高一数学直线方程

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第一课时 3.1.1 直线的倾斜角与斜率
教学要求：会根据直线上的两点坐标求直线 的倾斜角与斜率,给出一直线上的一点与它的斜率,
能够画出它的图象.
教学重点：理解倾斜角, 斜率.
教学难点：倾斜角, 斜率的理解及计算.
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?
2. 在日常生活中,我们常 说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平
面之间的一个什么关系呢?
二、讲授新课：
1. 教学平面倾斜角与斜率的概念：
① 直线倾斜角的概念： x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角
注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.。
讨论:倾斜角的取值范围是什么呢?
② 直线斜率的概念：直线倾斜角
?
的正切值叫直线的斜率.
常用
k
表示,
k?tan
?

讨论:当直线倾斜角为
90
?
度时它的斜率不存在吗?. 倾斜角的
大小与斜率为正或负有何关系?斜率为正或负时,直线过哪些象限
呢?

?
取值范围是
?
0,
?
?
.

③ 直线斜率的计算:两点确定一直线,给定两点
p
1
(x
1
,y
1
)
与
y?y
1

p
2
(x
2
,y
2
)
,则过这两点的直线的斜率
k?
2
x2
?x
1
思考 :(1)直线的倾斜角
?
确定后, 斜率
k
的值与点
p
1
,
p
2
的顺序是否有关?
(2)当直线平行表于y轴或与y轴重合时,上述公式
k?
y
2
?y
1
还适用吗?
x
2
?x
1
2. 教学例题:
例1,求经过两点
A(2,3),B(4,7)
的直线的斜率和倾斜角, 并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝
角.
例2:在平面直角坐标系中画出经过原点且斜率分别为
?1,2,?3
的直线
l
1
,l
2
,l
3
.

三. 巩固与提高练习:
1. 已知下列直线的直线倾斜角
?
,求直线的斜率k.
⑴
a?30
0
⑵
a?45
0
⑶
a?120
0
⑷
135
0

2:已知直线 l过点
A(1,2)
、
B(m,3)
,求直线l的斜率和倾斜角
3,已知
a,b,c
是现两两不等的实数,求经过下列两点直线的倾斜角.

(1)

A(a,b),B(b,c)

(2)

P(b,b?c),Q(a,c?a)

4.画出经过点
(0,3)
且斜率分别为3和-2的直线.
四.小结:
倾斜角、斜率的概念, 斜率的计算公式.
五:作业,
P
95
2题.

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第二课时 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
教学要求：明白两直线平行与垂直时倾斜角之间的关系,能够
通过代数的方法,运用斜率来判定两直线平行与垂直关系.
教学重点：用斜率来判定两直线平行与垂直.
教学难点：用斜率来判定两直线平行与垂直.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：直线的倾斜角的取值范围是什么?如果计算直线的斜率?
2. 在同一直角坐标系中画出过原点斜率分别是-3,3,1的直线的图象.
3. 探究：两直线平行(垂直)时它们的倾斜角之间有何关系?
二、讲授新课：
1. 两条直线平行的判定：
① 由上述探究 →两条直线平行：两直线倾斜角都相等.即:
?
1
?
?
2
,
提问: 两直线平行,它们的斜率相等吗?
l
1
Pl
2
?k
1
?k
2

② 两条直线平行的判定: 两条不重合的直线,斜率都存在. 它们的斜
率相等.即:
?
1
?
?
2
,
l
1
Pl
2
?k
1
?k
2

注意: 上述结论的前提是两条直线不重合并且斜率都存在.


2. 两条直线垂直的判定：
探究两直线
l
1
,l
2
垂直时, 它们的斜率
k
1
,k
2
的关系.
①
l
1
,l
2
的倾斜角
?
1
?90
0
,
?
2
?0
0
时, 斜率
k
1
,k
2
不存在;
② 当斜率
k1
,k
2
都存在时.设
l
1
,l
2
的 倾斜角分别为
?
1
,
?
2
, 其中
?
1< br>>
?
2
，则有
?
1
?90
0
??
2

k
1
?tan
?
1
?tan( 90
0
?
?
2
)??
11
??
，即：k
1
k
2
??1

tan
?
2
k
2
两条直线垂直的判定：两直线的斜率都存在时，两直线垂直，则它们
的斜率k
1
,k
2
的乘积
k
1
k
2
??1
。
即：
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1

3. 教学例题：
例1：已知四边形的四个顶点分 别为
A(0,1),B(2,0),C(4,3),D(2,4)
，试证明四边形
AB CD
为
平行四形。
例2：已知
A(?5,1),B(4,5),P(1,2 ),Q(7,5)
，试判断直线
AB
与
PQ
位置的关系。
4． 练习与提高：
1， 试判断分别经过下列两点的各对直线是平行还是垂直？
⑴
(3,4),(?2,?1)
与
(3,1),(2,2)
⑵
(m,4),(m?1,3)
与
(2,1)(3,0)

2,
l
1
经过点
A(m,1),B(?3,4)
，l
2
经过点
C(1,m),D(?1,m?1)
，当直线
l1
与
l
2
平行或垂直时，
求m的值。
四.小结:
倾斜角、斜率的概念, 斜率的计算公式.
五:作业,
P
94
6 .7题.


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第三课时3.2.1 直线的点斜式方程
教学要求：明白直线可以由直线线上的一点坐标与斜率确定，会由直线的一点坐标与 斜率求直
线的方程，会根据直线的点斜式方程求直线的截距。
教学重点：直线点斜式方程的理解与求解，由点斜式方程求直线的截距。
教学难点：直线点斜式方程的理解与求解。
教学过程：
一、复习准备：
1. 直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率?
2. 提问：两条不重合的直线,斜率都存在. 它们的斜率有何关系.如何用直线的斜率判定两直线垂
直?
二、讲授新课：
直线点斜式方程的教学:
① 已知直线
l
上一点
p
0
(x
0
,y
0
)
与这条直线的斜率< br>k
，设
p(x,y)
为直线上的任意一点，则有：
y?y
0
?y?y
0
?k(x?x
0
)
⑴
x?x
0
探究: 两点可以确定一直线,那么知道直线上一点的坐标与直线的斜率能不能确定一直线呢?
满足方程⑴的所有点是否都在直线
l
上?
点斜式方程 ：方程 ⑴:
y? y
0
?k(x?x
0
)
称为直线的点斜式方程.
k?
简称点斜式.
② 讨论:直线的点斜式方程能否表示平面上的所有直线?(引导学生
从斜率的角度去考虑)
结论:不能表示垂直于
x
轴的直线.
③ 斜截式方程:
由点斜式 方程可知,若直线过点
B(0,b)
且斜率为
k
,则直线的方程为:
y?kx?b

方程
y?kx?b
称为直线的斜截式方程.简称斜截 式.其中
b
为直线在
y
轴上的截距.
④ 能否用斜截式表示平面内的所有直线? 斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出
什么结论.( 截距
b
就是函数图象与
y
轴交点的纵坐标)
⑤ 教学例题: 0
⒈直线
l
经过点
p
0
(2,5)
,且倾斜角 为
?
?60
,求直线
l
的点斜式方程并画出直线图象.
⒉ 求下列直线的斜截式方程:⑴斜率为3,在
y
轴上的截距为1:⑵斜率为
?2
,在
y
轴上的截距为5;
⒊把直线
l
的方程
x?2y?6 ?0
化成，求出直线
l
的斜率和在y轴上的截距，并画图．
三.:练习与提高:
4
,求直线的点斜式和斜截式.
3
2. 方 程
y?1??3x?3
表示过点
______
、斜率是
______
、倾斜角是
______
、在y轴上的截
距是
______
的直线。
1
3. 已知直线
l
的方程为
y??x?1
,求 过点
(2,3)
且垂直于
l
的直线方程.
2
四小结: 点斜式. 斜截式. 截距
五:作业,
P
110
3. 5题.


1. 已知直线经过点
(6,4)
,斜率为
?
??
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第四课时3.2.2 直线的两点式方程
教学要求：会由两点求直线的方程,明白直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表 示直线有一
定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，清楚直线与二元一次方程的对应关系．能
由直线的一般式转化为所需要的其他直线形式.
教学重点：直线两点式及一般式理解与求解.及各种形式互化.
教学难点：直线两点式及一般式理解与求解.及各种形式互化.
教学过程：
一、复习准备：
1． 写出下列直线的点斜式、斜截式方程,并求直线在
y
轴上的截距.
①经过点A(-2 ,3),斜率是-1；②经过点B(-3,0),斜率是0；③经过点
C?2,2
,倾斜角是< br>60
?
；
二、讲授新课：
1.直线两点式方程的教学:
① 探讨:已知直线
l
经过
p
1
(x
1
, y
1
),p
2
(x
2
,y
2
)
(其中
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)两点,如何求直线的点斜式
y?y
1
方程?
y?y
1
?
2
(x?x
1
)

x
2
?x
1
两点式方程:由上述知, 经过
p
1< br>(x
1
,y
1
),p
2
(x
2
,y
2
)
(其中
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)两点的直线方程为
y?y
1
x?x
1 ⑴, 我们称⑴为直线的两点式方程,简称两点式.
?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
例1:求过
A(2,1),B (3,?3)
两点的直线的两点式方程,并转化成点斜式.
② 当直线
l
不经过原点时,其方程可以化为
??
xy
??1
⑵, 方程⑵称为直线的截距式方程,其中
ab
直线
l
与
x
轴交于点
(a,0)
,与
y
轴交于点
(0,b)
,即l
与
x
轴、
y
轴的截距分别为
a,b
. x
2
?x
1
?
x?
?
?
2
④ 中点:线段AB的两端点坐标为
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,则AB的中点
M(x,y)
,其中
?

y?y
1
?
y?
2
?
2
?例2:已知直线经过
A(2,0),B(0,3)
两点,则
AB
中点坐标 为
______
,此直线截距式方程为
______
、
与
x
轴
y
轴的截距分别为多少？
2. 巩固与提高:
① 已知
?
ABC的三个顶点是A(0,7) B(5,3) C(5,-3)，求（1）三边所在直线的方程；
（2）中线AD所在直线的方程。
② 一直线经过点（-3，4）且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程
③ 经过点（１，２），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有（ ）
A 1条 B 2条 C 3条 D 4条
④ 上题若把点坐标改为(1,0) (2,2)呢?
3. 小结:两点式.截距式.中点坐标.

4.:作业
P
110
4.
题.


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第五课时3.2.3 直线的一般式方程
教学要求：引导学生体会直线的点斜式、斜截 式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，
只有直线的一般式能表示所有的直线，清楚直线与二元一 次方程的对应关系．能由直线的一般
式转化为所需要的其他直线形式.
教学重点：直线一般式理解与求解.及一般式与点斜式、斜截式、两点式和截距式互化.
教学难点：直线一般式理解与求解.及其它形式互化.
教学过程：
一、复习准备：
1.写出下列直线的两点式方程.
① 经过点A(-2,3)与 B(-3,0)；②经过点B(-3,0)与
C?2,2
；
2. 探讨:点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标轴的直线?
(我们需要直线的一般表示法)
二、讲授新课：
1问：直线的方程都可以写成关于
x,y
的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线
关于
x,y
的二元一次方程:
Ax?By?C?0

(1)
,(叫直线的一般方程,简称一般式.
??
AC
x?
,这是直线的斜截式.
BB
C
② 当
B?0
,
A?0
时,
(1)
式可化为
x??
.这也是直线方程.
A
定义一般式: 关于
x,y
的二元一次方程:
Ax?By?C?0
(
A,B
不全为0)叫直线的一般式方程,
简称一般式.
2.引导学生思考:直线与二元一次方程的对应是什么样的对应?
(直线与二元一次方程是一对多的对应,同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程.)
4
出示例题:已知直线经过点
(6,4)
,斜率为
?
,求直线的点斜 式和一般式方
3
程.
3.探讨直线
Ax?By?C?0
,当
A,B,C
为何值时,直线①平行于
x
轴;②平
行于
y
轴 ③与
x
轴重合④与
y
轴重合.
4.出示例题:把直线
l< br>的一般方程
3y?2x?5?0
化成斜截式方程,并求出
直线
l
与
x
轴、
y
轴的截距,画出图形.
三.练习与提高:
1.设直线
l
的方程为
(m?2)x?3y?m
,根据下列条件分别求的值.
①
l
在
x
轴上的截距为
?2
. ② 斜率为
?1

① 当
B?0
,
(1)
式可化为y??
2．若直线
Ax?By?C?0
通过第二、三、四象限，则系数A、B、C 满足条件（ ）
(A)A、B、C (B)AC<0,BC>0 (C)C=0,AB<0 (D)A=0,BC<0
3.已知直线
l
经过点（ －２，２）且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程．
四.小结:一般式..

五.:作业
P
110
10.
题.

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