高考数学(文)一轮复习学案：第7讲二次函数与幂函数

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题目
第七讲 二次函数与幂函数 第 1 课时
1．理解并掌握二次函数的定义、图像及性质．
学习
2．会求二次函数在闭区间上的最值．
目标
3．能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决
有关问题．
学习

疑问
学习

建议

【相关知识点回顾】
1.
二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式：y ＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)；对称轴方程是x＝－
bb
2a
；顶 点为(－
2a
，
4ac－b
2
4a
)．
(2)两 根式：y＝a(x－xx
x
1
＋x
2
1
)(x－
2
)；对称轴方程是x＝
2
；与x轴的交点为
(x
1
，0)， (x
2
，0)．
(3)顶点式：y＝a(x－k)
2
＋h；对称轴方程是x＝k；顶点为(k，h)
2.二次函数的单调性
当a>0时，在(－
b
2a
，＋∞)上为增 函数；在(－∞，－
b
2a
)上为减函数；当a<0
时，与之相反．
3.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系
(1)f(x)＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标是方程ax
2
＋bx＋c＝0< br>的实根．
(2)若x
1
，x
2
为f(x)＝0的实根，则f (x)在x轴上截得的线段长应为|x
1
－x
2
|
＝
b2
－4ac
|a|
．
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?
a>0，
?
a<0，
(3)当
?时，恒有f(x)>0；当
?
时，恒有f(x)<0.
?
Δ<0
?
Δ<0
4.设f(x)＝ax
2
＋bx＋c(a>0)，则二次函数在闭 区间[m，n]上的最大、最小值的
分布情况
bb
f（m），f（n）
{}
(1)若－
2a
∈[m，n]，则f(x)
max
＝max，f(x )
min
＝f(－
2a
)．
b
(2)若－
2a< br>?[m，n]，则f(x)
max
＝max{f(m)，f(n)}，f(x)
min
＝min{f(m)，f(n)}．
另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开 对称轴越远，则对应的函数
值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴越远，则 对应
的函数值越小．
5. 幂函数的定义
函数y＝x
α
叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
幂函数的图像(如下图)

6. 幂函数的性质
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上有定义，并且图像都通过点(1，1)．
(2)如果α>0，那么幂函数的图像过原点，并且在区间[0，＋∞)上为增函数．
(3) 如果α<0，那么幂函数图像在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，
当x从右边趋向于原点时 ，图像在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于＋∞时，
图像在x轴上方无限地逼近x轴．
(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．
【预学能掌握的内容】

1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．
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2
4ac－b
(1)二次函数y＝ax
2
＋bx ＋c，x∈[a，b]的最值一定是
4a
.
(2)二次函数y＝ax
2
＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．
(3) 二次函数y＝x
2
＋mx＋1在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是m≥－2.
(4)若二次函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，则该二次函数在x＝1处取得最小值．
(5)y＝x
0
的图像是一条直线．
(6)幂函数的图像都经过点(0，0)，(1，1)．
(7)幂函数的图像不可能出现在第四象限．
(8)当n>0时，幂函数y＝x
n
在(0，＋∞)上是增函数．
(9)若幂函数y＝x
n
是奇函数，则y＝x
n
是增函数．

2．已知某二次函数的图像与函数y＝2x
2
的图像的形状一样，开口方向 相反，且其
顶点为(－1，3)，则此函数的解析式为( )
A．y＝2(x－1)
2
＋3 B．y＝2(x＋1)
2
＋3
C．y＝－2(x－1)
2
＋3 D．y＝－2(x＋1)
2
＋3
3．已知二次函数f(x)图像的对称轴是x＝x< br>0
，它在区间[a，b]上的值域为[f(b)，f(a)]，
则( )
A．x
0
≥b
C．x
0
∈(a，b)
B．x
0
≤a
D．x
0
?(a，b)
4．已知 二次函数y＝f(x)满足f(0)＝f(2)，若x
1
，x
2
是方程f(x )＝0的两个实根，则
x
1
＋x
2
＝________．

5．二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，确定下列各式的正负 ：b______0，
ac______0，a－b＋c______0.

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【探究点一】幂函数的图像与性质
1
1．若幂函数的图像过点(2，)，则它的单调递增区间是( )
4
A．(0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
11
2．设a＝log
1
2，b＝log
1
3
，c＝(
2
)
0.3
，则( )
32
A．aC．b【探究点二】
二次函数的解析式
B．[0，＋∞)
D．(－∞，0)
B．aD．b例1.已知二次函数 f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝0，f(1)＝1，求f(x)的解析式．







★状元笔记
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根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：

〖课堂检测〗
1. 已知二次函数f(x)的图像经过点(4，3)．它在x轴上截得的线段 长为2，并且对
任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．






【探究点三】
二次函数的值域与最值
例2.求下列函数的值域：
(1)y＝x
2
＋4x－2，x∈R；
(2)y＝x
2
＋4x－2，x∈[－5，0]；
(3)y＝x
2
＋4x－2，x∈[－6，－3]；
(4)y＝x
2
＋4x－2，x∈[0，2]．
【思路】 这些函数都是二 次函数且解析式都相同，但是各自函数的定义域都是不
同的，应该通过“配方”借助于函数的图像而求其 值域．


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〖课堂检测〗
求下列函数的值域：
(1)y＝－x
2
＋4x－1；







(2)y＝2－4x－x
2
(0≤x≤4)．








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【层次一】
已知函数f(x)＝－x
2
＋2a x＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，求实数a的

值．










【层次二】
已知 f(x)＝x
2
＋ax＋3－a，若x∈[－2，2]时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．

















本课总结:
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1．求二次函数的解析式常用待定系数法(如例1)．
2．二次函数 求最值问题：首先要采用配方法，化为y＝a(x＋m)
2
＋n的形式，得
顶点(－m ，n)和对称轴方程x＝－m，可分成三个类型．
(1)顶点固定，区间也固定．
(2)顶 点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之
内，何时在区间之外．
(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．
3．二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数
的图像的顶点处取得．
4．用数形结合法求根的分布问题一般需从四个方面考虑：①开口方向；②判别式；
b
③区间端点函数值的正负；④对称轴x＝－与区间端点的关系．
2a
【思维导图】（学生自我绘制）













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