)先；对一元二次方程要先看二次项系数为0否，再考虑△>0，后韦达定理。)
41、 已知双曲线的右准线为
x?4
，右焦点
F(10,0)
,离心率
e? 2
,求双曲线方程。
a
2
x
2
y
2
22 22
?4,c?10,?a?40,?b?c?a?60.
故所求的双曲线方程为
?? 1.
错解1
?x?
c
4060
错解2 由焦点
F( 10,0)
知
c?10,
?e?
c
?2,?a?5,b
2< br>?c
2
?a
2
?75.

a
x
2
y
2
??1.
故所求的双曲线方程为
2575
错解分析 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题 中并没有告诉中心在原点这个条件。由
于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产 生错误解法。
正解1 设
P(x,y)
为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线 为
x?4
，右焦点
F(10,0)
，离心率
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(x?10 )
2
?y
2
(x?2)
2
y
2
??1.< br>
?2.
整理得
e?2
，由双曲线的定义知
1648
|x?4|
正解2 依题意，设双曲线的中心为
(m,0)
,
?
a
2
?
?m?4
c
?
?
则
?
c?m?10
解得
?
c
?
?2.
?
?
a
2
?
a?4
?
222
?
c?8
,所以
b?c?a?64?16?48,

?
m?2.
?
2
故所求双曲线方程为
(x?2)y
??1.

1648
22
y
42、 求与
y
轴相切于右侧，并与⊙
C:x?y?6x?0
也相切的圆的圆心
的轨迹方程。
错误解法 如图3－2－1所示，已知⊙C的方程为
(x?3)?y?9.

22
M
·P
N
·
C(3,0)
O
设点
P(x, y)(x?0)
为所求轨迹上任意一点，并且⊙P与
y
轴相切于M点，
与⊙C相切于N点。根据已知条件得
x
图
3
－
2
－
|CP|?|PM|?3
，即
(x?3)
2
?y
2?x?3
，化简得
y
2
?12x(x?0).

错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨< br>迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的< br>方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以
x
轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离 为半径（不等于
3）的圆也符合条件，所以
y?0(x?0且x?3)
也是所求的方程 。即动圆圆心的轨迹方程是y
2
= 12x(x>0)
和
y?0(x?0且 x?3)
。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保
证所求 轨迹的纯粹性和完备性。
43、（如图3－2－2），具有公共
y
轴的两个直角坐标 平面
?
和
?
所成的二面角
?
?y轴－
?
等 于
60?
.
已知
?
内的曲线
C
?
的方程是
y?2px
?
(p?0)
，求曲线
C
?
在
?
内的射影的曲线方
错误解法 依题意，可知曲线
C
?
是抛物线，
2
?

程。
p
在
?
内的焦点坐标是F
?
(,0),p?0.

2
因为二面角
?
?y轴－
?
等于
60?
，
x
?

y

O
F
?
·
x

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?

图
3
－
2
－
2

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且
x
?
轴?y轴，x轴?y轴，
所以?xox
?
?60?.

设焦点
F
?
在
?
内的射影是
F(x,y)
，那么，
F
位于
x
轴 上，
从而
y?0,?F
?
OF?60?,?F
?
FO?9 0?,

所以
OF?OF
?
?cos60??
p1pp??.
所以点
F(,0)
是所求射影的焦点。依题意，射影是一条抛物线，
2244
2
开口向右，顶点在原点。所以曲线
C
?
在
?< br>内的射影的曲线方程是
y?px.

错误分析 上述解答错误的主要原因是， 凭直观误认为F是射影(曲线)的焦点，其次，没有证明默认
C

在
?
内的射影(曲线)是一条抛物线。
正确解法 在
?
内，设点
M(x
?
,y
?
)
是曲线上任意一点
?

（如图3－ 2－3）过点
M
作
MN?
?
，垂足为
N
，
过
N
作
NH?y
轴，垂足为
H.
连接
MH
，
x
?

y

则
MH?y
轴。所以
?MHN
是二面角
O
F
?
·
M
H
N
??y轴－?
的平面角，依题意，
?MHN?60?
.
x

1
在
Rt?MNH中,HN?HM?cos60??x
?
.

2
又知
HMx
?
轴（或
M
与
O
重 合），
?

图
3
－
2
－
3
H Nx
轴（或
H
与
O
重合），设
N(x,y)
，
1
?
?
x?x
?
则
?
2
?
?
y?y
?
?
x
?
?2x

?
?
?
y?y.
?
22
因为点
M(x
?,y
?
)
在曲线
y?2px
?
(p?0)
上， 所以
y?2p(2x).

即所求射影的方程为
y?4px(p?0).

2
44、设椭圆的中心是坐标原点，长轴
x
在轴上，离心率
e?
是
7
，求这个椭圆的方程。
33
，已知点
P(0,)
到这个椭圆上的最远距离
2
2
x
2
y
2
错误解法 依题意可设椭圆方程为
2
?
2
?1(a?b?0)

ab
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c
2
a
2
?b
2
b2
3
?1?
2
?
， 则
e?
2
?
2
4
aaa
2
b
2
1
所以
2
?
，即
a?2b.

4
a
设椭圆上 的点
(x,y)
到点
P
的距离为
d
，
则
d?x?(y?)

22
3
2
2
y
29
?a(1?
2
)?y
2
?3y?
4

b

1
??3(y?)
2
?4b
2
?3.
2
2
所以当
y??
1
2
时，d
有最大值，从而
d
也有最大值。
2
22
22
所以
4b?3?(7)
，由此解得：
b?1,a?4.

x
2
?y
2
?1.
于是所求椭圆的方程为
4
错解分析 尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误 的。结果正确只是碰巧而已。
由当
y??
1
2
时，
d
有最大值，这步推理是错误的，没有考虑
y
到的取值范围。事实上，由于点
(x,y )
2
2
在椭圆上，所以有
?b?y?b
，因此在求
d
的最大值时，应分类讨论。即：
1
2
，则当
y??b
时，
d
（从而
d
）有最大值。
2
3
2
311
2
于是
(7)?(b?),
从而解得
b?7??,与b?矛盾。

2222
11
2
所以必有
b?
，此时当
y??时，
d
（从而
d
）有最大值，
22
若
b?< br>22
22
所以
4b?3?(7)
，解得
b?1,a?4.
x
2
?y
2
?1.
于是所求椭圆的方程为
4
数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实
数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的
一 系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性
等）， 做到思考缜密、推理严密。
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