湖南省长沙市一中2020届高三月考(八)数学(理)试题

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炎德·英才大联考长沙市一中2020届高三月考试卷（八）
数学（理科）
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四 个选项中，只有一
项
是符合题目要求的）.
1.命题“
?x?R,x?0
”的否定是（ ）
A．
?x?R,x?0
B．
?x?R,x?0
C．
?x?R,x?0
D．
?x?R,x?0

2.在复平面内， 复数
z?(a?1)?(a?1)i
（
a?R,i
为虚数单位），对应的点在 第四象限的充
要条件是（ ）
A．
a??1
B．
a??1
C．
a??1
D．
a??1

3.已知
?
a
n
?
是等差数列，
a
10
?10
，其前10项和
S
10
?70
，则其公差
d
为（ ）
A．
2222
2
2112
B． C．
?
D．
?

3333
4.设函数
f(x) ?sin
?
x(
?
?0)
，将
y?f(x)
的图象 向左平移
原函数的图象重合，则
?
的最小值是（ ）
A．
?
个单位长度后，所得图象与
3
1
B．3 C．6 D．9
3
?
y?x?1
5.设非负实数
x,y
满足：
?
，
(2,1)
是目标函数
z?ax?3y(a?0)
取最大值的最优
2x?y?5
?
解，则
a
的取值范围是（ ）
A．
(0,6)
B．
?
0,6
?
C．
?
6,??
?
D．
(6,??)

x
2
y
2
??1
上非顶点的动点，
F
1
,F
2
分别为椭圆的左、右焦点，
O
是坐标6.已知点
P
是椭圆
168
uuuuvuuuv
uuuuv
原点，若
M
是
?F
1
PF
2
的平分线上一点，且
FM
g
MP?0，则
OM
的取值范围是（ ）
1
A．
?
0,3
?
B．
(0,22)
C．
?
22,3
D．
?
0,4
?

?
?
7.在闭区间
?
?4,6
?
上随机取出一个数
x
，执行右图程序框图，则输出
x
不小于39的概率为
（ ）
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A．
1234
B． C． D．
5555

9.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）

A．4 B．
2026
C． D．8
33
?4 log
2
x,0?x?2
?
10.已知函数
f(x)?
?< br>1
2
，若存在实数
a、b、c、d
，满足
x?5x?12,x ?2
?
?2
f(a)?f(b)?f(c)?f(d)
，其中
d?c ?b?a?0
，则
abcd
的取值范围是（ ）
A．
(16,21)
B．
(16,24)
C．
(17,21)
D．
(18,24)

uuuvuuuv
11.
?ABC
中，
BC?5,G,O
分别为
?ABC
的重心和外心，且
GO
g
BC?5
，则?ABC
的形
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状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．上述均不是
12.用
g(n)
表示自然数
n
的所有因数中最大 的那个奇数，例：9的因数有1，3，9，
g(9)?9
，
10的因数有1，2，5， 10，
g(10)?5
，那么
g(1)?g(2)?g(3)?L?g(2
A ．
2016
?1)?
_________．
4
2015
1414141
?4?
B．
?4
2015
?
C．
?4
2016
?
D．
?4
2016
?

33333333
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）
13.在某项 测量中，测量结果
?
:N(1,
?
)
，若
?
在(0,2)
内取值的概率为0.8，则
?
在
?
??,2
?
2
内取值的概率为________．
14.已知
(1?2x)(1?a x)
的展开式中
x
的系数为2，则实数
a
的值为________．
15.曲线
y?sinx
与直线
x??
x
54
?< br>3
,x?
?
2
及
x
轴所围成的图形的面积是____ ____．
16.设函数
g(x)?e?2x?a
（
a?R
，e
为自然对数底数），定义在
R
上函数
f(x)
满足：
1
??
f(?x)?f(x)?x
2
，且当
x?0
时，f
?
(x)?x
，若存在
x
0
?
?
x |f(x)??f(1?x)?x
?
．使
2
??
g
?
g(x
0
)
?
?x
0
，则实数
a
的取值 范围为________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知
a?(2cosx?23sinx,1),b?( cosx,?y)
，且
a?b
．
（1）将
y
表示为
x
的函数
f(x)
，并求
f(x)
的单调增区间．
（2 ）已知
a,b,c
分别为
?ABC
的三个内角
?A,?B,?C对应边的边长，若
f()?3
且
A
2
a?2,b?c?4
，求
?ABC
的面积．
18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥< br>P?ABCD
中，底面
ABCD
是平行四边形，
PG?
平面< br>ABCD
，垂中为
G
，
1
G
在
AD
上，且
PG?4,AG?GD,BG?GC,GB?GC?2
，
E
是
BC
的中点．
3
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（1）求异面直线
GE
与
PC
所成角的余弦值；
（2）若
F
点是棱
PC
上一点，且
DF?GC
，求
19.（ 本小题满分12分）
为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机 从题库中
抽取题目让选 手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分．根据以往统计，某
参赛选手能答对每一个问题的概率为
PF
的值．
FC
2
； 现记“该选手在回答完
n
个问题后的总得分为
S
n
”．
3
（1）求
S
6
?20
且
S
i
?0(i? 1,2,3)
的概率；
（2）记
X?S
5
，求
X
的分布列，并计算数学期望
E(X)
．
20.（本小题满分12分）
已知 曲线
C
1
:x?(y?)?1(y?)
，
C
2
:x ?8y?1(x?1)
，动直线
l
与
C
2
相交于
A ,B
两点，曲线
C
2
在
A,B
处的切线相交于点
M
．
（1）当
MA?MB
时，求证：直线
l
恒过定点，并求出定点坐标；
（2）若直线
l
与
C
1
相切于点
P
，试问 ：在
y
轴上是否存在两个定点
T
1
,T
2
，当直线
MT
1
,MT
2
斜率存在时，两直线的斜率之积恒为定值？若存在求 出满足条件的点
T
1
,T
2
的坐标，若不存在，
请说明理由 ．
21.（本小题满分12分）
2
1
4
2
1
4
2
x
3
?x
2
?ax(a?R)
． 已知函数f(x)?ln(ax?1)?
3
（1）若
y?f(x)
在
?< br>4,??
?
上为增函数，求实数
a
的取值范围；
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32
x
3
2
x(ax?1)
?
??3ax?f(x)(x?0)
的两个极值点（2）当
a?
时，设
g(x) ?ln
?
??
2
3
x
1
,x
2
( x
1
?x
2
)
恰为
?
(x)?lnx?cx
2
?bx
的零点，求
y?(x
1
?x
2
)
?
?
(
x
1
?x
2
)
的最小值．
2
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）
在
?ABC
中，
AB?AC
，过点
A
的直线与其外接圆交于点
P
，交
BC
延长线于点< br>D
．
（1）求证：
PCPD
；
?
ACBD
（2）若
AC?3
，求
APgAD
的值．

?
3
x??2?t
?
?
2
，曲线
C
的极坐标方程为2 3.已知曲线
C
1
的参数方程为
?
2
1
?
y?t
?
?2
?
?
?22cos(
?
?)
．以极点为坐标原点，极轴为
x
轴正半轴建立平面直角坐标系．
4
（1）求曲线
C
2
的直角坐标方程；
（2）求曲线C
2
上的动点
M
到曲线
C
1
的距离的最大值．
24.（本小题满分10分）
已知定义在
R
上的函数
f(x)?x ?m?x,m?N
，存在实数
x
使
f(x)?2
成立．
（1）求实数
m
的值；
（2）若
?
,
?
?1
，
f(
?
)?f(
?
)?2
，求证：




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*
4
?
?
1
?
?
9
．
2

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参考答案
一、选择题
题号 1
答案 B
2
D
3
A
4
C
5
C
6
B
7
A
8
B
9
B
10
B
11
B
12
B
6．B 【解析 】延长
F
1
M
交
PF
2
或其延长线于点
G
，
uuuuvuuuvuuuuvuuuv
∵
FM
g
MP ?0
，∴
F
1
M?MP?0

1
又
MP< br>为
?F
1
PF
2
的平分线，∴
PF
1
G
的中点，∵
O
为
F
1
F
2
的中点，
1
?PG
且
M
为
F
∴
OMF
2< br>G
，且
OM?
1
F
2
G
．
2
1
2a?2PF
2
?4?PF
2
．
2
uuuuv
∴
4?22?PF
2
?4
或
4?PF< br>2
?4?22
，∴
OM?(0,22)
．
∵
F2
G?PF
2
?PG?PF
2
?PF
1
，∴
OM?
1323
8．B 【解析】共有
C
2
A
3
?C
3
A
3
?30
种方案．
10．B 【解析 】如下图，由
ab?1,c?d?10
，得
abcd?cd?c(10?c)?(16 ,24)
．

11．B 【解析】
uuuvuuuvuuuvuuuvuu uvuuuvuuuvuuuv
1
uuuvuuuvuuuvuuuv
1
uu uv
2
uuuv
2
GO
g
BC?(AO?AG)
g
BC?AO(AC?AB)?(AC?AB)(AC?AB)?(AC?AB)?5
36
，
uuuv
2
uuuv
2
2222
而
AC?A B?30
，∴
b?c?30,c?b??30
．
a
2
?c
2
?b
2
25?30
cosB???0
，故
B为钝角．
2ac2ac
12．B 【解析】由递推关系
n?1n
?g(1)?g(2)?g(3)?
L
?g(2
n
?1)?
?g(1)?g(2)?
L
?g(2?1)?1?3?5?
L
?(2?1)
??
，
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设
G(2?1)?g(1)?g(2)?L?g(2?1)
，
则
G(2?1)?G(2
二、填空题
13．0.9 14．3 15．
nn?1
nn
?1)?2
n?1
再由累加法得到．
3

2
16．
?
??,e?
?
?
1
?

?
2
?
【解析】设
h(x)?f(x)?
1
2x
，则
h(?x)??h(x)

2
又
x?0
时，
h
?
(x)?f
?
(x)?x?0
，
∴h(x)
在
(??,??)
单调递减，由
f(x)?
∴
x?1?x
，∴
x?
1
?f(1?x)?x
得
h(x)?h (1?x)
，
2
1
．
2

∴
a?
?
??,e?
三、解答题
17．【解析】（1）由
a?b
得
agb?0
，所以
2cos
2
x?23s inxcosx?y?0
，
即
y?2cosx?23sinxcosx?cos2x ?3sin2x?1?2sin(2x?
由
?
2
?
?
1?
?
．
2
?
?
6
)?1
，
?
2
?2k
?
?2x?
?
6
?
?
2
?2k
?
,k?Z
，得
?
?
3
?k< br>?
?x?
?
6
?k
?
,k?Z
，
即增区间为
?
?
分
?
?
?
?
? k
?
,?k
?
?
,k?Z
． ．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6
6
?
3
?
（2）因为
f()?3
，所以
2sin(A?
所以
A?A
2
?
)?1?3,sin(A?)?1
，
66
?< br>?
6
?2k
?
?
2
?
2
,k?Z< br>，因为
0?A?
?
，所以
A?
2222
?
3
．
由余弦定理，得
a?b?c?2bccosA
，即
4?b?c? bc
，
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所以
4?(b?c)?3bc
，因为
b?c?4
，所以
bc?4
．所以
2
1
．．．．．．12分
S
?ABC
?bcsinA?3
． ．
2
18．【解析】
uuuvuuuvuuuv
（1）以
G
点为原点，
GB
、< br>GC
、
GP
分别为
x
轴、
y
轴、
z
轴建立空间直角坐标系，则
B(2,0,0)
，
C(0,2,0),P(0 ,0,4)
，故
uuuvuuuv
E(1,1,0),GE?(1,1,0),PC? (0,2,4)
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
∵
uuuvuuuv
uuuvuuuv
GE
g
PC210
c osGE,PC?
uuu
?
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．
vuuuv
?
10
2
g
20
GE?PC
．4分
∴
GE
与
PC
所成角的余弦值为
10
． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
10（2）解：设
F(0,y,z)
，则
DF?(0,y,z)?(?,,0)?(, y?
uuuv
33
22
3
2
3
,z)
，
2
uuuvuuuvuuuvuuuv
GC?0
，
∵
DF ?GC
，∴
DF
g
333
．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．8分
,z)g(0,2,0)?2y?3?0
，∴
y?
，< br>222
uuuvuuuv
3
又
PF?
?
PC
，即
(0,,z?4)?
?
(0,2,?4)
，
2
3∴
z?1
，故
F(0,,1)
，．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10
2
即
(,y?
分
35
uuuvuuuv
PF
31
?
2
?3
．
PF?(0,,?3),FC?(0,,?1)
，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．12分
FC
22
5
2
19．【解析】（1）当S
6
?20
时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个．若回答正确第1
个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第一个问题回答正确，第2
个问题回答 错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个．记回答每个
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问题正确的概率为
p
，则
p?
2
．同时 回答每个问题错误的概率为
3
1
． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
3
2
22
2
1
2
2122
2
116
22
故所 求概率为：
P?()?C
4
?()?()????C
3
?()??< br>．．．．．．．．．．6分
3333333381
（2）由
X?S
5
可知
X
的取值为10，30，50．
可有
P(X?30)?C5
()()?C
5
()()?
1
1
30
12
1
1
4
，
33381
11
5
2< br>50
1
5
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．9分
P(X?30)?C
5
()?C
5
()?
． ．
3381
44
2
3
故
X
的分布列为：
X

10
P

30 50
40
30
11

81
81
81
185 0
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．12分
E(X)?
81
20．【解析】（1）依题意，直 线
l
的斜率存在，设
l:y?kx?b,A(x
1
,y
1< br>),B(x
2
,y
2
)
，
由
?
?
y?kx?b
2
得
x?8kx?8b?1?0
则
x
1
x
2
??8b?1
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．2分
2
x?8y?1
?
x
2
?1
xxx
又由
y?
得
y
?
?k
MA
k
MB
?
1
g
2
??1x
1
x
2
??16
，
8
444
∴
?8b?1??16
，∴
17
．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ４分
8
1717
∴
l
的方程为
y?kx?
，恒过 定点
(0,)
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．5分
88
xx
1
（2）设
M(u,v)
，直线
MA:y?y
1
?
1
(x?x
1
)
，即
1
x?y?y
1
??0

444
xx
11
又
MA
经过
M(u,v)
，∴
1
u?v?y
1??0
，即∴
1
u?y
1
?v??0
，
44 44
x
1
同理，∴
2
u?y
2
?v??0

44
x1
由此可得切线
AB
的方程为∴
u?y?v??0< br>．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
44
b?
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u11
0???v?
444
?1
，化简得由直线
AB
与圆相切得
u
()
2
?1
4
u
2
v??1
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
1 6
2
x
2
?1
，为焦点在
y
轴上的双曲线． 从而 动点
M
的轨迹方程为
y?
16
2
x
2
y? 1y?1y
2
?1
16
1
取
T
1
(0,? 1),T
2
(0,1)
，则
k
MT
1
k
M T
2
?g?
2
?
2
?
为定值
xxxx1 6
1
故存在两个定点
T
1
(0,?1),T
2
(0 ,1)
满足
k
MT
1
k
MT
2
?
恒为定
16
值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分
21．【解析】（1）
f
?
(x)?
a
?x
2
?2x?a

ax?1
?a
2
x
a
2?x
2
?2x?0
对
x?
?
4,??
?
恒成由题意
f
?
(x)??x?2x?a?0
，即
f
?< br>(x)?
ax?1
ax?1
立，整理得
?a
2
?x ?2?0
，即
ax
2
?(1?2a)x?a
2
?2?0，在
?
4,??
?
恒成立
ax?1
设
h(x )?ax?(1?2a)x?a?2
显然
a?0
其对称轴为
x?1?
22
1
?1

2a
2
∴
h(x)
在
(4,??)
单调递增，∴只要
h(4)?16a?4(1?2a)?a?2?0
，
∴
0?a?4?32
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6
分
22(x< br>2
?ax?1)
（2）
g(x)?2lnx?2ax?x,g
?
(x)??2a?2x?

xx
2
?
32
a?
?
2
?
x
1
(x
1
?x
2
)
2
9
?
2
2
由题意
?
??a?4?0
， ∴
a??
解得
0?
1
?
，
x
2
2
x
1
x
2
2
?
x?x?a
?
1 2
?
?
x
1
x
2
?1
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2
?
?
(x)??2cx?b,
?
(x
1
)?lnx
1
?cx
1
2
?bx
1,
?
(x
2
)?lnx
2
?cx
2
? bx
2
，
1
x
两式相减得
ln
x
1?c(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
) ?b(x
1
?x
2
)?0
，
x
2
∴(x
1
?x
2
)
?
?
(
x
1
?x
2
2(t?1)1
)??lnt(0?t?)
记为
?< br>(t)
，
2t?12
(t?1)?(t?1)1?(t?1)
2?
?
(t)?2???0
．
22
(t?1)tt(t?1)< br>∴
?
(t)
在
?
0,
?
递减，
?< br>(t)
min
?
?
()?ln2?
．
2
2 3
?
?
1
?
?
12
x
1
?x2
2
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
)
的最小值为
ln2?
．
23
PCPD
22．【解析】（1） ∵
?CPD??ABC,?D??D
，∴
?DPC:?DBA
，∴，
?
ABBD
PCPD
又∵
AB?AC
，∴．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
?
ACBD
∴
( x
1
?x
2
)
?
?
(
（2）∵
? ACD??APC,?CAP??CAP
，∴
?APC:?ACD
，
∴
APAC
，
?
ACAD
2
∴
AC?A PgAD?9
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分
23．【解析】（1）
?
?22cos(
?
?
2< br>?
4
．．．．．．．．．．．．．．．．2分
)?2(cos
??sin
?
)
，
22
即
?
?2(
?< br>cos
?
?
?
sin
?
)
，可得
x ?y?2x?2y?0
，
故
C
2
的直角坐标方程为
(x?1)?(y?1)?2
……………………5分
（2）
C
1
的直角坐标方程为
x?3y?2 ?0
，由（1）知曲线
C
2
是以
(1,1)
为圆心的圆，
且圆心到直线
C
1
的距离
d?
22
1?3?21
2
?(3)
2
?
3?3
，．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．8分
2
所以动点
M
到曲线
C
1
的距离的最大值为
3?3?22
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 0分
2
24．【解析】（1）因为
x?m?x?(x?m)?x?m
， < br>要使不等式
x?m?x?2
有解，则
m?2
，解得
?2?m? 2
．
因为
m?N
，所以
m?1
．
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（2）因为
?
,
?
?1
，所以
f(
?
)?f(
?
)?2
?
?1?2
?
? 1
，即
?
?
?
?2
．
所以
4
?
?
14114
??
14
??
9
?(?)?(5?? )?(5?2g)?
．
?
2
??
2
??
2
??
2
1
4
?
?
（当且仅当




?
?
42
时，即
?
?,
?
?
等号成立）
?
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