二项式定理-巅峰冲刺山东省2020年高考数学一轮考点扫描+Word版含解析

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巅峰冲刺 山东省2020年高考数学一轮考点扫描
专题58 二项式定理
一、【知识精讲】
1.二项式定理
(1)二项式定理：(
a
＋
b
)＝C
n
a
＋C
n
a
(2) 通项公式：
T
r
＋1
＝C
n
a
rn
－rr
n
0
n
1
n
－1
n
－
r rn
*
b
＋…＋C
r
b
＋…＋C
n
na
n
b
(
n
∈N)；
b
，它表示第
r
＋1项；
01
(3)二项式系数：二项展 开式中各项的系数C
n
，C
n
，…，C
n
.
2.二项式系数的性质
性质

对称性

性质描述
与首末等距离的两个二项式系数相等，即C
n
＝C
n

当
k
＜
增减性

二项式系数C
k
nkn
－
k
n
n
＋1
2
2
(
n
∈N)时，是递增的
(
n
∈N)时，是递减的
n
2n
*
*
当
k
＞
二项式系数最
大值
3.各二项式系数和
n
＋1
当
n
为偶数时，中间的一项
C
取得最大值
当
n
为奇数时，中间的两项
C
n?1
2
n
与
C
n?1
2
n
取得最大值
(1)(
a
＋
b
)展开式的各二项式系数和：C
n
＋C
n
＋C
n
＋…＋C
n
＝2.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系 数的和，即C
n
＋C
n
＋C
n
＋…＝C
n
＋C
n
＋C
n
＋…＝2
n
－1
024135
n
012
nn
.
【注意点】
(
a
＋
b
)的展开式形式上的特点
(1)项数为
n
＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数
n
，即
a
与
b
的指数的和为
n
.
(3)字 母
a
按降幂排列，从第一项开始，次数由
n
逐项减1直到零；字母
b
按升幂排列，从
第一项起，次数由零逐项增1直到
n
.
(4)二项 式的系数从C
n
，C
n
，一直到C
n
，C
n
.
二、【典例精练】
考点一 通项公式及其应用
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01
n
n
－1
n

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角度1 求二项展开式中的特定项
?
1
?
2
【例1－1】 (1)(2018·信阳二模)(
x
＋1)
?
－2
?
的展开式的常数项是( )
?
x
?
A.5 B.－10 C.－32 D.－42
5
10
?
3
1
?
?
的展开式中所有的有理项为_ _______. (2)
?
x
－
?
3
?
2
x
??
45
2
6345
－2
【答案】 (1)D (2)
x
，－，
x

48256
?
1
－2
??
1
?
r
【解析】 (1)由于
??
的通项为C
5
·
??
?
x
??
x
?
5
55－
r
·(－2)＝C
5
·(－2)·
x
rrr
r
－5
2
，故(
x
＋
2
?
1
?
155
1)·
?
－2
?
的展开式的常数项是C
5< br>·(－2)＋C
5
(－2)＝－42.
?
x
?
1< br>?
k
?
(2)二项展开式的通项公式为
T
k
＋1＝C
10
?
－
?
x
?
2
?
1 0－2
k
由题意∈Z，且0≤
k
≤10，
k
∈N.
3
10－2
k
3
令＝
r
(
r
∈Z)，则 10－2
k
＝3
r
，
k
＝5－
r
，
32
∵
k
∈N，∴
r
应为偶数.
∴
r
可取2，0，－2，即
k
可取2，5，8，
45
2
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为
x
，
4
6345
－2
－，
x
.
8256
【解法小结】 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合 要求
(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数
r
＋1，代回 通项公式即
可.
角度2 求二项展开式中特定项的系数
k
10－2
k
3
.
?
1＋
1
2
?
(1＋
x
)
6
的展开式中
x
2
的系数【例1－2】 (1)(多项式是积的形式)(2017·全国Ⅰ卷)
??
．
?
x
?
为( )
A.15 B.20
3
C.30
53
D.35
(2)(多项式是和的形式)已知 (1＋
ax
)＋(1－
x
)的展开式中含
x
的系数为－2， 则
a
等于
．
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( )
A.23 B.2
25
C.－2
52
D.－1
(3)(一题多解)(三项展开式问题)(
x
＋x
＋
y
)的展开式中，
xy
的系数为( )
A.10 B.20 C.30 D.60
【答案】 (1)C (2)B (3)C
?
1
?
6
rr
6222
【解析】 (1 )因为(1＋
x
)的通项为C
6
x
，所以
?
1＋< br>2
?
(1＋
x
)展开式中含
x
的项为1·C
6
x
x
??
16×5
44242
和
2
·C
6
x
，因为C
6
＋C
6
＝2C
6
＝2×＝30，
x
2×1
?
1
?
62
所以
?
1＋
2
?
(1＋
x
)展开式中
x
的系 数为30.
x
??
(2)(1＋
ax
)＋(1－
x
)的展开式中
x
的系数为C
3
a
＋C
5
(－1) ＝
a
－10＝－2，则
a
＝8，解得
353333333
a
＝2.
(3)法一 (
x
＋
x
＋
y
)＝ [(
x
＋
x
)＋
y
]，
含
y
的 项为
T
3
＝C
5
(
x
＋
x
)·< br>y
.
其中(
x
＋
x
)中含
x
的项 为C
3
x
·
x
＝C
3
x
.
所以
xy
的系数为C
5
C
3
＝30.
法二 (
x
＋
x
＋
y
)表示5个
x
＋
x
＋
y
之积.
∴
xy
可从其中5个因式中， 两个取因式中
x
，剩余的3个因式中1个取
x
，其余因式取
y
，
因此
xy
的系数为C
5
C
3
C
2＝30.
【解法小结】 1.求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项，再 合并，
通常要用到方程或不等式的知识求解.
2.求几个多项式积的特定项：可先分别化简或 展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产
生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可.
3.三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开
式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项
式展开， 然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形.
考点二 二项式系数与各项的系数问题
【例2】 (1) (2016年山东)若
(ax?
9
52212
5 22
252
5221
2351415
22232
2525
2
1
5
)
的展开式中
x
5
的系数是-80，则实数< br>a
=_______．
x
29
(2)(2018·汕头质检)若(< br>x
＋2＋
m
)＝
a
0
＋
a
1
(
x
＋1)＋
a
2
(
x
＋1)＋…＋
a
9
(
x
＋1)，且(
a
0
＋
a
2
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＋…＋
a
8
)－(
a
1
＋a
3
＋…＋
a
9
)＝3，则实数
m
的值为__ ______.
【答案】(1)-2 (2)1或－3
【解析】 (1)因为
T< br>r?1
?C(ax)
r
5
25?r
5
10?r
1
r
5
r5?r
()?C
5
ax
2
，所 以由
10?r?5?r?2
，
2
x
229
25?2
a??80?a??2.
因此
C
5
(2)令
x
＝0，则(2＋
m
)＝a
0
＋
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
9
，
令
x
＝－2，则
m
＝
a
0
－
a
1
＋
a
2
－
a
3
＋ …－
a
9
，
又(
a
0
＋
a
2< br>＋…＋
a
8
)－(
a
1
＋
a
3＋…＋
a
9
)
＝(
a
0
＋
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
9
)(
a
0
－
a
1
＋
a
2
－
a
3
＋ …＋
a
8
－
a
9
)＝3，
∴(2＋
m< br>)·
m
＝3，∴
m
(2＋
m
)＝3，
∴
m
＝－3或
m
＝1.
【解法小结】 1.“赋值法”普 遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(
ax
＋
b
)，(
ax
＋
bx
＋
c
) (
a
，
b
∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.
2.若
f
(
x
)＝
a
0
＋
a
1< br>x
＋
a
2
x
＋…＋
a
n
x
，则
f
(
x
)展开式中各项系数之和为
f
(1)，奇数项系 数之
和为
a
0
＋
a
2
＋
a
4＋…＝
2
999
9
22
9
9
n
2m
n
f
（1）＋
f
（－1）
2
，偶数项系数之 和为
a
1
＋
a
3
＋
a
5
＋…＝< br>f
（1）－
f
（－1）
2
.
考点三 二项式系数的性质
角度1 二项式系数的最值问题
b
??
3
22
【例3－1】 （2014山东）若
?
ax
2
?
?
的展开式中
x
项的系数为20，则
a ?b
的最小
x
??
值为 ．
角度2 项的系数的最值问题
【答案】2
rr6?rr12?3r
【解析】
T
r?1
? C
6
，令
12?3r?0
，得
r?3
，
(ax< br>2
)
6?r
()
r
?C
6
abx
3 33
故
C
6
ab?20
，∴
ab?1,a?b≥2ab?2
，当且仅当
a?b?1
或
a?b??1
时等
6
b< br>x
22
号成立．
3
【例3－2】 已知(
x
＋x
)的展开式的二项式系数和比(3
x
－1)的展开式的二项式系数和
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22
nn

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1
??
大992，则在
?
2
x
－
?
的展开式中，二项式系数最大的项为______，系数的绝对值最大的项
2n
?
x
?
为________.
【答案】 －8 064 －15 360
x

【解析】 由题意知，2－2＝992，即(2－32)(2＋3 1)＝0，故2＝32，解得
n
＝5.由二
1
??
项式系数的性质知 ，
?
2
x
－
?
的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项 式系数最大的项
10
2
n
4
nnnn
?
x
?
1
?
55
?
为
T
6
＝C
10< br>(2
x
)
?
－
?
＝－8 064.
5
?
x
?
设第
k
＋1项的系数的绝对值最大， < br>?
1
?
k
10－
kkk
10－
k
1 0－2
k
则
T
k
＋1
＝C
10
·(2x
)·
?
－
?
＝(－1)C
10
·2·
x
，
?
x
?
?
≥C
10
·2，
?
?
C
10
·2
?
C
10
≥2C
10
，
?
k
令
?
k
得
10－
kk
＋110－
k
－1
k
＋1
??
C·2≥C·2 ，2C≥C，
10101010
??
?
?
11－
k
≥2
k
，
811
即
?
解得≤
k
≤. 33
?
2（
k
＋1）≥10－
k
，
?
k
10－
k
k
k
－110－
k
＋1
kk< br>－1
∵
k
∈Z，∴
k
＝3.
故系数的绝对值最大的项是第4项，
744
T
4
＝－C
3
10
·2·
x
＝－15 360
x
.
【解法小结】 1.二项式系数最大项的确定方法：当
n
为偶数时，展开式中第＋1项 的二
2
项式系数最大，最大值为
C
；当
n
为奇数时，展开式 中第
最大，最大值为
C
n?1
2
n
或
n
n
2
n
n
＋1
2
项和第
n
＋3
2< br>项的二项式系数
C
n?1
2
n
.
2.二项展开式系数最大项的求法
如求(
a
＋
bx
)(< br>a
，
b
∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系
数分别为
A
1
，
A
2
，…，
A
n
＋1
，且第
k
项系数最大，应用
?
三、【名校新题】 1.(2019·武汉调研)已知(
x
＋1)＝
a
1
＋
a
2
x
＋
a
3
x
＋…＋
a
11< br>x
.若数列
a
1
，
a
2
，
a
3
，…，
10210
n
?
A
k
≥
Ak
－1
，
?
?
?
A
k
≥
A< br>k
＋1
，
从而解出
k
来，即得.
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a
k
(1≤
k
≤11，
k
∈N
＋
)是一个递增数列，则
k
的最大值是( )
A.5
【答案】 B
【解析】 由二项式定理知，
a
n
＝C
10
(
n
＝1，2，3，…，11).
又(
x
＋1)展开式中二项式系数最大项是第6项，
所以
a
6
＝C
10
，则
k
的最大值为6.
5
10
B.6 C.7 D.8
n
－1
?
3
2
?
7
2.(2019·烟台模拟)已知
?
x
＋
?
的展开式的各项系数和为243，则展开式中
x
的系数为
?x
?
( )
A.5
【答案】B
B.40 C.20 D.10
n
?
3
2
??
3
2?
n
【解析】由
?
x
＋
?
的展开式的各项系数 和为243，令
x
＝1得3＝243，即
n
＝5，∴
?
x< br>＋
?
?
x
?
nn
?
x
?
?
3
2
??
2
?
r
35－
rrr
1 5－4
r
＝
?
x
＋
?
，则
T
r< br>＋1
＝C
5
·(
x
)·
??
＝2·C
5
·
x
，令15－4
r
＝7，得
r
＝2，∴展开 式中
?
x
?
5
r
?
x
?
x
7
的系数为2
2
×C
2
5
＝40.
3.(20 19·湘潭三模)若(1＋
x
)(1－2
x
)＝
a
0
＋
a
1
x
＋…＋
a
9
x
，
x< br>∈R，则
a
1
·2＋
a
2
·2＋…＋
892
a
9
·2
9
的值为( )
A.2
【答案】D
【解析】 (1＋
x
)(1－2
x
)＝a
0
＋
a
1
x
＋
a
2
x＋…＋
a
9
x
，令
x
＝0，得
a
0< br>＝1；令
x
＝2，得
a
0
＋
a
1
· 2＋
a
2
·2＋…＋
a
9
·2＝3，
∴
a
1
·2＋
a
2
·2＋…＋
a
9
·2＝3 －1.
4．(2019·昆明调研)已知(1＋
ax
)(1＋
x
) 的展开式中
x
的系数为7，则
a
＝( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】 C
【解析】 ∵(1＋
ax
)(1＋
x
)的展开式中含
x
的项为
x
＋
ax
×C
3
x
＝(3
a
＋1)
x
，∴3
a
＋1＝ 7，
∴
a
＝2.
333223
33
299
299
829
9
B.2－1
9
C.3
9
D.3－1
9
?
2
1
?
*
5 .(2019·广州测试)使
?
x
＋
3
?
(
n∈N)展开式中含有常数项的
n
的最小值是( )
2
x
??
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n

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A.3
【答案】 C
B.4 C.5 D.6
1
r
2
n
－5
rr
2
n
－
r
?
1
?
【解析】
T
r
＋1
＝Cn
(
x
)
?
3
?
＝
r
Cn
x
，
?
2
x
?
2
5
*< br>令2
n
－5
r
＝0，得
n
＝
r
，又
n
∈N，
2
所以
n
的最小值是5.
1
?
9
?
3
6.(2019·广州调研)
?
x
－?
的展开式中
x
的系数为( )
?
2
x
?
219921
A．－ B．－ C. D.
2222
【答案】 A
【解析】 二项展开式的通项
T
r
＋1
＝C
9
x
r
9－
r
r
?
－< br>1
?
r
＝
?
－
1
?
r
C< br>r
x
9－2
r
，令9－2
r
＝3，得
r＝3，展
?
2
x
??
2
?
9
????
19×8×721
?
1
?
333
开式中
x
的系数为
?
－
?
C
9
＝－×＝－.故选A.
83 ×2×12
?
2
?
?
1
－2
?
5
7．(2019·河南信阳模拟)(
x
＋1)
??
的展开式的常数项是( )
?
x
?
2
A．5 B．－10 C．－32 D．－42
【答案】 D
【解析】 由于
?
5
?
1
－2?
5
?
1
?
5－
r
?
1
?< br>rrrr
2
故(
x
＋1)·
?
－2
??的通项为C
5
·
??
·(－2)＝C
5
(－2)·x
，
?
x
??
x
??
x
?
1 55
2018
的展开式的常数项是C
5
·(－2)＋C
5
( －2)＝－42.故选D.
＋
a
能被13整除，则
a
＝( ) 8.(2019·潍坊模拟)设
a
∈Z，且0≤
a
<13，若51
A ．0 B．1 C．11 D．12
【答案】 D
【解析】 由于51＝52－1， (52－1)
2018
＝C
2018
52
02018
－C< br>2018
52
12017
＋…－C
2018
52＋1，又由于 13
20171
整除52，所以只需13整除1＋
a
，0≤
a
<13，
a
∈Z，所以
a
＝12.
?
3
2?
n
7
9.(2019·金华模拟)已知
?
x
＋
?
的展开式的各项系数和为243，则展开式中
x
的系数为
?
x< br>?
( )
A．5 B．40 C．20 D．10
【答案】 B
?
3
2
?
n
?
3
2
?
nn
【解析】 由
?
x
＋
?
的展开式的各项系数和为243，得3 ＝243，即< br>n
＝5，∴
?
x
＋
?
＝
?
x
??
x
?
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?
x
3
＋
2
?
5
，则
T
＝C
r
·(
x
3
)
5－
r·
?
2
?
r
＝2
r
·C
r
·
x
15－4
r
，令15－4
r
＝7，得
r
＝2，∴展开式中
?
r
＋15
?
x
?
5
x
?
????
x
7
的系数为2
2
×C
25
＝40.故选B.
3
??
3
10.(2019·邯郸二模) 在
?
x
＋
?
的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则
x
n
?
x
?
的系数为( )
A.15
【答案】 C
3
??
nn
【解析】 令
?
x＋
?
中
x
为1，得各项系数和为4，又展开式的各项的二项式系数和为2 ，
n
B.45 C.135 D.405
?
x
?
4
各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，∴
n
＝64，解得
n＝6，∴二项式的展开式
2
的通项公式为
T
r
＋1
＝C
6
·3·
x
6
＝135.
rr
3
－r
2
n
3
322
，令6－
r
＝3，求得
r
＝2，故展开式中
x
的系数为C
6
·3
2
?< br>1
?
26
11.(2019·枣庄二模)若(
x
－
a
)
?
x
＋
?
的展开式中
x
的系数为30， 则
a
等于( )
?
x
?
1
A.
3
【答案】 D
1
B.
2
C.1 D.2 < br>10
?
1
??
1
?
r
10－
rr< br>10－2
r
【解析】
?
x
＋
?
展开式的通 项公式为
T
r
＋1
＝C
10
·
x
·
??
＝C
10
·
x
，令10－2
r
＝4，
?
x
?
10
r
?
x
?
解得
r< br>＝3，所以
x
项的系数为C
10
，令10－2
r
＝6 ，解得
r
＝2，所以
x
项的系数为C
10
，所
43 62
?
1
?
2632
以(
x
－
a
)
?
x
＋
?
的展开式中
x
的系数为C
10
－
a
C
10
＝30，解得
a
＝2.
?< br>x
?
10
?
2
?
n
12．(2019·福州 模拟)设
n
为正整数，
?
x
－
3
?
的展开 式中仅有第5项的二项式系数最大，
x
??
则展开式中的常数项为( )
A．－112 B．112 C．－60 D．60
【答案】 B
【解析】 依题意得，
n
＝8，所以展开式的通项
T
r
＋1
＝C
8
x
2
r
8－
r
?
－
2
3
?
r
＝C
r
x
8－4
r
( －2)
r
，令8－
?
x
?
8
??
124
r
＝0，解得
r
＝2，所以展开式中的常数项为
T
3
＝C
8
(－2)＝112.
13.(2019·黄冈质检)若(1＋
x
＋
x
)＝
a
0
＋
a
1
x＋
a
2
x
＋…＋
a
12
x
，则
a
2
＋
a
4
＋…＋
a
12
＝( )
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262
2

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A．284 B．356 C．364 D．378
【答案】 C
【解析】 令
x
＝0，则
a
0
＝1；
令
x
＝1，则
a
0
＋
a
1
＋
a
2< br>＋…＋
a
12
＝3 ①；
令
x
＝－1，则
a
0
－
a
1
＋
a
2
－…＋
a12
＝1 ②.
①②两式左右分别相加，得2(
a
0
＋
a
2
＋…＋
a
12
)＝3＋1＝730，所以
a
0
＋
a
2
＋…＋
a
12
＝
365，又a
0
＝1，所以
a
2
＋
a
4
＋…＋< br>a
12
＝364.
14.(2019·河南百校联盟模拟)(3－2
x
－
x
)(2
x
－1)的展开式中，含
x
项的系数 为( )
A.600
【答案】 C
【解析】 由二项展开式的通项公式可 知，展开式中含
x
项的系数为3×C
6
2(－1)－2×C
6
2(－1)＝－600.
15．(2019·福建厦门联考)在
?
1＋
x
＋
A．10 B．30 C．45 D．120
【答案】 C
1
?
10
?
1＋
x
＋f(1
?
【解析】 因为
?
1＋
x
＋
＝
?
)
x
2018
?
??
?
x
2018
＋…＋C
10
?
10
24
33 334
463
6
6
B.360 C.－600 D.－360
?
?
2
的展开式中，
x
的系数为( )
?x
?
2018
1
?
10
?
101019
1
?
＝(1＋
x
)＋C
10
(1＋
x
)
x
2018
?
1
?
10
?
2018
2102222
，所以
x
只出现在(1＋
x
)的展开式中，所以含
x
的项为C
10
x
，系数为C
10
＝
?< br>?
x
?
45.故选C.
16．(2019·重庆模拟)(1＋3x
)(其中
n
∈N且
n
≥6)的展开式中
x
与
x
的系数相等，则
n
＝
( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】 B
【解析】 由条件得C
n
3＝C
n
3，
∴
5566
n
56
n
！
n
！
＝×3，∴3(
n
－5)＝6，< br>n
＝7.
5！
n
－5！6！
n
－6！
84
17．(2019·遵义四中月考)(2－
x
)展开式中不含
x
项的 系数的和为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】 B
k
【解析】 二项式的通项
T
k
＋1
＝C
8
2
8444
k
8－
k
(－1)(
x
)＝C
8
2
kkk
8－
k
2
k
8
·(－1)
x
，令
k
＝8，则
T
9
＝ C
8
(－
84
1)
x
＝
x
，∴
x
的系数为1，令
x
＝1，得展开式的所有项系数和为(2－1)＝1，∴不含
x
项
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的系数的和为0.选B.
?
2
1
?
n
18.(2019·广东广州模拟)已知二项式
?
2
x
－
?
的所有二项式系数之和等
?
x
?
1
于128，那么其展开式中含项的系数是( )
x
A．－84 B．－14 C．14 D．84
【答案】 A
?
2
1
?
nn
【解析】 由二项式
?
2
x
－
?
的展开式中所有二项式系数的和是128，得2 ＝128，即
n
＝7，
?
x
?
?
2
1?
n
?
2
1
?
7
?
1
?rr
27－
rr
7－
rr
14－3
r
∴
?
2
x
－
?
＝
?
2
x
－
?
，则
T
r
＋1
＝C
7
·(2
x
)·
?
－
?
＝(－1)·2·C
7
·
x
.令14－3
r
?
x
??
x
??
x
?1
5
＝－1，得
r
＝5.∴展开式中含项的系数是－4×C
7< br>＝－84.故选A.
x
19.(2019·承德模拟)若(1＋2
x
)的展开式中第二项大于它的相邻两项，则
x
的取值范围是
( )
A.
C.
11
<
x
<
125
12
<
x
<
123
11
B.<
x
<
65
12
D.<
x
<
65
6
【答案】 A
?
?
C2
x
>C，
【解析】 ∵
?
1 2
?
C
6
2
x
>C
6
2
x
?
1
6
0
6
2
，

1
x
>，
?
?
12
∴
?
1
0<
x
<
?
?
5
，

11
即<
x
<. < br>125
?
3
x
＋
1
?
n
?
的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则20. (2019·马鞍山二模)二项式
?
3
??
x
??
展开式中
x
的指数为整数的项的个数为( )
A.3
【答案】 D
B.5 C.6 D.7
?
3
x
＋
1
?
n
?
的展开式中只有第11项的二项式 系数最大，得
n
＝20，【解析】 根据
?
3
??
x
??
?
3
x
＋
1
?
n
?
1?
r
4
r
r
20－
r
20－
rr20－
????
∴
3
?
的展开式的通项为
T
r
＋1
＝C
20
·(3
x
)·
?
3
?
＝(3)·C
20
·
x
3
，要使
?
x< br>???
x
?
x
的指数是整数，需
r
是3的倍数，∴< br>r
＝0，3，6，9，12，15，18，∴
x
的指数是整数的项
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共有7项.
21.(2019·石家庄调研)(1＋
x
)的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则
n
＝________.
【答案】 10
【解析】 (1＋
x
)的二项展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以＋ 1＝6，
n
＝10.
2
22.(2019·安徽江南十校联考)若(
x
＋
y
－1)(2
x
－
y
＋
a
)的展开式中各项系数的和为32，则
该展开式中只含字母
x
且
x
的 次数为1的项的系数为__________(用数字作答).
【答案】 －7
【解析】 令
x
＝
y
＝1?(
a
＋1)＝32?
a
＝ 1，故原式＝(
x
＋
y
－1)(2
x
－
y
＋1)＝[
x
＋(
y
－
1)][2
x
＋(1－y
)]，可知展开式中
x
的系数为C
3
＋C
3
(－1)C
5
·2＝－7.
23．(2019·唐山模拟)
S
＝C
27
＋C
27
＋…＋C
27
除以9的余数为_______ _．
【答案】 7
【解析】 依题意
S
＝C
27
＋C< br>27
＋…＋C
27
＝2－1＝8－1＝(9－1)－1＝C
9
×9－C
9
×9＋…＋
C
9
×9－C
9
－1＝9× (C
9
×9－C
9
×9＋…＋C
9
)－2.∵C
9
×9－C
9
×9＋…＋C
9
是正整数，∴
S
被9除的余数为7.
1
?
62
?
24．(2019·南昌模拟) (1＋
x
＋
x
)
?
x
－
?
的展开 式中的常数项为________．
89
8
1227
351331
535
35
n
n
n
?
x
?
【答案】 －5
1
?
6
?
1
?
6
r
6－2
rr
2
?
r
6
【解析】
?
x
－
?
的通项公式为
T
r
＋1
＝C
6
x
(－ 1)，所以(1＋
x
＋
x
)
?
x
－
?的常数项为C
6
x
?
x
??
x
?
3－ 2
r
(－1)(当
r
＝3时)与C
6
x
rr
6－2
r
(－1)(当
r
＝4时)之和，所以常数项为C
6
(－1)＋C
6
(－1)
r
344
＝－20＋15＝－5. 25．(2019·郑州一测)在
?
x
＋
则
x
的系数为 ________．
【答案】 90
【解析】 令
x
＝1，则
?
x
＋
n
2
?
?
3
?
n
x
?
?
的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，
?
?
3
?
n
x
?
?
＝4，所以
?
x< br>＋
n
?
?
3
?
nn
?
的展开式中， 各项系数和为4，又二项
x
?
n
3
?
rrr
4nr
5－
r
?
式系数和为2，所以
n
＝2＝32，解得
n
＝5.二项展开式的通项
T
r
＋1
＝C
5
x
??
＝C
5
3
xr
，
2
?
x
?
3
222
令5－
r
＝2，得
r
＝2，所 以
x
的系数为C
5
3＝90.
2


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