高中数学一道题的教学反思-2019高中数学竞赛预赛江西
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2016-2017
学年安徽省滁州二中高一（下）分科数学试卷
一
.
选择题（本大题共
12
小题，每小题5
分，共
60
分
.
在每小题给出的四个选项中，
只有一
项是符合题目要求的
.
）
1
．设集合
M=
{x
|
x
2
+
x
﹣
6
＜
0}，
N=
{
y
|
y=2
x
}，则
M<
br>∩
N=
（ ）
A
．（
0
，
2
）
B
．[
0
，
2
）
C
．（
0
，
3
）
D
．[
0
，
3
）
2
．若
a，
b
是任意实数，且
a
＞
b
，则（ ）
A
．
a
2
＞
b
2
B
．
C
．
lg
（
a
﹣
b
）＞
0
D
．
3
．已知角
α
是第二象限角，且
A
．﹣
4
．已知
A
．
4 B
．
B
．﹣
C
．
D
．
，则
cosα=
（ ）
均为单位向量，它们的夹角为
60°
，那么
C
．
D
．
等于（ ）
5
．函数
y=x
2
﹣
4x
+
1
，
x
∈[
1
，
5
]的值域是（ ）
A
．[
1
，
6
]
B
．[﹣
3
，
1
]
6
．函数
f
（
x
）
=tan
（
x
+
A
．（<
br>kπ
﹣
C
．（
kπ
﹣
7
．若||
=
A
．
B
．
，
kπ
+
，
kπ+
C
．[﹣
3
，+∞）
D
．[﹣
3
，
6
]
）的单调增区间为（
）
B
．（
kπ
，（
k
+
1
）<
br>π
），
k
∈
Z
，
kπ
+），
k
∈
Z
），
k
∈
Z
），
k
∈
Z
D
．（
kπ
﹣
，||
=2
且（﹣）⊥，则与的夹角是（
）
C
．
D
．
8
．化简：
sin21°cos81°
﹣
cos21°sin81°=
（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
9
．下列函数中，既是偶函数又在区间（
0
，+∞）上单调递减的是（
）
A
．
B
．
y=e
﹣
x
C
．
y=lg
|
x
|
D
．
y=
﹣
x
2
+
1
）的图象只需将
y=3sin2x
的图象（ ）
个单位
10
．要得到
y=3sin
（
2x
+
A
．
向左平移个单位
B
．向右平移
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C
．向左平移个单位
D
．向右平移个单位
11
．下列函数图象与
x
轴均有交点，其中不能用二分法求图中函
数零点的是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
12
．若定义在
R
上的偶函数
f
（
x
）满足
f
（
x
+
2
）
=f（
x
），且当
x
∈[
0
，
1
]时，<
br>f
（
x
）
=x
，则方程
f
（
x）
=log
3
|
x
|的解个数是（ ）
A
．
9
个
B
．
2
个
C
．
4
个
二
.
填空题（
本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分
.
把答案填在题中的横线上）
13
．已知
f
（
1
﹣
x
）
=x
2
﹣
2x
，则
f
（<
br>x
）
=
．
14
．已知
sin
+
cos=
，那么
sinθ
的值为 ，
cos2θ
的值为
．
，则
P
点的坐标是 ．
=
．
D
．
6
个
15
．已知
M
（3
，﹣
2
），
N
（﹣
5
，﹣
1
），且
16
．
f
（
x
）是周期为
2
的偶
函数，当
0
≤
x
≤
1
时，
f
（
x
）
=2x
，则
三．解答题（本大题共
6
小题，共
70
分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤
.
）
17
．扇形
AOB
的周长为
8cm
．
（
1
）若这个扇形的面积为
3cm
2
，求圆心角的大小；<
br>
（
2
）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长
AB．
18
．（
1
）求值：
（
2
）求函
数
；
的定义域．
19
．已知集合
A=
{
x
|﹣
3
≤
x
≤
2
}，集合
B
=
{
x
|
1
﹣
m
≤
x
≤
3m
﹣
1
}．
（
1
）当
m=3
时，求
A
∩
B
，
A
∪
B
；
（
2
）若
A
∩
B=B
，求实数
m
的取值范围．
20
．已知函数
f
（
x
）
=Asin
（
ωx
+
φ
），
x
∈
R
（其中）的图
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象与
x
轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为
．
（
Ⅰ
）求
f
（
x
）的解析式；
（
Ⅱ
）当，求
f
（
x
）的值域．
，且图象上一个最低点为
21
．已知向量
=
（
2cosx
，
sinx
），
=
（
cosx
，﹣
2cosx<
br>）设函数
f
（
x
）
=?
（
1
）求
f
（
x
）的单调增区间；
（
2
）若
tanα=
22
．对于函数
，求
f<
br>（
α
）的值．
，
（
1
）用定义
证明：
f
（
x
）在
R
上是单调减函数；
（
2
）若
f
（
x
）是奇函数，求
a
值；<
br>
（
3
）在（
2
）的条件下，解不等式
f
（
2t
+
1
）+
f
（
t
﹣
5
）≤
0
．
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学年安徽省滁州二中高一（下）分科数学试卷
参考答案与试题解析
一
.
选择题（本大题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分
.
在每
小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的
.
）
1
．设集合
M=
{
x
|
x
2
+
x
﹣
6
＜
0
}，
N=
{
y
|
y=2
x
}，则
M
∩
N=
（ ）
A
．（
0
，
2
）
B
．[
0
，
2
）
C
．（
0
，
3
）
D
．[
0
，
3
）
【考点】交集及其运算．
【分析】求出
M
中不等式的解集确定出<
br>M
，求出
N
中
y
的范围确定出
N
，找出两<
br>集合的交集即可．
【解答】解：由
M
中的不等式变形得：（
x
﹣
2
）（
x
+
3
）＜
0
，
解得：﹣
3
＜
x
＜
2
，即
M=（﹣
3
，
2
）；
由
N
中
y
=2
x
＞
0
，得到
N=
（
0
，+∞），<
br>
则
M
∩
N=
（
0
，
2
）
．
故选：
A
．
2
．若<
br>a
，
b
是任意实数，且
a
＞
b
，则（
）
A
．
a
2
＞
b
2
B
．
C
．
lg
（
a
﹣
b
）＞
0
D
．
【考点】不等式的基本性质．
【分析】利用不等式的基本性
质可得
B
，正确，用特值法可排除
A
、
C
、
D．
【解答】解：∵
a
，
b
是任意实数，且
a
＞
b
，
∴不妨令
a=0
，
b=
﹣
1
，则
0
＜
1
，可排除
A
，
C
，
D
；
∵
y=
为单调递减函数，
＜，
∴
a
＞
b
时，
∴
B
正确．
故选
B
．
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3
．已知角
α
是第二象限角，且
A
．﹣
B
．﹣
C
．
D
．
，则
cosα=
（ ）
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】由角的范围和同角三角函数基本关
系可得
cosα=
﹣
可得．
【解答】解：∵角
α
是第二象限角，且
∴
cosα=
﹣
故选：
A
4
．已知
A
．
4
B
．
均为单位向量，它们的夹角为
60°
，那么
C
．
D
．
，代值计算
，
=
﹣，
等于（ ）
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】根据平面向量的数量积，计算模长<
br>【解答】解：
∴
∴
∴
=
即可．
均为单位向量，它们的夹角为
60°
，
=1
×
1
×
cos60°=
，
=9
+
6
．
+
=9
+
6
×+
1=13
，
故选：
B
．
5
．函数
y=
x
2
﹣
4x
+
1
，
x
∈[
1，
5
]的值域是（ ）
A
．[
1
，
6
]
B
．[﹣
3
，
1
]
【考点】函数的值域．
【分析】首先求函数
y=x
2
﹣<
br>4x
+
1
，在区间[
1
，
5
]上的值域，考
虑到函数是抛物线方
程，可以求得对称轴，然后判断函数在区间上的单调性，再求解最大值最小值，即得答案．
【解答】解：对于函数
f
（
x
）
=x
2
﹣
4x
+
1
，是开口向上的抛物线．
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C
．[﹣
3
，+∞）
D
．[﹣
3
，
6
]
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对称轴
x=
，所以函数在区间[
1
，
5
]上面是先减到最小值再递增的．
所以在区间上的最小值为
f
（<
br>2
）
=
﹣
3
．
又
f
（<
br>1
）
=
﹣
2
＜
f
（
5
）<
br>=6
，，所以最大值为
6
．
故选
D
．
6
．函数
f（
x
）
=tan
（
x
+
A
．（
kπ
﹣
C
．（
kπ
﹣
，
kπ
+
，
kπ
+
）的单调增区间为（ ）
B
．（
kπ
，（
k
+
1
）
π
），
k
∈
Z
，
kπ
+），
k
∈
Z
），
k
∈
Z
），
k
∈
Z
D
．（
kπ
﹣
【考点】正切函数的图象．
【分析】由条件
利用正切函数的增区间，求得函数
f
（
x
）
=tan
（x
+
间．
【解答】解：对于函数
f
（
x）
=tan
（
x
+
求得
kπ
﹣
故选：
C
．
7
．若||
=
A
．
B
．
，||
=2
且（﹣）⊥，则与的夹角是（ ）
C
．
D
．
）的单调区
），令
kπ
﹣＜
x
+＜
kπ
+
，
kπ
+
，
），
k
∈
Z
，＜
x
＜
kπ+，可得函数的单调增区间为（
kπ
﹣
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】利用向量垂直的充要条件列出方程，利用向量的运算律化简等式，利用
向量的数
量积公式求出向量夹角的余弦值，求出向量的夹角．
【解答】解：设向量的夹角为
θ
，
∵
∴
∴
即
2
﹣
2
∴
，
，
，
cosθ=0
，
，
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∵
0
≤
θ
≤
π
，
∴，
故选
B
．
8
．化简：
sin21°cos81°
﹣
cos21°sin81°=
（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】把原式两项中的
角
81°
变为
90°
﹣
9°
，利用诱导公式化简后，提取﹣
1
，再
利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值．
【解答】解：
sin21°cos81°
﹣
cos21°sin81°
=sin21°cos
（
90°
﹣
9°
）﹣cos21°sin
（
90°
﹣
9°
）
=sin21°sin9°
﹣
cos21°cos9°
=
﹣（
cos21°cos9°
﹣
sin21°sin9°
）
=
﹣
cos
（
21°
+
9°
）
=
﹣
cos30°
=
﹣．
故选
B
9
．下列函数中，既是偶函数又在区间（
0
，+∞）上单调递减的是（
）
A
．
B
．
y=e
﹣
x
C
．
y=lg
|
x
|
D
．
y=
﹣
x
2
+
1
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【分析】利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．
【解答】解：
A<
br>中，
y=
为奇函数，故排除
A
；
B
中，<
br>y=e
﹣
x
为非奇非偶函数，故排除
B
；
C
中，
y=lg
|
x
|为偶函数，在
x
∈（
0
，
1
）时，单调递减，在
x
∈（
1
，+∞）时
，单
调递增，
所以
y=lg
|
x
|在（
0
，+∞）上不单调，故排除
C
；
D
中，y=
﹣
x
2
+
1
的图象关于
y
轴对称
，故为偶函数，且在（
0
，+∞）上单调递减，
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故选
D
．
10
．要得到
y=3sin
（
2x
+
A
．向左平移
C<
br>．向左平移
）的图象只需将
y=3sin2x
的图象（ ）
个单位
个单位
个单位
B
．向右平移
个单位
D
．向右平移
【考点】函数
y=As
in
（
ωx
+
φ
）的图象变换．
【分析】根据左加右减的原则进行左右平移即可．
【解答】解：∵
∴只需将
y=3sin2x
的图象向左平移
故选
C
．
11
．下列函数图象与
x
轴均有交点，其中不能用二分
法求图中函数零点的是（ ）
，
个单位
A
．
B
．
C
．
D
．
【考点】二分法求方程的近似解．
【分析】利用二分法求函数零点的条件是：函数在
零点的左右两侧的函数值符号
相反，即穿过
x
轴，分析选项可得答案．
【解答】解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相
反，
由图象可得，只有
A
、
B
、
D
能满足此条件，C
不满足．
故选
C
．
12
．若定义在
R
上的偶函数
f
（
x
）满足f
（
x
+
2
）
=f
（
x
），
且当
x
∈[
0
，
1
]时，
f
（
x
）
=x
，则方程
f
（
x
）
=log
3
|
x
|的解个数是（ ）
A
．
9
个
B
．
2
个
C
．
4
个
【考点】函数的周期性．
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D
．
6
个
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【分析】由题意可得函数周期为
2
，问题转化为
f
（
x
）与
y=log
3
|
x
|图象的交点个数，作图可得．
【解答】解：由
f
（
x
+
2
）
=f
（
x
）可得函数的周期为
2
，
<
br>又函数为偶函数且当
x
∈[
0
，
1
]时，
f
（
x
）
=x
，
故可作出函数
f
（
x
）得图象，
∴方程
f
（
x
）
=log
3
|
x
|的解个数等价
于
f
（
x
）与
y=log
3
|
x
|图象的交点，
由图象可得它们有
4
个交点，故方程
f
（
x
）
=log
3
|
x
|的解个数为
4
故选：
C
二
.
填
空题（本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分
.
把答案填在题中的横线上）
13
．已知
f
（
1<
br>﹣
x
）
=x
2
﹣
2x
，则
f
（
x
）
=
x
2
﹣
1
．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】由题意可用配方法得
到
f
（
1
﹣
x
）
=x
2
﹣
2x=
（
x
﹣
1
）
2
﹣
1
，再
换元求出
f
（
x
）
=x
2
﹣
1
得
到答案
【解答】解：由题
f
（
1
﹣
x
）
=x
2
﹣
2x=
（
x
﹣
1
）2
﹣
1
∴
f
（
x
）
=x
2
﹣
1
故答案为
x
2
﹣
1
14<
br>．已知
sin
+
cos=
，那么
sinθ
的值为
，
cos2θ
的值为 ．
【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．
【分析】①考查同角三角函数基本关系及变形的技巧，结合平方关系和二倍角的
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正弦公式求得
sinθ=2sincos
，代入数据可得答案．
②
直接利用二倍角的余弦公式
cos2θ=1
﹣
2sin
2
θ
求解．
【解答】解析：由
sin
1
+
sinθ=
，
sinθ=
，
cos2θ=1
﹣
2sin
2<
br>θ=1
﹣
2?=
．
答案：，
15
．
N
已知
M
（
3
，﹣
2），（﹣
5
，﹣
1
），且
【考点】相等向量与相反向量．
【分析】设出点
P
的坐标，利用平面向量的坐标运算与向量相等列出方程组，求<
br>出
x
、
y
的值即可．
【解答】解：设点
P
（
x
，
y
），由
M
（
3
，﹣2
），
N
（﹣
5
，﹣
1
），
∴
=
（
x
﹣
3
，
y
+
2
），
=
（﹣
8
，
1
），
又，
，则
P
点的坐标是 （，﹣）
．
+
cos=
，得
∴，
解得；
∴
P
点的坐标是（，﹣）．
故答案为：（，﹣）．
16
．
f
（
x
）是周期为
2
的偶函数，当
0
≤
x
≤
1
时，
f
（
x
）
=2x
，则
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质，将条件进行转化进行求解即可．
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=
1
．
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【解答】解：∵
f
（
x
）是周期为
2<
br>的偶函数，
∴
=f
（﹣
2
﹣）
=f
（﹣）
=f
（），
∵当
0
≤
x
≤1
时，
f
（
x
）
=2x
，
∴
f
（）
=1
，
故答案为
1
．
三．解答题（本大题共
6
小题，共
70
分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤
.
）
17
．扇形
AOB
的周长为
8cm
．
（
1
）若这个扇形的面积为
3cm
2
，求圆心角的大小；
<
br>（
2
）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长
AB
．
【考点】扇形面积公式．
【分析】（
1
）根据周长和面积列
出关于
r
和
l
的方程组，解方程组即可．
（
2<
br>）根据周长和
S=lr=l?2r
以及均值不等式求出最大值，进而得出半径，即可求出弦长．
【解答】解：设扇形
AOB
的半径为
r
，
弧长为
l
，圆心角为
α
，
（
1
）由题意知
解得：
或
，
∴
α==
或
6
；
（
2
）∵
2r
+
l=8
，
∴
S=lr=l?2r
≤，
当且仅当
2r=l
，
即
α==2
时，面积取得最大值
4
，
∴
r=2
，
∴弦长
AB=2sin1
×
2=4sin1
．
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18
．（
1
）求值：
（
2
）求
函数
；
的定义域．
【考点】函数的定义域及其求法；对数的运算性质；对数函数的定义域．
【分析】（
1
）先结合对数运算法则：
log
a
（
MN
）=log
a
M
+
log
a
N
，
log
a
（）
=log
a
M
﹣
log
a
N
，进行求解即可；
（
2
）根据分式和偶次根式的意义建立关系式
，以及对数函数有意义建立关系，解
之即可求出所求．
【解答】解：
（
1
）原式
=
（
2
）要使原函数有意义，必须满足：，
∴
6
＜
x
＜
12
∴原函数定义域为（
6
，
12
）
<
br>19
．已知集合
A=
{
x
|﹣
3
≤
x
≤
2
}，集合
B=
{
x
|
1
﹣
m
≤
x
≤
3m
﹣
1
}．
（
1
）当
m=3
时，求
A
∩
B
，
A
∪
B
；
（
2
）若
A
∩
B=B
，求实数
m
的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】（
1
）求出
m=3
时集合
B
，再根据交集和并集的定义写出
A
∩
B、
A
∪
B
；
（
2
）由
A<
br>∩
B=B
得
B
?
A
，根据子集的定义写出满足条件的
m
的取值范围．
【解答】解：（
1
）集合
A=<
br>{
x
|﹣
3
≤
x
≤
2
}，
集合
B=
{
x
|
1
﹣
m
≤
x
≤
3m
﹣
1
}；
当
m=3
时，
B=
{
x
|﹣
2
≤
x
≤
8<
br>}，
∴
A
∩
B=
{
x
|﹣
2
≤
x
≤
2
}，
A
∪
B=<
br>{
x
|﹣
3
≤
x
≤
8
}；
…
（
2
）由
A
∩
B=B
得：
B
?
A
，
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∴
1
﹣
m
＞
3m
﹣
1
或
解得
m
＜或≤
m
≤
1
，
即
m
≤
1
；
；
∴实数
m
的取值范围是{
m
|
m
≤
1
}．
…
20
．已知函数
f
（
x
）
=Asin
（
ωx
+
φ
），
x
∈
R
（其中
象与
x
轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为
．
（
Ⅰ
）求
f
（
x
）的解析式；
（
Ⅱ
）当，求
f
（
x
）的值域．
）的图
，且图象上一个最低点为
【考点】由
y=Asin
（
ωx
+
φ
）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域．
【分析】（
1
）根据最低点
M
可求得
A
；由
x轴上相邻的两个交点之间的距离可求
得
ω
；进而把点
M
代入f
（
x
）即可求得
φ
，把
A
，
ω，
φ
代入
f
（
x
）即可得到函数
的解析式．<
br>
（
2
）根据
x
的范围进而可确定当的范围，根据正弦函数的
单调性可求得函
数的最大值和最小值．确定函数的值域．
【解答】解：（
1
）由最低点为
由
x
轴上相邻的两个交点之间的距离为
即
T=
π
，
由点
故
又
（
2
）∵
当
=，即
，∴
，∴
得
A=2
．
得
=
，
在图象上的
∴
时，
f
（
x
）取得最大值
2
；当
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即时，
f
（
x
）取得最小值﹣
1
，
故
f
（
x
）的值域为[﹣
1
，
2
]<
br>
21
．已知向量
=
（
2cosx
，
sinx），
=
（
cosx
，﹣
2cosx
）设函数
f
（
x
）
=?
（
1
）求
f
（
x
）的单调增区间；
（
2
）若
tanα=
，求
f
（
α
）的
值．
【考点】两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
<
br>【分析】（
1
）求出
f
（
x
）的表达式，然后化简为
一个角的一个三角函数的形式，
结合余弦函数的单调性，求出函数
f
（
x）的单调递增区间；
（
2
）先表示出
f
（
α
），然后分子分母同时除以
coa
2
α
，并将
tanα的值代入即可．
f=?=2cos
2
x
﹣
2
【解答】解：（
x
）
（
1
）当
2kπ
﹣
π
≤
2x
+
k
∈
Z
∴
f
（
x
）的单调递增区间为[
kπ
﹣
（
2
…
22
．对于函数，
2
）
f
，
kπ
﹣
（
]
k
∈
Z
…
α
=
）
=2cos
2
α
=
﹣
sinxcosx=1
+
cos2x
﹣
sin2x=1
+<
br>2cos
（
2x
+
…
）
≤
2kπ
时，
f
（
x
）单调递增，解得：
kπ
﹣≤
x
≤
kπ
﹣
sinαcosα=
（
1
）用定义证明：
f
（
x
）在
R
上是单调减函数；
（
2
）若
f
（
x
）
是奇函数，求
a
值；
（
3
）在（
2
）的
条件下，解不等式
f
（
2t
+
1
）+
f
（
t
﹣
5
）≤
0
．
【考点】函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合．
【分析】（
1
）按取点，作差，变形，判断的过程来即可．
（2
）利用奇函数定义域内有
0
，
f
（
0
）=0
来求
a
值；
（
3
）利用单调性和奇偶性
把
f
（
2t
+
1
）+
f
（
t﹣
5
）≤
0
转化为
2t
+
1
≥﹣t
+
5
即可．
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fx
1
）
fx
2
）
=
【解答】（
1
）证明；设
x
1
＜
x
2
，则
（﹣（
∵
y=2
x
在实数集上是增函数且函数值恒大于
0
，
故
＞
0
．
即
f
（
x
1
）﹣
f
（
x
2
）＞
0
．
∴
f
（
x
）在
R
上是单调减函数
﹣
=2?
＞
0
，＞
0
，
（2
）解：由（
1
）的
f
（
x
）在
R<
br>上是单调减函数，即函数定义域为
R
，
∵
f
（x
）是奇函数，∴
f
（
0
）
=0
?
a
=
﹣
1
．
（
3
）解：有（
1
）
（
2
）可得
f
（
x
）在
R
上是单调减函数
且是奇函数
∴
f
（
2t
+
1
）+
f
（
t
﹣
5
）≤
0
．转化为
f
（
2t
+
1
）≤﹣
f
（
t
﹣
5<
br>）
=f
（﹣
t
+
5
），?
2t
+<
br>1
≥
﹣
t
+
5
?
t
≥
<
br>故所求不等式
f
（
2t
+
1
）+
f
（
t
﹣
5
）≤
0
的解集为：{
t
|
t
≥}．
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月
9
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