2012年江苏数学高考试卷(清晰版)(含附加题,官方答案)

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2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
1．已知集合
A?
?
1,2,4
?
,B?
?
2,4,6
?
，则
A?B?

2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3：3：4，现用分 层抽样的方法从该校
高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生
3．设
a,b?R
，
a?bi?
11?7i
1?2 i
（
i
为虚数单位），则
a?b
的值为
4．右图是一个算法流程图，则输出的k的值是

5．函数
f(x)?1?2log
6
x
的定义域为 6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10各数中随
机的 抽取一个数，则它小于8的概率是
,AA?2c
，
m
则四棱锥7 ．如图，在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D1
中，
AB?AD?3cm
1
A?BB
1
D
1
D
的体积为
cm

3
8．在平面直角坐 标系
xOy
中，若双曲线
x
2
m
?
y
2< br>2
m?4
?1
的离心率为
A
1

D
1

C
1

B
1

5
，则m的值为
D

C

B

9．如图，在矩形
ABCD
中，
AB?
????????
点
F
在边
CD
上，若
AB?AF?
2,BC?2
，点
E
是
BC
的中点，
A

????????
2
，则
AE?BF
的值是
D
F
C


10．设
f(x)
是定义在
R
上且周期为2的函数，在区间
?
?1,1
?
上，
E
A
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B

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?
ax?1,?1?x?0
13
?
其中
a,b?R
，若
f()?f()
，则
a?3 b
的值为
f(x)?
?
bx?2
22
,0?x ?1
?
?
x?1
11．设
?
为锐角，若
cos(< br>?
?
?
6
)?
4
5
，则
sin(2
?
?
?
12
)
的值为
12．在平面直 角坐标系
xOy
中，圆
C
的方程为
x
2
?y
2
?8x?15?0
，若直线
y?kx?2
上
至少存在一点，使得 以该点为圆心，1为半径的圆与圆
C
有公共点，则
k
的最大值为


13．已知函数
f(x)?x
2
?ax?b(a,b? R)
的值域为
?
0,??
?
，若关于x的不等式
f(x)? c
的
解集为
(m,m?6)
，则实数
c
的值为
14．已知正数
a,b,c
满足：
5c?3a?b?4c?a,clnb?a ?clnc
，则
b
a
的取值范围是

???? ????????????
15．在
?ABC
中，已知
AB?AC?3BA? BC

（1） 求证：
tanB?3tanA

（2） 若
cosC?
5
5
，求
A
的值
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16 ．如图，在直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，< br>A
1
B
1
?A
1
C
1
，D
，
E分别是棱BC
，
CC
1
上的点
（点D不同于点C），且
AD?DE
，
F
是
B
1
C
1
的中 点
求证：(1)平面
ADE?
平面
BCC
1
B
1

(2)直线
A
1
F
平面
ADE





A

D
B

A
1

F

C
1

B
1

E

C


17．如图， 建立平面直角坐标系
xOy
，
x
轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度 为1
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千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹 在方程
y?kx?
1
20
(1?k)x(k?0)
表
22< br>示的曲线上，其中
k
与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一个飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3 .2千米，试问它的横坐标
a
不超过多少时，炮弹可以击中它？说明理由。










y(km)
o
x(km)

18．若函数
y?f(x )
在
x?x
o
处取得最大值或最小值，则称
x
o
为 函数
y?f(x)
的极值点。
已知
a,b
是实数，1和-1是函数< br>f(x)?x?ax?bx
的两个极值点
(1)求
a
和
b
的值；
(2)设函数
g(x)< br>的导函数
g(x)?f(x)?2
，求
g(x)
的极值点；
(3)设
h(x)?f(f(x))?c
，其中
c?
?
?2,2?
，求函数
y?h(x)
的零点个数

'
32
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19．如图，在平面直角坐 标系
xOy
中，椭圆
x
a
2
2
?
y
b
2
2
?1(a?b?0)
的左、右焦点分别为
?
3?
F
1
(?c,0),F
2
(c,0)
，已知点（1， e）和
?
e,
都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率
?
??
2
??
（1）求椭圆的方程；
（2）设
A ,B
是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线
AF
1
与直线
BF
2
平行，
AF
2
与
BF
1
交于
点P，
（i）若
AF
1
?BF
2
?
6
2
，求直线
AF
1
的斜率；
（ii）求证：
PF
1
?PF
2
是定值
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y
A
P
F
1

B
F
2

O
x
（第19题）


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< br>20．已知各项均为正数的两个数列
?
a
n
?
和
?< br>b
n
?
满足：
a
n?1
?
a
n?b
n
a
n
?b
n
22
,n?N
< br>*
（1）设
b
n?1
2
?
??
b
b
n
?
n
?
?
*
?1?,n?N
，求证：数 列
?
??
?
是等差数列；
a
a
n
??
?
n
?
?
?
（2）设
b
n?1?2?
b
n
a
n
,n?N
，且
?
a< br>n
?
是等比数列，求
a
1
和
b
1
的 值。
*
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2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅱ(附加题)

21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
答．
．．
若多做，则按作答的前两题评分 ．
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，AB是圆O的直径，D，E 为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，
使BD=DC，连结AC，AE，DE。
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求证：
?E??C
。

（第21-A题图）

B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
3
??
1
?
?
44
?
?
??
，求矩阵A的特征值。
11
?
?
?
?
2
?
?2?
已知矩阵A的逆矩阵
A
?1

C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知圆C经过点P
(2,
点，求圆C的极坐标方程。
?4
)
，圆心为直线
?
sin(
?
?
?
3
)??
3
2
与极轴的交
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C．[选修4-4：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知实数
x,y
满 足：
|x?y|?
1
3
，
|2x?y|?
1
6，求证：
|y|?
5
18
。

【必做题】第22题、 第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写
．．．．．．．．
出文字说明、证
明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
设
?
为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，
?
?0
；
当两条棱平行时，
?
的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，
?
?1
。
（1）求概率P（
?
?0
）；
（2）求
?
的分布列，并求其数学期望。
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23．（本小题满分10分）
*
设集合
P
n
?{1,2, ?,n},n?N
。记
f(n)
为同时满足下列条件的集合A的个数：
①< br>A?P
n
；②若
x?A
，则
2x?A
；③若
x??
P
A
，则
2x??
P
A

n
n
（1）求
f(4)
；
（2）求
f(n)
的解析式（用
n
表示）。



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