判断推理公式插值法与最小二乘法

2020年9月20日发(作者：洪民生)
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插值法与最小二乘法

本章内容统称为插值法， 包括 Lagrange 插值、 逐步线性插值、
Newton 插值、 Hermite插值、 分段多项式插值、 有理函数插值等
内容， 既是教学的重点。
在教学上， 注意由浅入深， 由直观到抽象， 多用实例和图
形作解释， 建立插值概念， 注意讲解上述插值是如何根据实际问题
要求的提高而先后发展起来的。
培养学生分析问题和解决问题的能力。
Lagrange1、 回顾《高等数学》 的 Taylor 公式， 讲解
Taylor 公式是根据某一点的多个信息得到近似多项式的插值思想。
2、 将上述思想应用到多点的信息， 即根据所给的多点的数
据， 建立插值多项式。
3、 讲解过程中， 沿着发现问题
存在性和惟一性
提出解决方法 方法的
建立Lagrange 插值公式 误差公式 这样一个
思路去讲解 Lagrange 插值的思想和方法。
1、 讲解为什么要建立逐步线性插值？ 这是由于 Lagrange
插值没有承袭性， 当需要增加一个插值节点时， 以前所做的工作要
全部重做。
2、 逐步线性插值是一个将高次插值转化成逐步线性插值的迭
代过程， 正是这一点使得逐步线性插值具有了承袭性。
3、 强调逐步线性插值是求一点处近似值的快速方法， 不太



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适合建立插值解析式。
Newton1、 Newton 插值克服了上述两类插值的缺点， 继承
了 它们的优点：
即具有承袭性， 又是一个完整的解吸式， 便于理论研究和分
析。
2、 首先掌握差分和差商的概念以及它们的性质， 在此基础
上建立 Newton 插值公式和误差公式。
3、 Newton 插值公式实际上是 Lagrange 插值公式的另外一
种表现形式， 这揭示了一种 现象：
将已有成果通过引入新思想、 新方法， 对其进行加工、 改造，
完全有可能产生新的、更好的成果。
Hermite1、 上述插值都是根据未知函数若干个点处的函数
值， 建立插值公式或算法。
为了提高精度， 与必要根据未知函数在若干个点处更多的信息
（例如：
一阶、 二阶导数） 建立插值公式。
这就是 Hermite 插值的思想。
2、 要建立 Hermite 插值公式， 一般是根据所给条件， 确
定插值基函数， 仿照建立 Lagrange插值公式的过程建立 Hermite
插值公式。
1、 为了克服高次多项式插值出现的 Runge 现象， 提出将
插值区间划分为若干个区间，在每个小区间上建立低次插值公式， 再
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将各个小区间上的低次插值曲线连接起来， 构成整个插值区间上的
插值函数， 从而达到高精度的要求， 这就是分段多项式插值的思想。
2、 在分段插值中， 分段线性插值和分段三次 Hermite 插值
是重点， 分段二次插值可略讲。
3、 这一部分的内容建议用多媒体演示， 使学生有一个直观
的印象， 为以后的样条插值做准备。
1 Lagrange ...



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