关键词不能为空

当前您在: 主页 > 数学 >

高一数学不等式证明经典例题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 03:57
tags:高中数学资源网

教师资格证面试试题高中数学-高中数学 数字计算错误

2020年9月20日发(作者:程云)


3eud教育网 http: 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!
典型例题一

例1 若
0?x?1
,证明
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)

a?0

a?1
).
分析1 用作差法来证明.需分为
a?1

0?a?1
两种情况,去掉绝对值符号,然后比
较法证明.
解法1 (1)当
a?1
时,
因为
0?1?x?1,1?x?1

所以
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)


??log
a
(1?x)?log
a
(1?x)


??log
a
(1?x
2
)?0

(2)当
0?a?1
时,
因为
0?1?x?1,1?x?1

所以
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)


?log
a
(1?x)?log
a
(1?x)

2

?log
a
(1?x)?0

综合(1 )(2)知
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)

分析2 直接作差,然后用对数的性质来去绝对值符号.
解法2 作差比较法.
因为
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)


?
lg(1?x)lg(1?x)

?
lgalga
1
?
lg(1?x)?lg(1?x)
?

lga
1
?
?lg(1?x)?lg(1?x)
?

lga
?1
lg(1?x
2
)?0

lga?
?
?
所以
log
a
(1?x)?log
a< br>(1?x)

3eud教育网 http: 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!


3eud教育网 http: 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!
说明:解法一用分类相当于增设了已知条件,便于在 变形中脱去绝对值符号;解法二用
对数性质(换底公式)也能达到同样的目的,且不必分而治之,其解法 自然简捷、明快.
典型例题二

例2 设
a?b?0
,求证:
ab?ab.

分析:发现作差后变形、判断 符号较为困难.考虑到两边都是正数,可以作商,判断比
值与1的大小关系,从而证明不等式.
abba
a
a
b
b
a
a?b
?b
b?a
?()
a?b
证明:
ba
?a
b
ab

a?b?0
,∴
a
?1,a?b?0.

b
a
a?b
a
a
b
b
?1
. ∴
ba
?1.

()
b
ab
又∵
ab?0


ab?ab.
.
说明:本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较 法).作商比较法证明不等式的步骤
是:判断符号、作商、变形、判断与1的大小.
abba
ba
典型例题三

a
4
?b
4
a?b
4
?()
(当且仅当
a?b
时取等号) 例3 对于任意实数
a

b
,求证
22
分析 这个题若使用比较法 来证明,将会很麻烦,因为,所要证明的不等式中有
(
22
a?b
4
)

2
展开后很复杂。若使用综合法,从重要不等式:
a?b?2ab
出发,再恰当地利用不等式的
有关性质及“配方”的技巧可得到证明。
证明:∵
a?b?2ab
(当且仅当
a?b
时取等号)
两边同加
(a?b):2(a?b)?(a?b)

4444222
2222
a
4
?b
4
a
2
?b
2
2
?()
(1) 即:
22
22
又:∵
a?b?2ab
(当且仅当
a?b
时取等号)
两边同加
(a?b):2(a?b)?(a?b)

3eud教育网 http: 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!
22222


3eud教育网 http: 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!
a
2
?b
2
a?b
2
?()

22
a
2
?b
2
2
a?b
4
)? ()
(2) ∴
(
22
a
4< br>?b
4
a?b
4
?()
(当且仅当
a?b
时 取等号)由(1)和(2)可得.
22
说明:此题参考用综合法证明不等式.综合法证明不等 式主要是应用均值不等式来证明,
要注意均值不等式的变形应用,一般式子中出现有平方和乘积形式后可 以考虑用综合法来解.
典型例题四


111
???9.

abc
111
分析 显然这个题用比较法是不易证出的。若把
??
通 分,则会把不等式变得较复
abc
例4 已知
a

b
c?R

a?b?c?1
,求证
?
杂而不易得到证明.由于右边 是一个常数,故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的
形式,比如
ba
?
,再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径,这也常称为“凑倒数”
ab
的技巧.
证明:∵
a?b?c?1

111a?b?ca?b?ca?b?c
?????

abcabc
bcacab

?(1??)?(?1?)?(??1)

aabbcc
bacacb

?3?(?)?(?)?(?)

abacbc


ca cb
baba
??2??2
,同理:
??2

??2

acbc
abab

111
???3?2?2?2?9.

abc
说明:此题考查了变形 应用综合法证明不等式.题目中用到了“凑倒数”,这种技巧在很
多不等式证明中都可应用,但有时要首 先对代数式进行适当变形,以期达到可以“凑倒数”
的目的.
典型例题五

例5 已知
a?b?c
,求证:
111
??
>0.
a?bb?cc?a
分析:此题直接入手不容易,考虑用分析法来证明,由于分析法的过程可以用综合 法来
书写,所以此题用两种方法来书写证明过程.
3eud教育网 http: 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!


3eud教育网 http: 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!
证明一:(分析法书写过程)
111
??
>0
a?bb?cc?a
11
1
?
只需要证明>
a?bb?c
a?c

a?b?c

为了证明

a?c?a?b?0,b?c?0

111
?
,
>0
a?ba?cb?c
111
?
∴>成立
a?bb?ca?c
111
??
∴>0成立
a?bb?cc?a

证明二:(综合法书写过程)

a?b?c

a?c?a?b?0,b?c?0

111
> >0
a?ba?c
b?c
111
?
∴>成立
a?bb?ca?c
111
??
∴>0成立
a?bb?cc?a< br>∴
说明:学会分析法入手,综合法书写证明过程,但有时这两种方法经常混在一起应用,
混合应用时,应用语言叙述清楚.
典型例题六


例6 若
a?0,b?0
,且
2c?a?b
,求证:
c?c
2
?ab?a?c?c
2
?ab.

分析 这个不等式从形式上不易看出其规律性,与我们掌握的定理和重要的结论也没有什
么直接的联系,所以可 以采用分析的方法来寻找证明途径.但用“分析”法证不等式,要有
严格的格式,即每一步推出的都是上 一步的充分条件,直到推出的条件是明显成立的(已知
条件或某些定理等).
证明:为要证< br>c?c
2
?ab?a?c?c
2
?ab.

只需证
?c
2
?ab?a?c?c
2
?ab

即证
a?c?
2
c
2
?ab

2
也就是
(a?c)?c?ab

3eud教育网 http: 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!


3eud教育网 http: 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!
即证
a?2ac??ab

即证
2ac?a(a?b)


a?0,2c?a?b,b?0


c?
2
a ?b
?ab
,故
c
2
?ab
即有
c
2?ab?0

2
又 由
2c?a?b
可得
2ac?a(a?b)
成立,
∴ 所求不等式
c?c
2
?ab?a?c?c
2
?ab
成立.
说明:此题考查了用分析法证明不等式.在题目中分析法和综合法是综合运用的,要注
意在书写时,分析法的书写过程应该是:“欲证??需证??”,综合法的书写过程是:“因为
(∵)? ?所以(∴)??”,即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混.

典型例题七


例7 若
a
3
?b
3
?2
,求证
a?b?2

分析:本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法.
证法一:假设
a?b? 2
,则
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
? ab?b
2
)?2(a
2
?ab?b
2
)

a?b?2
,故
(a
2
?ab?b
2
)?1


1?ab?a?b?2ab
.从而
ab?1


a?b?1?ab?2


(a?b)
2
?a
2
?b
2
?2ab?2?2ab?4


a?b?2

这与假设矛盾,故
a?b?2

证法二:假设
a?b?2
,则
a?2?b


2 ?a
3
?b
3
?(2?b)
3
?b
3
,即
2?8?12b?6b
2
,即
(b?1)
2
?0

这不可能.从而
a?b?2

证法三:假设
a?b?2
, 则
(a?b)
3
?a
3
?b
3
?3ab(a?b) ?8


a
3
?b
3
?2
,得
3ab(a?b)?6
,故
ab(a?b)?2


a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?2< br>,
22
22
33
3eud教育网 http: 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!


3eud教育网 http: 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!

ab(a?b)?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)


a
2
?ab? b
2
?ab
,即
(a?b)
2
?0

这不可能,故
a?b?2

说明:本题三种方法均采用反证法,有的推至与已知矛盾,有的推至与已知事实矛盾.
一般说 来,结论中出现“至少”“至多”“唯一”等字句,或结论以否定语句出现,或结
论肯定“过头”时,都 可以考虑用反证法.

典型例题八


例8 设
x

y
为正数,求证
x
2
?y
2
?
3x
3
?y
3

分析:用综合法证明比较困难,可试用分析法.
证明:要证
x
2
?y
2
?
3
x
3
?y
3
,只需证
(x
2
?y
2
)
3
?(x
3
?y
3
)
2

即证
x
6
?3x
4
y
2
?3x
2
y
4
?y
6
?x
6
?2x
3
y
3
?y
6

化简得
3x
4
y
2
?3x
2
y
4
?2x
3
y
3

x
2y
2
(3x
2
?2xy?3y
2
)?0


??4y
2
?4?3?3y
2
?0


3x
2
?2xy?3y
2
?0

∴< br>x
2
y
2
(3x
2
?2xy?3y
2
)?0

∴原不等式成立.
说明:1.本题证明易出现以下错误证法:
x
2
?y
2
?2xy

3
x
3
? y
3
?
3
3
2x
2
3
y
2
,然
后分(1)
x?y?1
;(2)
x?y?1
;(3)
x?1

0?y?1
;(4)
y?1

0?x?1
来讨论,结果无效.
2.用分析法证明数学问题,要求相邻两步的关系是
A?B
,前 一步是后一步的必要条件,
后一步是前一步的充分条件,当然相互为充要条件也可以.
典型例题九


例9 已知
1?x
2
?y
2
?2
,求证
1
?x
2
?xy?y
2
?3

2
分析:联想三角函数知识,进行三角换元,然后利用三角函数的值域进行证明.
证明:从条件看,可用三角代换,但需要引入半径参数
r


1?x
2
?y
2
?2

∴可设
x?rcos?

y?rsin?
,其中
1?r?2,0???2?

3eud教育网 http: 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!


3eud教育网 http: 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!
1
sin2?)

2
113113

?1?si n2??
,故
r
2
?r
2
(1?sin2?)?r
2

222222
1
113

r
2
?< br>,
r
2
?3
,故
?x
2
?xy?y
2
?3

2
222

x
2
?xy?y< br>2
?r
2
?r
2
sin?cos??r
2
( 1?
说明:1.三角代换是最常见的变量代换,当条件为
x
2
?y
2
?r
2

x
2
?y
2
?r
2
x
2
y
2
??1
时,均可用三角代换.2.用换元法 一定要注意新元的范围,否则所证不等式的变
a
2
b
2
量和取值的变 化会影响其结果的正确性.
典型例题十


1111
???
?
??1

2n?1n?22n
111
分析:要求一个
n
项分式
的范围,它的和又求不出来,可以采用“化< br>??
?
?
n?1n?22n
例10 设
n
是正整数,求证
整为零”的方法,观察每一项的范围,再求整体的范围.
证明:由
2n?n?k?n(k?1,2,?,n)
,得
111
??

2nn?kn
111
??

2nn?1n
111

k?2
时,
??

2nn?2n

k?1
时,
??
111
??

2nn?nn
1n111n

?? ??
?
???1

22nn?1n?22nn

k?n< br>时,
说明:1、用放缩法证明不等式,放缩要适应,否则会走入困境.例如证明
1117 111
??
?
????
.由
,如果从第3项开始放缩,正好可证明; 如果从第
1
2
2
2
n
2
4
k
2< br>k?1k
2项放缩,可得小于2.当放缩方式不同,结果也在变化.
2、放缩法一般包 括:用缩小分母,扩大分子,分式值增大;缩小分子,扩大分母,分式值缩
小;全量不少于部分;每一次 缩小其和变小,但需大于所求,第一次扩大其和变大,但需小
于所求,即不能放缩不够或放缩过头,同时 放缩后便于求和.
典型例题十一


(a?b)
2
a?b(a?b)
2
??ab?
例11 已知
a?b?0
,求证:.
8a28b
分析:欲证不等式看起来较为“复杂 ”,宜将它化为较“简单”的形式,因而用分析法证
3eud教育网 http: 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!


3eud教育网 http: 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!
明较好.
(a?b)
2
a?b(a?b)
2
??ab?
证明:欲证,
8a28b
(a?b)
2
(a?b)
2
?a?b?2ab?
只须证.
4a4b
?
a?b
??
a?b
?
2
即要证
????
?(a?b)?
????

?
2a
??
2b
?
即要证
22
a?b
2a
?a?b?
a?b
2b

即要证
a?b
2a
?1?
a?b
2b

即要证
a?b
a
b
a
?2?
a?b
b

即要证
1??2?
a
b
?1
,即
b
?1?
a
a

b
即要证
ba
?1?
(*)
ab

a?b?0
,∴(*)显然成立,
(a?b)
2
a?b(a?b)
2
??ab?

8a28b
说明:分析法证明不等式,实质上是寻求结论成立的一个充分条件.分析法通常采用“欲证——只要证——即证——已知”的格式.
典型例题十二


例12 如果
x

y

z
?R
,求证:
x
8
?y
8
?z
8
?x
2
y
3
z< br>3
?y
2
z
3
x
3
?z
2
x
3
y
3

分析:注意到不等式左边各字母在项中的分布处于分离 状态,而右边却结合在一起,因
而要寻求一个熟知的不等式具有这种转换功能(保持两边项数相同),由
(a?b)
2
?(b?c)
2
?(c?a)
2
?0
,易得
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc? ca
,此式的外形特征符合要求,
因此,我们用如下的结合法证明.
证明:∵
x
8
?y
8
?z
8
?(x
4
)
2
?(y
4
)
2
?(z
4
)
2

?x
4
y
4
?y
4
x
4
?z4
x
4


?(x
2
y
2
)
2
?(y
2
z
2
)
2< br>?(z
2
x
2
)
2


?x
2
y
2
?y
2
z
2
?y2
z
2
?z
2
x
2
?z
2
x
2
?x
2
y
2

3eud教育网 http: 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!


3eud教育网 http: 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!

?(xy2
z)
2
?(yz
2
x)
2
?(zx
2
y)
2


?xy
2
z?yz
2
x?yz
2
x?zx
2
y?zx
2y?xy
2
z


?x
2< br>y
3
z
3
?y
2
z
3
x
3
?z
2
x
3
y
3


x
8
?y
8
?z
8
?x
2
y
3
z
3
?y
2
z
3
x
3
?z
2
x
3
y
3

说明:分析时也可以认为是连续应用基本不等式a
2
?b
2
?2ab
而得到的.左右两边都是
三项,实 质上是
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca公式的连续使用.
111
如果原题限定
x

y
z
?R
?
,则不等式可作如下变形:
x
8
?y
8
?z
8
?x
3
y
3
z
3
(?? )
xyz
x
5
y
5
z
5
111
进 一步可得到:
33
?
33
?
33
???

xyz
yzxzxy
显然其证明过程仍然可套用原题的思路,但比原题要难,因为发现思路还 要有一个转化
的过程.

典型例题十三


(1?b)c,(1?c)a
三数中,不例13 已知
0?a?1

0?b?1

0?c?1
,求证:在
(1?a)b,
可能都大于1

4
分析:此命题的形式为否定式,宜采用反证法证明.假设命题不成立,则
(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a
三数都大于
1
,从这个结论出发 ,进一步去导出矛盾.
4
1
(1?b)c,(1?c)a
三数都大于, 证 明:假设
(1?a)b,
4
111

(1?a)b?
(1?b)c?

(1?c)a?

444
又∵
0? a?1

0?b?1

0?c?1

111
∴< br>(1?a)b?

(1?b)c?

(1?c)a?

222
3

(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a?

2
1?a?b1?b?c1?c?a
又∵
(1?a)b?

(1?b)c?

(1?c)a?

222
以上三式相加,即得:
(1?a)?b?(1?b)?c?(1?c)?a?
3

2
3eud教育网 http: 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!


3eud教育网 http: 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!
显然①与②相矛盾,假设不成立,故命题获证.
说明:一般情况下,如果命题中有“至多”、 “至少”、“都”等字样,通常情况下要用反
证法,反证法的关键在于“归谬”,同时,在反证法的证明 过程中,也贯穿了分析法和综合法
的解题思想.
典型例题十四


例14 已知
a

b

c
都是正数,求证:
2
?
?
a?b
??
a?b?c
3
?
?a b
?
?3
?
?abc
?

3
?
2
???
分析:用分析法去找一找证题的突破口.要证原不等式,只需证
?2ab?c ?3
3
abc
,即
只需证
c?2ab?3
3
abc
.把
2ab
变为
ab?ab
,问题就解决了.或有分析法的途径,< br>也很容易用综合法的形式写出证明过程.
?
a?b
??
a?b?c< br>3
?
?abc
?
, 证法一:要证
2
??
? ab?3
?
3
?
2
???
只需证
a?b?2ab? a?b?c?3
3
abc


?2ab?c?3
3
abc
,移项,得
c?2ab?3
3
abc


a

b

c
为正数,得
c?2ab?c?ab?ab?3
3
abc

∴原不等式成立.
证法二:∵
a

b

c
为正数,
?c?ab?ab?3
3
cab?ab?3
3
abc
. < br>即
c?2ab?3
3
abc
,故
?2ab?c?3
3
abc

?a?b?2ab?a?b?c?3
3
abc

?
a?b
??
a?b?c
3
?
?2
??abc
?

?
?ab?3
?
3
?
2
???
说明:题中给出的
a?b?c
3
a?b

ab
,,
abc
,只因为
a

b

c都是正数,形式
3
2
同算术平均数与几何平均数定理一样,不加分析就用算术平均 数与几何平均数定理来求证,
问题就不好解决了.
原不等式中是用“不大于”连结,应该知道 取等号的条件,本题当且仅当
c?ab
时取“=”
号.证明不等式不论采用何种方法, 仅仅是一个手段或形式问题,我们必须掌握证题的关键.本
题的关键是证明
c?2ab?33
abc

3eud教育网 http: 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!


3eud教育网 http: 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!
典型例题十五


例15 已知
a?0

b?0
,且
a?b?1
.求证:
0?
111
(a?)(b?)?1

a
ab
分析:记
M?0?
111
(a?)(b?)
,欲证
0?M?1
,联想到正、余 弦函数的值域,
a
ab
本题采用三角换元,借助三角函数的变换手段将很方便,由条件
a?b?1

a、b?R
?
可换元,
围绕公式
se c
2
??tan
2
??1
来进行.
?

2
111111
)(b?)?(sec??)?(tan??)

(a?
2
asec?tan?
sec?
ab
1sin?cos??cos
2
?(?cos?)?(?)

cos?cos?sin?sin
2
?1
2
?cos????sin?

cos?sin?cos?
111
?
)(b?)?1
成立. ∵0???
,∴
0?sin??1
,即
0?(a?
a
2< br>ab
证明:令
a?sec
2
?

b?tan
2
?
,且
0???
说明:换元的思想随处可见,这里用的是三角代换法,这种 代换如能将其几何意义挖掘
出来,对代换实质的认识将会深刻得多,常用的换元法有:(1)若
x?1
,可设
x?sin?,??R

(2)若
x
2
?y
2
?1
,可设
x?cos?

y?sin?

??R
;(3)若
x
2
?y
2
?1
,可 设
x?rcos?

y?rsin?
,且
r?1

典型例题十六


例16 已知
x
是不等于1的正数,n
是正整数,求证
(1?x)(1?x)?2
nnn?1
?x
n

分析:从求证的不等式看,左边是两项式的积,且各项均为正,右边有2的因子,因此可考虑使用均值不等式.
证明:∵
x
是不等于1的正数,

1?x?2x?0


(1?x)
n
?2
n
x
n
. ①

1?x
n
?2x
n
?0
. ②
将式①,②两边分别相乘得
3eud教育网 http: 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!


3eud教育网 http: 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!
(1?x
n
)(1?x)
n
?2x
n
?2
n
?x
n


(1?x
n
)(1?x)
n
?2
n?1
?x
n
说明:本题看起来很复杂,但根据题中特点,选择综合法求证非常顺利.由特点选方法
是解题的关键,这里因为
x?1
,所以等号不成立,又因为①,②两个不等式两边均为正,所< br>以可利用不等式的同向乘性证得结果.这也是今后解题中要注意的问题.
典型例题十七


例17 已知,
x

y

z
?R
?
,且
x?y?z?1
,求证
x?y?z?3

分析: 从本题结构和特点看,使用比较法和综合法都难以奏效.为找出使不等式成立的
充分条件不妨先用分析法 一试,待思路清晰后,再决定证题方法.
证明:要证
x?y?z?3

只 需证
x?y?z?2(xy?
只需证
xy?xz?

x
,< br>y

z
?R
?

xz?yz)?3

yz?1


x?y?2xy

x?z?2xz

y?z?2yz


2(x?y?z)?2(xy?xz?
∴< br>xy?xz?

x?
yz)

yz?1
成立.
y?z?3

说明:此题若一味地用分析法去做,难以得到结果.在题中得到只需证
xy?xz?yz?1
后,思路已较清晰,这时改用综合法,是一种好的做法.通过此例可以< br>看出,用分析法寻求不等式的证明途径时,有时还要与比较法、综合法等结合运用,决不可
把某种 方法看成是孤立的.
典型例题十八


111
??
?
??2

2
2
3
2
n
2
分析:此题的难度在于,所求证不等式的左端有多项和且难以合并,右边只有一 项.注
1
意到这是一个严格不等式,为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律,这只需从
2

n
手考查即可.
例18 求证
1?
3eud教育网 http: 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!


3eud教育网 http: 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!
证明:∵
111111
?????(n?2)

n
2nnn(n?1)n?1n

1?
1
?
1
111
?
1
?
11
??
11
?
?????1????? ?
???2??2

????
??
1223
2
2
3
2
n
2
n?1nn
????
??
说明: 此题证明过程并不复杂,但思路难寻.本题所采用的方法也是解不等式时常用的
一种方法,即放缩法.这 类题目灵活多样,需要巧妙变形,问题才能化隐为显,这里变形的
这一步极为关键.
典型例题十九


例19 在
?ABC
中,角
A< br>、
B

C
的对边分别为
a

b
,< br>c
,若
A?C?2B
,求证
a
4
?c
4?2b
4

分析:因为涉及到三角形的边角关系,故可用正弦定理或余弦定理进行边角的转化.
证明:∵
A?C???B?2B
,∴
B?,cosB?
?
3
1

2
由余弦定理得
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB?a
2
?c
2
?ac


a
2
?c
2
?b
2
?ac


a
4
?c
4
?(a
2
?c
2< br>)
2
?2a
2
c
2

=
(a
2
?c
2
?2ac)(a
2
?c
2< br>?2ac)


?[b
2
?(2?1)ac]?[b
2
?(2?1)ac]


?b
4
?2ac?b
2
?a
2
c
2


??(ac?b)
2
?2b
4
?2b
4

说明:三角形中最常使用的两个定理就是正弦和余弦定理,另外还有面积公式
1
S?absin C
.本题应用知识较为丰富,变形较多.这种综合、变形能力需要读者在平时解
2
题时 体会和总结,证明不等式的能力和直觉需要长期培养.


3eud教育网 http: 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!

校本教研 课题 高中数学-高中数学线性规划不考了吗


高中数学三角函数特殊角-高中数学椭圆参数例题


高中数学必修1教学计划-高中数学书苏教 电子版


自学高中数学教材推荐-对高中数学新课程标准的认识


高中数学非一日之寒-高中数学必修一优秀课视频教学视频下载


高中数学思维教学相关研究-高中数学知识点讲解题目


高中数学椭圆习题-图书馆高中数学阅读优质课


高中数学中括号意义-高中数学开学第一课教案ppt



本文更新与2020-09-20 03:57,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/404971.html

高一数学不等式证明经典例题的相关文章