教师资格证面试试题高中数学-高中数学 数字计算错误
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典型例题一
例1 若
0?x?1
,证明
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)
(
a?0
且
a?1
).
分析1 用作差法来证明.需分为
a?1
和
0?a?1
两种情况,去掉绝对值符号,然后比
较法证明.
解法1
(1)当
a?1
时,
因为
0?1?x?1,1?x?1
,
所以
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)
??log
a
(1?x)?log
a
(1?x)
??log
a
(1?x
2
)?0
.
(2)当
0?a?1
时,
因为
0?1?x?1,1?x?1
所以
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)
?log
a
(1?x)?log
a
(1?x)
2
?log
a
(1?x)?0
.
综合(1
)(2)知
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)
.
分析2 直接作差,然后用对数的性质来去绝对值符号.
解法2 作差比较法.
因为
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)
?
lg(1?x)lg(1?x)
?
lgalga
1
?
lg(1?x)?lg(1?x)
?
lga
1
?
?lg(1?x)?lg(1?x)
?
lga
?1
lg(1?x
2
)?0
,
lga?
?
?
所以
log
a
(1?x)?log
a<
br>(1?x)
.
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说明:解法一用分类相当于增设了已知条件,便于在
变形中脱去绝对值符号;解法二用
对数性质(换底公式)也能达到同样的目的,且不必分而治之,其解法
自然简捷、明快.
典型例题二
例2
设
a?b?0
,求证:
ab?ab.
分析:发现作差后变形、判断
符号较为困难.考虑到两边都是正数,可以作商,判断比
值与1的大小关系,从而证明不等式.
abba
a
a
b
b
a
a?b
?b
b?a
?()
a?b
证明:
ba
?a
b
ab
∵
a?b?0
,∴
a
?1,a?b?0.
b
a
a?b
a
a
b
b
?1
.
∴
ba
?1.
∴
()
b
ab
又∵
ab?0
,
∴
ab?ab.
.
说明:本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较
法).作商比较法证明不等式的步骤
是:判断符号、作商、变形、判断与1的大小.
abba
ba
典型例题三
a
4
?b
4
a?b
4
?()
(当且仅当
a?b
时取等号) 例3
对于任意实数
a
、
b
,求证
22
分析 这个题若使用比较法
来证明,将会很麻烦,因为,所要证明的不等式中有
(
22
a?b
4
)
,
2
展开后很复杂。若使用综合法,从重要不等式:
a?b?2ab
出发,再恰当地利用不等式的
有关性质及“配方”的技巧可得到证明。
证明:∵
a?b?2ab
(当且仅当
a?b
时取等号)
两边同加
(a?b):2(a?b)?(a?b)
,
4444222
2222
a
4
?b
4
a
2
?b
2
2
?()
(1)
即:
22
22
又:∵
a?b?2ab
(当且仅当
a?b
时取等号)
两边同加
(a?b):2(a?b)?(a?b)
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22222
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a
2
?b
2
a?b
2
?()
∴
22
a
2
?b
2
2
a?b
4
)?
()
(2) ∴
(
22
a
4<
br>?b
4
a?b
4
?()
(当且仅当
a?b
时
取等号)由(1)和(2)可得.
22
说明:此题参考用综合法证明不等式.综合法证明不等
式主要是应用均值不等式来证明,
要注意均值不等式的变形应用,一般式子中出现有平方和乘积形式后可
以考虑用综合法来解.
典型例题四
111
???9.
abc
111
分析 显然这个题用比较法是不易证出的。若把
??
通
分,则会把不等式变得较复
abc
例4 已知
a
、
b
、c?R
,
a?b?c?1
,求证
?
杂而不易得到证明.由于右边
是一个常数,故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的
形式,比如
ba
?
,再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径,这也常称为“凑倒数”
ab
的技巧.
证明:∵
a?b?c?1
111a?b?ca?b?ca?b?c
?????
abcabc
bcacab
?(1??)?(?1?)?(??1)
aabbcc
bacacb
?3?(?)?(?)?(?)
abacbc
∴
∵
ca
cb
baba
??2??2
,同理:
??2
,
??2
。
acbc
abab
∴
111
???3?2?2?2?9.
abc
说明:此题考查了变形
应用综合法证明不等式.题目中用到了“凑倒数”,这种技巧在很
多不等式证明中都可应用,但有时要首
先对代数式进行适当变形,以期达到可以“凑倒数”
的目的.
典型例题五
例5 已知
a?b?c
,求证:
111
??
>0.
a?bb?cc?a
分析:此题直接入手不容易,考虑用分析法来证明,由于分析法的过程可以用综合
法来
书写,所以此题用两种方法来书写证明过程.
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证明一:(分析法书写过程)
111
??
>0
a?bb?cc?a
11
1
?
只需要证明>
a?bb?c
a?c
∵
a?b?c
为了证明
∴
a?c?a?b?0,b?c?0
111
?
,
>0
a?ba?cb?c
111
?
∴>成立
a?bb?ca?c
111
??
∴>0成立
a?bb?cc?a
∴
证明二:(综合法书写过程)
∵
a?b?c
∴
a?c?a?b?0,b?c?0
111
> >0
a?ba?c
b?c
111
?
∴>成立
a?bb?ca?c
111
??
∴>0成立
a?bb?cc?a<
br>∴
说明:学会分析法入手,综合法书写证明过程,但有时这两种方法经常混在一起应用,
混合应用时,应用语言叙述清楚.
典型例题六
例6
若
a?0,b?0
,且
2c?a?b
,求证:
c?c
2
?ab?a?c?c
2
?ab.
分析
这个不等式从形式上不易看出其规律性,与我们掌握的定理和重要的结论也没有什
么直接的联系,所以可
以采用分析的方法来寻找证明途径.但用“分析”法证不等式,要有
严格的格式,即每一步推出的都是上
一步的充分条件,直到推出的条件是明显成立的(已知
条件或某些定理等).
证明:为要证<
br>c?c
2
?ab?a?c?c
2
?ab.
只需证
?c
2
?ab?a?c?c
2
?ab
,
即证
a?c?
2
c
2
?ab
,
2
也就是
(a?c)?c?ab
,
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即证
a?2ac??ab
,
即证
2ac?a(a?b)
,
∵
a?0,2c?a?b,b?0
,
∴
c?
2
a
?b
?ab
,故
c
2
?ab
即有
c
2?ab?0
,
2
又
由
2c?a?b
可得
2ac?a(a?b)
成立,
∴
所求不等式
c?c
2
?ab?a?c?c
2
?ab
成立.
说明:此题考查了用分析法证明不等式.在题目中分析法和综合法是综合运用的,要注
意在书写时,分析法的书写过程应该是:“欲证??需证??”,综合法的书写过程是:“因为
(∵)?
?所以(∴)??”,即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混.
典型例题七
例7
若
a
3
?b
3
?2
,求证
a?b?2
.
分析:本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法.
证法一:假设
a?b?
2
,则
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?
ab?b
2
)?2(a
2
?ab?b
2
)
, 而
a?b?2
,故
(a
2
?ab?b
2
)?1
.
∴
1?ab?a?b?2ab
.从而
ab?1
,
∴
a?b?1?ab?2
.
∴
(a?b)
2
?a
2
?b
2
?2ab?2?2ab?4
.
∴
a?b?2
.
这与假设矛盾,故
a?b?2
.
证法二:假设
a?b?2
,则
a?2?b
,
故
2
?a
3
?b
3
?(2?b)
3
?b
3
,即
2?8?12b?6b
2
,即
(b?1)
2
?0
,
这不可能.从而
a?b?2
.
证法三:假设
a?b?2
,
则
(a?b)
3
?a
3
?b
3
?3ab(a?b)
?8
.
由
a
3
?b
3
?2
,得
3ab(a?b)?6
,故
ab(a?b)?2
.
又
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?2<
br>,
22
22
33
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∴
ab(a?b)?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)
.
∴
a
2
?ab?
b
2
?ab
,即
(a?b)
2
?0
.
这不可能,故
a?b?2
.
说明:本题三种方法均采用反证法,有的推至与已知矛盾,有的推至与已知事实矛盾.
一般说
来,结论中出现“至少”“至多”“唯一”等字句,或结论以否定语句出现,或结
论肯定“过头”时,都
可以考虑用反证法.
典型例题八
例8 设
x
、
y
为正数,求证
x
2
?y
2
?
3x
3
?y
3
.
分析:用综合法证明比较困难,可试用分析法.
证明:要证
x
2
?y
2
?
3
x
3
?y
3
,只需证
(x
2
?y
2
)
3
?(x
3
?y
3
)
2
,
即证
x
6
?3x
4
y
2
?3x
2
y
4
?y
6
?x
6
?2x
3
y
3
?y
6
,
化简得
3x
4
y
2
?3x
2
y
4
?2x
3
y
3
,
x
2y
2
(3x
2
?2xy?3y
2
)?0
.
∵
??4y
2
?4?3?3y
2
?0
,
∴
3x
2
?2xy?3y
2
?0
.
∴<
br>x
2
y
2
(3x
2
?2xy?3y
2
)?0
.
∴原不等式成立.
说明:1.本题证明易出现以下错误证法:
x
2
?y
2
?2xy
,
3
x
3
?
y
3
?
3
3
2x
2
3
y
2
,然
后分(1)
x?y?1
;(2)
x?y?1
;(3)
x?1
且
0?y?1
;(4)
y?1
且
0?x?1
来讨论,结果无效.
2.用分析法证明数学问题,要求相邻两步的关系是
A?B
,前
一步是后一步的必要条件,
后一步是前一步的充分条件,当然相互为充要条件也可以.
典型例题九
例9 已知
1?x
2
?y
2
?2
,求证
1
?x
2
?xy?y
2
?3
.
2
分析:联想三角函数知识,进行三角换元,然后利用三角函数的值域进行证明.
证明:从条件看,可用三角代换,但需要引入半径参数
r
.
∵
1?x
2
?y
2
?2
,
∴可设
x?rcos?
,
y?rsin?
,其中
1?r?2,0???2?
.
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1
sin2?)
.
2
113113
由
?1?si
n2??
,故
r
2
?r
2
(1?sin2?)?r
2
.
222222
1
113
而
r
2
?<
br>,
r
2
?3
,故
?x
2
?xy?y
2
?3
.
2
222
∴
x
2
?xy?y<
br>2
?r
2
?r
2
sin?cos??r
2
(
1?
说明:1.三角代换是最常见的变量代换,当条件为
x
2
?y
2
?r
2
或
x
2
?y
2
?r
2或
x
2
y
2
??1
时,均可用三角代换.2.用换元法
一定要注意新元的范围,否则所证不等式的变
a
2
b
2
量和取值的变
化会影响其结果的正确性.
典型例题十
1111
???
?
??1
.
2n?1n?22n
111
分析:要求一个
n
项分式
的范围,它的和又求不出来,可以采用“化<
br>??
?
?
n?1n?22n
例10
设
n
是正整数,求证
整为零”的方法,观察每一项的范围,再求整体的范围.
证明:由
2n?n?k?n(k?1,2,?,n)
,得
111
??
.
2nn?kn
111
??
;
2nn?1n
111
当
k?2
时,
??
2nn?2n
当
k?1
时,
??
111
??
.
2nn?nn
1n111n
∴
??
??
?
???1
.
22nn?1n?22nn
当
k?n<
br>时,
说明:1、用放缩法证明不等式,放缩要适应,否则会走入困境.例如证明
1117
111
??
?
????
.由
,如果从第3项开始放缩,正好可证明;
如果从第
1
2
2
2
n
2
4
k
2<
br>k?1k
2项放缩,可得小于2.当放缩方式不同,结果也在变化.
2、放缩法一般包
括:用缩小分母,扩大分子,分式值增大;缩小分子,扩大分母,分式值缩
小;全量不少于部分;每一次
缩小其和变小,但需大于所求,第一次扩大其和变大,但需小
于所求,即不能放缩不够或放缩过头,同时
放缩后便于求和.
典型例题十一
(a?b)
2
a?b(a?b)
2
??ab?
例11
已知
a?b?0
,求证:.
8a28b
分析:欲证不等式看起来较为“复杂
”,宜将它化为较“简单”的形式,因而用分析法证
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明较好.
(a?b)
2
a?b(a?b)
2
??ab?
证明:欲证,
8a28b
(a?b)
2
(a?b)
2
?a?b?2ab?
只须证.
4a4b
?
a?b
??
a?b
?
2
即要证
????
?(a?b)?
????
,
?
2a
??
2b
?
即要证
22
a?b
2a
?a?b?
a?b
2b
.
即要证
a?b
2a
?1?
a?b
2b
,
即要证
a?b
a
b
a
?2?
a?b
b
.
即要证
1??2?
a
b
?1
,即
b
?1?
a
a
.
b
即要证
ba
?1?
(*)
ab
∵
a?b?0
,∴(*)显然成立,
(a?b)
2
a?b(a?b)
2
??ab?
故
8a28b
说明:分析法证明不等式,实质上是寻求结论成立的一个充分条件.分析法通常采用“欲证——只要证——即证——已知”的格式.
典型例题十二
例12
如果
x
,
y
,
z
?R
,求证:
x
8
?y
8
?z
8
?x
2
y
3
z<
br>3
?y
2
z
3
x
3
?z
2
x
3
y
3
.
分析:注意到不等式左边各字母在项中的分布处于分离
状态,而右边却结合在一起,因
而要寻求一个熟知的不等式具有这种转换功能(保持两边项数相同),由
(a?b)
2
?(b?c)
2
?(c?a)
2
?0
,易得
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?
ca
,此式的外形特征符合要求,
因此,我们用如下的结合法证明.
证明:∵
x
8
?y
8
?z
8
?(x
4
)
2
?(y
4
)
2
?(z
4
)
2
?x
4
y
4
?y
4
x
4
?z4
x
4
?(x
2
y
2
)
2
?(y
2
z
2
)
2<
br>?(z
2
x
2
)
2
?x
2
y
2
?y
2
z
2
?y2
z
2
?z
2
x
2
?z
2
x
2
?x
2
y
2
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?(xy2
z)
2
?(yz
2
x)
2
?(zx
2
y)
2
?xy
2
z?yz
2
x?yz
2
x?zx
2
y?zx
2y?xy
2
z
?x
2<
br>y
3
z
3
?y
2
z
3
x
3
?z
2
x
3
y
3
.
∴
x
8
?y
8
?z
8
?x
2
y
3
z
3
?y
2
z
3
x
3
?z
2
x
3
y
3
.
说明:分析时也可以认为是连续应用基本不等式a
2
?b
2
?2ab
而得到的.左右两边都是
三项,实
质上是
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca公式的连续使用.
111
如果原题限定
x
,
y
,z
?R
?
,则不等式可作如下变形:
x
8
?y
8
?z
8
?x
3
y
3
z
3
(??
)
xyz
x
5
y
5
z
5
111
进
一步可得到:
33
?
33
?
33
???
.
xyz
yzxzxy
显然其证明过程仍然可套用原题的思路,但比原题要难,因为发现思路还
要有一个转化
的过程.
典型例题十三
(1?b)c,(1?c)a
三数中,不例13 已知
0?a?1
,
0?b?1
,
0?c?1
,求证:在
(1?a)b,
可能都大于1
.
4
分析:此命题的形式为否定式,宜采用反证法证明.假设命题不成立,则
(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a
三数都大于
1
,从这个结论出发
,进一步去导出矛盾.
4
1
(1?b)c,(1?c)a
三数都大于, 证
明:假设
(1?a)b,
4
111
即
(1?a)b?
,(1?b)c?
,
(1?c)a?
.
444
又∵
0?
a?1
,
0?b?1
,
0?c?1
,
111
∴<
br>(1?a)b?
,
(1?b)c?
,
(1?c)a?
.
222
3
∴
(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a?
①
2
1?a?b1?b?c1?c?a
又∵
(1?a)b?
,
(1?b)c?
,
(1?c)a?
.
222
以上三式相加,即得:
(1?a)?b?(1?b)?c?(1?c)?a?
3
②
2
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显然①与②相矛盾,假设不成立,故命题获证.
说明:一般情况下,如果命题中有“至多”、
“至少”、“都”等字样,通常情况下要用反
证法,反证法的关键在于“归谬”,同时,在反证法的证明
过程中,也贯穿了分析法和综合法
的解题思想.
典型例题十四
例14 已知
a
、
b
、
c
都是正数,求证:
2
?
?
a?b
??
a?b?c
3
?
?a
b
?
?3
?
?abc
?
.
3
?
2
???
分析:用分析法去找一找证题的突破口.要证原不等式,只需证
?2ab?c
?3
3
abc
,即
只需证
c?2ab?3
3
abc
.把
2ab
变为
ab?ab
,问题就解决了.或有分析法的途径,<
br>也很容易用综合法的形式写出证明过程.
?
a?b
??
a?b?c<
br>3
?
?abc
?
, 证法一:要证
2
??
?
ab?3
?
3
?
2
???
只需证
a?b?2ab?
a?b?c?3
3
abc
,
即
?2ab?c?3
3
abc
,移项,得
c?2ab?3
3
abc
.
由
a
、
b
、
c
为正数,得
c?2ab?c?ab?ab?3
3
abc
.
∴原不等式成立.
证法二:∵
a
、
b
、
c
为正数,
?c?ab?ab?3
3
cab?ab?3
3
abc
. <
br>即
c?2ab?3
3
abc
,故
?2ab?c?3
3
abc
.
?a?b?2ab?a?b?c?3
3
abc
,
?
a?b
??
a?b?c
3
?
?2
??abc
?
.
?
?ab?3
?
3
?
2
???
说明:题中给出的
a?b?c
3
a?b
,
ab
,,
abc
,只因为
a
、
b
、
c都是正数,形式
3
2
同算术平均数与几何平均数定理一样,不加分析就用算术平均
数与几何平均数定理来求证,
问题就不好解决了.
原不等式中是用“不大于”连结,应该知道
取等号的条件,本题当且仅当
c?ab
时取“=”
号.证明不等式不论采用何种方法,
仅仅是一个手段或形式问题,我们必须掌握证题的关键.本
题的关键是证明
c?2ab?33
abc
.
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典型例题十五
例15
已知
a?0
,
b?0
,且
a?b?1
.求证:
0?
111
(a?)(b?)?1
.
a
ab
分析:记
M?0?
111
(a?)(b?)
,欲证
0?M?1
,联想到正、余
弦函数的值域,
a
ab
本题采用三角换元,借助三角函数的变换手段将很方便,由条件
a?b?1
,
a、b?R
?
可换元,
围绕公式
se
c
2
??tan
2
??1
来进行.
?
,
2
111111
)(b?)?(sec??)?(tan??)
则
(a?
2
asec?tan?
sec?
ab
1sin?cos??cos
2
?(?cos?)?(?)
cos?cos?sin?sin
2
?1
2
?cos????sin?
cos?sin?cos?
111
?
)(b?)?1
成立. ∵0???
,∴
0?sin??1
,即
0?(a?
a
2<
br>ab
证明:令
a?sec
2
?
,
b?tan
2
?
,且
0???
说明:换元的思想随处可见,这里用的是三角代换法,这种
代换如能将其几何意义挖掘
出来,对代换实质的认识将会深刻得多,常用的换元法有:(1)若
x?1
,可设
x?sin?,??R
;
(2)若
x
2
?y
2
?1
,可设
x?cos?
,
y?sin?
,
??R
;(3)若
x
2
?y
2
?1
,可
设
x?rcos?
,
y?rsin?
,且
r?1
.
典型例题十六
例16 已知
x
是不等于1的正数,n
是正整数,求证
(1?x)(1?x)?2
nnn?1
?x
n
.
分析:从求证的不等式看,左边是两项式的积,且各项均为正,右边有2的因子,因此可考虑使用均值不等式.
证明:∵
x
是不等于1的正数,
∴
1?x?2x?0
,
∴
(1?x)
n
?2
n
x
n
. ①
又
1?x
n
?2x
n
?0
. ②
将式①,②两边分别相乘得
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(1?x
n
)(1?x)
n
?2x
n
?2
n
?x
n
,
∴
(1?x
n
)(1?x)
n
?2
n?1
?x
n.
说明:本题看起来很复杂,但根据题中特点,选择综合法求证非常顺利.由特点选方法
是解题的关键,这里因为
x?1
,所以等号不成立,又因为①,②两个不等式两边均为正,所<
br>以可利用不等式的同向乘性证得结果.这也是今后解题中要注意的问题.
典型例题十七
例17 已知,
x
,
y
,
z
?R
?
,且
x?y?z?1
,求证
x?y?z?3
.
分析:
从本题结构和特点看,使用比较法和综合法都难以奏效.为找出使不等式成立的
充分条件不妨先用分析法
一试,待思路清晰后,再决定证题方法.
证明:要证
x?y?z?3
,
只
需证
x?y?z?2(xy?
只需证
xy?xz?
∵
x
,<
br>y
,
z
?R
?
,
xz?yz)?3
,
yz?1
.
∴
x?y?2xy
,
x?z?2xz
,
y?z?2yz
,
∴
2(x?y?z)?2(xy?xz?
∴<
br>xy?xz?
∴
x?
yz)
,
yz?1
成立.
y?z?3
.
说明:此题若一味地用分析法去做,难以得到结果.在题中得到只需证
xy?xz?yz?1
后,思路已较清晰,这时改用综合法,是一种好的做法.通过此例可以<
br>看出,用分析法寻求不等式的证明途径时,有时还要与比较法、综合法等结合运用,决不可
把某种
方法看成是孤立的.
典型例题十八
111
??
?
??2
.
2
2
3
2
n
2
分析:此题的难度在于,所求证不等式的左端有多项和且难以合并,右边只有一
项.注
1
意到这是一个严格不等式,为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律,这只需从
2
下
n
手考查即可.
例18
求证
1?
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证明:∵
111111
?????(n?2)
,
n
2nnn(n?1)n?1n
∴
1?
1
?
1
111
?
1
?
11
??
11
?
?????1?????
?
???2??2
.
????
??
1223
2
2
3
2
n
2
n?1nn
????
??
说明:
此题证明过程并不复杂,但思路难寻.本题所采用的方法也是解不等式时常用的
一种方法,即放缩法.这
类题目灵活多样,需要巧妙变形,问题才能化隐为显,这里变形的
这一步极为关键.
典型例题十九
例19 在
?ABC
中,角
A<
br>、
B
、
C
的对边分别为
a
,
b
,<
br>c
,若
A?C?2B
,求证
a
4
?c
4?2b
4
.
分析:因为涉及到三角形的边角关系,故可用正弦定理或余弦定理进行边角的转化.
证明:∵
A?C???B?2B
,∴
B?,cosB?
?
3
1
.
2
由余弦定理得
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB?a
2
?c
2
?ac
∴
a
2
?c
2
?b
2
?ac
,
∴
a
4
?c
4
?(a
2
?c
2<
br>)
2
?2a
2
c
2
=
(a
2
?c
2
?2ac)(a
2
?c
2<
br>?2ac)
?[b
2
?(2?1)ac]?[b
2
?(2?1)ac]
?b
4
?2ac?b
2
?a
2
c
2
??(ac?b)
2
?2b
4
?2b
4
说明:三角形中最常使用的两个定理就是正弦和余弦定理,另外还有面积公式
1
S?absin
C
.本题应用知识较为丰富,变形较多.这种综合、变形能力需要读者在平时解
2
题时
体会和总结,证明不等式的能力和直觉需要长期培养.
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