高中数学解难题的方法-知乎高中数学魔法公式
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高中数学必修四三角函数、三角恒等变形与解三角形练习测试题及答案
A组
(1)
若角
?
的终边过点
P(a,3a)(a?0)
,则
sin
?
的值为( )
(A)
310
10
(B)
10
10
(C)
?
310
10
3
2
a
(D)
?
10
10
(2)
y?1?cosx
(x?
?
0,2
?
?
)
的图象与直线
y?
(A)0 (B)1 (C)2
的交点的个数为( )
(D)3
的值为( )
3
,则(3)在△
ABC
中,
A?60?,b?1,S?
ABC<
br>?
(A)
83
81
sinA
(B)
263
3
(C)
239
3
(D)
27
(4)化简
1?sin20?
的结果是( )
(A)
cos10?
(B)
cos10??sin10?
(C)
sin10??cos10?
(D)
?(cos10??sin10?)
(5)在△
ABC
中,若
a?18,b?24,A?44?
,则此三
角形解的情况为( )
(A)无解 (B)两解 (C)一解 (D)解的个数不能确定 <
br>(6)若
sin(
?
?
?
)cos
?
?co
s(
?
?
?
)sin
?
?m
,且
?
为第三象限角,则
cos
?
的值为( )
(A)
1?m
2
(B)
?1?m
2
(C)
m
2
?1
(D)
?m
2
?1
(7)有以下四种变换方式:
①
向左平行移动
② 向右平行移动
?
4
个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为
原来的
个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的
1
2
1
21
2
1
2
;
;
?
8
③
每个点的横坐标缩短为原来的
④ 每个点的横坐标缩短为原来的
,再向右平行移动
,再
向左平行移动
?
?
?
8
个单位长度;
个单位长度. ?
8
其中能将函数
y?sinx
的图象变为函数
y?sin?
2x?
?
?
?
的图象的是( )
4
?
(A)①和④ (B)①和③ (C)②和④ (D)②和③
(8)在△
ABC
中,若
(a?b?c)(c?b?a)?3bc
,则
A
=( )
(A)
150?
(9)已知
tan<
br>?
??
1
(B)
120?
,则
(C)
60?
(D)
30?
7sin<
br>?
?3cos
?
4sin
?
?5cos
?
3
(10)函数
y?Asin(
?
x?
?
)(A?0,??
?
?
?0,
?
?0)
在一个周期的区间上的图象如图
,
的值为 .
则
A
=
,
?
= ,
?
= .
(
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11)已知
ta
n
?
?2
,
tan
?
??
1
3
,
其中
0?
?
?
?
2
,
?
2
??
?
?
.
(1)求
tan(
?
?
?
)
;
(2)求
?
?
?
的值.
(12)已知
cos
?
?
7
?
sin2x?2
2
?
?
317
?
?
4
?x
?
?,?x?
,求
sinx
的值.
?
5124
1?tanx
(13)一个单摆如图所示,小球偏
离铅垂方向的角为
?
(rad),
?
作为时间
t
函数,满足
关系
?
(t)?
1
2
sin
?
?
?
2t?
?
?
2
?
.
?
求:(1)最初时
(t?0)
?
的值是多少?
(2)单摆摆动的频率是多少?
(3)经过多长时间单摆完成5次完整摆动?
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的
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(14)
已知函数
f(x)?2sinx(sinx?cosx)
.
(1)求
f(x)
的最小正周期;
?
??
?
,
?
上的图象.
22
??(2)画出函数
y?f(x)
在区间
?
?
(15) 已知函数
f(x
)?sin
?
x?
?
?
?
?
?
??
?sinx?
???
?cosx?a
的最大值为1.
6
?
6
??
(1)求常数
a
的值;(2)求使
f(x)?0
成
立的x的取值集合.
B组
13
?
?
15<
br>?
??
sin
?
?
?
?
?3cos
?
?
?
8
?
??
7
?
7
??(16) 设
tan
?
?
?
?
?m
,则
22
?
7
?
?
20
?
??
?
s
in
?
?
?
?
?cos
?
?
?
7
?
7
??
?
?
?
?
?
?
=
(17) 观
2
察以
2
下各等式
3
4
:
sin30??cos60??sin30?cos60??
3
4
22
3
4
,
sin20??cos50??s
in20?cos50??
,
sin
2
15??cos
2
4
5??sin15?cos45??
,…,归纳
得到
.
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(18)已知
?
为第二象限的角,化简:
cos
?
(19)已知
s
in(
?
?
?
)?
1
23
(1)求证:
s
in
?
cos
?
?5cos
?
sin
?
;
,sin(
?
?
?
)?
1
1?sin
?<
br>1?sin
?
?sin
?
1?cos
?
1?cos<
br>?
;
(2)求证:
tan
?
?5tan
?
.
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(20) 如图为一个观
览车示意图.该观览车圆半径为4.8m,圆上最
低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈.途中<
br>OA
与地面垂
直.以
OA
为始边,逆时针转动
?
角到
OB
.设
B
点与地面距
离为
h
.(1)求
h
与
?
的函数解析式;(2)设从
OA
开始转
动,经过t
秒到达
OB
,求
h
与
t
的函数解析式;(3
)填写下
列表格:
?
0?
30?
60?
90?
120?
150?
180?
h(m)
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
h(m)
(21) 一
次机器人足球比赛中,甲队1号机器人由点
A
开始作
匀速直线运动,到达点
B
时,发现足球在点
D
处正以2
倍于自己的速度向点
A
作匀速
直线滚动.如图所示,已
知
AB?42dm,AD?17dm,?BAC?45?
.若
忽略机器
人原地旋转所需的时间,则该机器人最快可在何处截住足球?
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参考答案或提示:
(四)三角函数、三角恒等变形与解三角形 A组
(1)C
(2)C 提示:作出
y?1?cosx
(x?
?
0,2
?
?
)
的图象,直线
y?
(4)B 提示:
1?sin20??sin10??c
os10??2sin10?cos10??
22
3
2
,数形结合
2
(sin10??cos10?)?sin10??cos10?
,
∵<
br>sin10??sin80??cos10?
,∴
1?sin20??cos10??s
in10?
。
(5)B 提示:∵
bsinA?bsin44??bsin45?
?24?
2
2
?122?18?24
,
∴
bsinA?a?b
,∴此三角形有两解
(6)B 提示:
si
n(
?
?
?
)cos
?
?cos(
?
?<
br>?
)sin
?
?sin[(
?
?
?
)??
]??sin
?
?m
,
∴
sin
?
??m
,∵
?
为第三象限角,∴
cos
?
?0
,
∴
cos
?
??1?sin
2
?
??1?m
2
(7)A
(8)C
2
提示:∵
(a?b?c)(c?b
?a)?(b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2bc?a
2
?3bc
,
22
∴
b?c?a?bc<
br>,∴
cosA?
b?c?a
2bc
222
?
bc2bc
?
1
2
,又
0??A?180?
,∴
A
?60?
7sin
?
?3cos
?
(9)提示:
7sin
?
?3cos
?
4sin
?
?5cos
?
?
7tan
?
?316
cos
?
???
4sin
?
?5cos
?
4tan
?
?511cos
?
(10)
A?5,
?
?
?
8
,
?
??
3
4
?
.
2?
?
1?
1
3
?7
.
2
3
(11)解 (1)∵
tan
?
?2
,tan
?
??
1
3
,∴
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
?
tan
?
∵
tan(
?
?
?
)
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
?
t
an
?
3
?
2
?
??
3
?1
,又
∵
0?
?
?,?
?
?
?
,
2
2
2
1?
3
2
2?
1
∴
?
2
??
?
?
?
,在
?
2
与
3
?<
br>之间,只有
5
?
4
的正切值等于1,∴
?
?
?
?
5
?
4
.
(12)解 法一 ∵
cos<
br>?
?
?
??
3
?
3
?x
?
?
,∴
coscosx?sinsinx?
,
445
?
4
?
5
3
5
2
……①
即
cosx?sinx?
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又有
sin2
x?cos
2
x?1
……②,∴②-①得
2sinxcosx
?
又∵
17
?
12
?x?
7
?
4
2
7
25
……③,
,∴
sinx?0,cosx?0
,
72
10
,cosx??
2
10
∴联立①③
sin
x??
,∴
tanx?7
2
?
72
??
72
?
2
2?
?
??2
?
?
?
?
?
?
22
101010
sin2x?2sinx2sinxcosx?2si
nx28
????
????
∴
sinx
1?tanx1?775
1?
cosx
法二 ∵
cos2(
?
4
7
?x)?2cos(
17
?
12
2
?
4
?x)?1??
7
?
4
7
25
,∴
cos(
?
2
?2x)??sin2x??
725
,
7
25
24
25
即
sin2x?25
,又∵
?x?
,∴
17
?
6
?2x?7
?
6
,∴
cos2x??1?(
7
)??
2
,∴
2sinx?1?cos2x?
2
49
25
,又
tanx?
1
2
2sinx
sin2x
2
?7
,
∴
sin2x?2sinx
1?tanx
2
28
??
2525
??
1?775
?
49
(3)C
提示:∵
S?
ABC
?bcsinA
,∴
1
2
?1
?c?sin60??3
,∴
c?4
-
又
a
2
?
b
2
?c
2
?2bccosA?1
2
?4
2
?2?1?4?cos60??13
,∴
a?13
,
a
sinA
13
sin60?
13
3
2
239
3
∴<
br>???
(13)提示:(1)
?
(0)?
1
??
1
?
1
1
?
21
?
sin
?
2?0?
?
?sin?
;(2)
f????
;
22222
T2
?
2
??
??
(3)
t?5T?5
?
.
(14)解 (1)
f(x)?2sinx?2sinxcosx
?2?
2
1?cos2x
2
?sin2x?1?sin2x?cos2x?1
?2sin(2x?
?
4
)
∴
T?
2
?
2
?
?
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y
1+2
?
-
8
?
-
2
1
O
1-2
?<
br>8
3
?
8
?
2
x
(2)五点法作图(略)
(15)解 (1)
f(x)?(sinxcos
?
?
6
?cosxsin
?
6
)?(sinxcos
?
6
?cosxsin
?
6
)?cosx?a
3sinx?cosx?a
?2sin(x?
?
6
)?a
∴
f(x)
max
?2?a?1
,∴
a??1
<
br>(2)∵
f(x)?2sin(x?
∴
2k
?
?
?<
br>6
?x?
?
6
)?1
,∴
2sin(x?
5
?
6
?
6
)?1?0
,∴
sin(x?
2
?
3
?
6
)?
1
2
,
?
6
?2k
?
?,k?Z
,解得
2k
?
?x?2k
?
?
?
?
2
?
,k?Z
,
∴使
f(x)?0
成立的x的取值集合为
?
x2k
?
?x?2k
?
?
B组
(16)提示:
tan
?
?
?
?
?
8
?
?
?
??
?m?tan
?
?
???
?m
,
7
?
7
??
?
?
?
?
?
?
?
,k?Z
?
<
br>3
?
13
?
?
15
?
??
sin<
br>?
?
?
?
?3cos
?
?
?
7?
7
??
原式=
22
?
?
20
???
sin
?
?
?
?
?cos
?
?<
br>?
7
?
7
??
=
?
??
tan?
?
?
?
?3
7
??
?
??
tan
?
?
?
?
?1
7
??
3
4
?
m?3
m?1
(17)提示:
sin(
?<
br>?15?)?cos(
?
?15?)?sin(
?
?15?)cos(
?
?15?)?
sin
?
?cos
?
?sin?
cos
?
?
22
22
或
3
4
,其中
?
?
?
?30?
,等等。
略证:
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sin(
?
?
15?)?cos(
?
?15?)?sin(
?
?15?)cos(
?
?15?)
?
?
1?cos2(
?
?15?)
2
1
2
?
1
2
1
2
?
1?cos2
(
?
?15?)
2
1
2
?
1
2
?
1
2
{sin[(
?
?15?)?(
?
?15?)
]?sin[(
?
?15?)?(
?
?15?)]}
1
2<
br>[sin2
?
?sin(?30?)]
1
2
sin2
?
?
1
2
sin30?
22
cos(2
?
?30?)?cos(2
?
?30?)?
1
2
1
4
?1?
?1?
?
3
4
(cos2
?
cos30??
sin2
?
sin30?)?
3
sin2
?
?
1<
br>4
cos2
?
?
3
4
cos2
?
?
(cos2
?
cos30??sin2
?
sin30?)?
sin2
?
?
1
2
sin2
?
?
1
4
4
(18) 解:∵
?
为第二象限的角,∴
sin<
br>?
?0,cos
?
?0
,
∵
1?sin
?
1?sin
?
?
(1?sin
?
)
2
(1
?sin
?
)(1?sin
?
)
(1?cos
?
)
2
?
(1?sin
?
)
cos
?
(1?c
os
?
)
sin
?
2
2
2
2
?<
br>1?sin
?
cos
?
1?cos
?
sin
?
?
1?sin
?
?cos
?
,
1?cos?
1?cos
?
?
(1?cos
?
)(1?cos?
)
???
1?cos
?
sin
?
,
∴
cos
?
1?sin
?
1?sin
?
?sin
?
1?sin
?
1?cos
?
?cos
?
?
?sin
?
?
?sin
?
?cos
?
1?cos
?
?cos
?
sin
?
1
2<
br>1?cos
?
(19)证明 (1)∵
sin(
?
?
?
)?
∵
sin(
?
?
?
)?
1
3
,,∴
sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?
1
3
1
2
……①
,∴
sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?
5
12
,cos
?
sin
?
?
sin<
br>?
cos
?
?5
……②
联立①②解得
sin
?
cos
?
?
1
12
,∴
sin
?cos
?
?5cos
?
sin
?
,得证
,∴
tan
?
?5tan
?
,得证 (2)由
si
n
?
cos
?
?5cos
?
sin
?
得<
br>sin
?
cos
?
(20)解 (1)
∵
h?0
.8?OA?BC?0.8?4.8?OBsin
?
?5.6?4.8sin(
??90?)
,
∴
h?5.6?4.8cos
?
(
?
?0)
(2)∵
?
?
∴
?
?
(3)
?
0?
2
?
60
?
?
30
,?
?
?
t
,
?
30
t(t?0)
C
?
30
t
,∴
h?5.6?4.8cos
30?
1.44
60?
3.2
90?
5.6
120?
8
150?
9.77
180?
10.4
h(m)
0.8
t(s)
h(m)
0
0.8
5
1.44
10
3.2
15
5.6
20
8
25
9.77
30
10.4
(21) 解
设该机器人最快可在点
C
处截住足球,点
C
在线段
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AD
上,设BC?xdm
,由题意,
CD?2xdm
.
AC?AD?CD?(17?
2x)(dm)
.在△
ABC
中,
由
x?(
2
余<
br>4
弦
2
定
?2
理
)x?
2
,
(1?
得
7?
B
2
?C
2
?A2B??
2
Ac
.
Cos
即
AB
72
解
?5(dm
),
x2
.
?)
得
x
1
?24
x
2
?
37
?2
(dm)
3
.∴
(1
AC?
17?2x?
AC??
7
,或
(
23
3
(dm)<
br>(不合题意,舍去).
答 该机器人最快可在线段
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上离点
A<
br>7dm
的点
C
处截住足球.
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