高中数学必修3的综合试卷-高中数学必修1专题笔记
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江苏省如皋中学2019-2020学年度高一年级第二学期数学期初考试
0407
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，
只有一项
是符合题目要求的.
1.
已知△ABC中，a＝4，b＝4
3
，∠A＝30°，则∠B等于( )
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
2.
若
a?b?0,
下列不等式成立的是
（ ）
A.
a?b
B.
a?ab
C.
3. 等差数列
{a
n
}
中，若
a
3
?a
4
?a
5
?a
6
?a
7
?450
,则前9项和
S
9
= ( )
A.1620 B.810 C.900
D.675
11
－，－
?
，则不等式x
2
－bx－a＜0的解集是
4. 已知不等式ax
2
－bx－1≥0的解集是
?
3
??
2
A.
(??,?3)?(?2,??)
B.
(?3,?2)
( )
C.
(??,2)?(3,??)
D.
(2,3)
5.已知
?ABC
的三内角
A,B
,C
的对边为
a,b,c
，若
222
b11
?1
D.
?
aab
ca
??1
，则
B
的大小为
a?bb?c
A.
30
o
B.
60
o
C.
120
o
D.
150
o
（ ）
6. 若
x?0,y?0
且
19
??1
，则
x?y
的最小值为（
）
xy
A.6 B.12 C. 16
D.24
7.
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：
“
远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯
三百八十一，请问尖头几盏灯？
”
意思是：
一座
7
层塔共挂了
381
盏灯，且相邻两层中的下一
层灯数是上一层
灯数的
2
倍，则塔的顶层共有灯：（
）
A．3盏
B．6盏 C． 9盏 D． 281盏
8. 已知命题：“在等差数列
?
a
n
?
中，若
4a
2
?a
10
?
a
??
?24
，则
S
11
为定值”为真命题，由于印
刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为（ ）
A. 17 B. 18
C. 19 D. 20
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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四
个选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.已知
{a
n
}
是等差数列，其前
n
项和为
S<
br>n
，满足
a
1
?3a
2
?S
6
，则
下列四个选项中正确的有
（ ）
A.
a
7
?0
B．
S
13
?0
C．
S
7
最小D．
S
5
?S
8
10. 下列选项中，值为
oo
1
的是（ ）
4
A.
2cos72cos36
B.
sin
?
12
sin
5
?
12
C.
13
12
?
D.
?cos
2
15
o
oo
sin50cos50
33
11.
下列函数中，最小值为4的函数是（ ）
A．
y?e
x
?4e
?x
B．
y?sinx?
C．
y?
12.
在三角形ABC中，下列命题正确的有（ ）
A.
若
A?30
0
,b?4,a?5
，则三角形ABC有两解
B.
若
0?tanA?tanB?1
，则△ABC一定是钝角三角形
C.若
co
s(A?b)cos(B?c)cos(C?A)?1
，则△ABC一定是等边三角形
D.
若
a?b?c?cosB?c?cosA
,则ΔABC的形状是等腰或直角三角形
三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分.
9
13.
若实数x满足x＞－4，则函数f(x)＝x＋的最小值为________．
x＋4
14. 如图所示,
ABCD
为圆内接四边形,若∠
DBC?45
,
∠
ABD?30,CD?6
,则线段
AD?
.
15. 设等比数列
?
a
n
?
前
n
项和为
S
n
，若
S
3
?S
6
?
2S
9
.则数列的公比
q
= .
16. 若
?ABC
的内角满足
sinA?2sinB?2sinC
，则
cosC
的最小值是 ．
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- 2 -
0
4
(0?x?
?
)
sinx
x
2
?9
x?5
2
D．
y?log
3
x?log
x
81(x?1)
0
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四、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤
17.
（本小题共10分） 已知
a
、
b
、
c
分别是
?A
BC
的三个内角
A
、
B
、
C
所对的边，
(1) 若
?ABC
面积
S
?ABC
?
3
,c?2,A?60?,
求
a
、
b
的值；
2
(2
)若
a?ccosB
，且
b?csinA
，试判断
?ABC
的形状．
18. （本小题共12分）已知等差数列{a
n
}的前n项和S
n
满足S
3
＝6，S
5
＝15.
(1)求{a
n
}的通项公式；
(2)设
b
n
?
19.
（本小题共12分）解关于
x
的不等式：
ax?x?2?0
20.
（本小题共12分）根据下列条件，求数列{a
n
}的通项公式．
n－1
1
(1)a
1
＝1，a
n
＋
1
＝a
n
＋2
n
；(2)a
1
＝，a
n
＝a
－
(
n≥2)．
2
n＋1
n1
899
(3)
a
1
＝，a
n
＋
1
＝10a
n
＋1.
9
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- 3 -
2
a
n
，求数列{
b
n
}的前n项和T
n
.
2
a
n
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21. （本小题共12分） 某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生
人数为b人，
以后学生人数年增长率为4.9‰．该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设
备
占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰x
套旧设备．
(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的
旧设备
是多少套？
(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？
下列数据提供计算时参考：
1.1
9
＝2.36
1.1
10
＝2.60
1.1
11
＝2.85
11
*
22. （本小题共1
2分）已知S
n
为正项数列{a
n
}的前n项和，且满足S
n
＝a
2
n
＋a
n
(n∈N)．
22
(1)
求数列{a
n
}的通项公式
(2) 数列{b
n
}满足
b
n
?a
n
?1
，T
n
为数列
{
成
立，求
m
范围.
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- 4 -
1.004
9
9
＝1.04
1.004 9
10
＝1.05
1.004 9
11
＝1.06
1
}
的前n项和，若m?T
n
对任意
n?N
?
恒
b
n
b<
br>n?2
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数学期初考试答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5
分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.
D
2. C 3. B 4. D 5. B 6. C
7. A 8. B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个
选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. A BD 10. AB 11. AD 12. BCD
三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分.
13. 2 14.
32
15.
3
?
1
16.
2
6?2
4
四、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤
17.
解：（1）
?S
?ABC
?
1
bcsin
A?
3
，
?
1
b?2sin60??
3
，得
b?1
，
22
22
由余弦定理得：
a?b?c?2bccos
A?1?2?2?1?2?cos60??3
，
所以
a?
22222
3
……5分
a
2
?c
2
?b
2
,?a
2
?b
2
?
c
2
，
（2）由余弦定理得：
a?c?
2ac
所以
?C?90?
；在Rt?ABC
中，
sinA?
所以
?ABC
是等腰直角三角形.
…10分
18.
解：(1)设等差数列{a
n
}的公差为d，首项为a
1
，
aa
，所以
b?c??a
，
cc
?
因
为S
＝6，S＝15，所以
?
1
5a＋
?
2
×5×
?5－1?d＝15，
35
1
1
3a
1
＋×3×?3－1?
d＝6，
2
??
?
a
1
＋d＝2，
?<
br>a
1
＝1，
即
?
解得
?
?
a
1
＋2d＝3，
?
??
d＝1.
所以{a
n
}的通项公式为a
n
＝a
1
＋(n－1
)d＝1＋(n－1)×1＝n.……6分
a
n
n
(2)由(1)得bn
＝
＝
n
，
2a
n
2
n－1
n123
所以T
n
＝
＋
2
＋
3
＋…＋<
br>n
1
＋
n
， ①
222
2
－
2
n－1
1123n
所以
T
n
＝
2
＋
3
＋
4
＋…＋
n
＋
n
1
， ②
22222
2
＋
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1
1
?
1－
n
?
2
?
2
?
11111nn1n
①－②得
T
n
＝
＋
2
＋
3
＋…＋
n
－
n
1
＝－<
br>n
1
＝1－
n
－
n
1
，
2222
2
2
＋
12
2
＋
2
＋
1－
22＋n
所以T
n
＝2－
2
n
.……12分
19. 解：当
a?0
时，原不等式等价于
x?2?0
，所以解为<
br>x??2
…2分
当
a?0
时，
??1?8a
当
a?0
时，令
??1?8a?0
得
0?a?
所以当<
br>0?a?
1
8
?1?1?8a?1?1?8a
1
时
，
??0
，不等式所对应方程的根为
x
1
?
或
x<
br>2
?
2a
2a
8
此时不等式的解为
x1
?x?x
2
； …5分
当
a?
当
a?1
1
时，
??0
，不等式的解为
x??
；…7分 8
2a
1
时，
??0
，不等式的解集为
?
……
9分
8
12
x??0
，不等式所对应方程的根
aa
当
a?0
时，
??1?8a?0
，原不等式等价于<
br>x
2
?
x
1
?
?1?1?8a?1?1?8a
或
x
2
?
（且
x
1
?x
2
）
2a
2a
所以不等式的解为
x?x
2
或x?x
1<
br>……11分
综上可知：当
a?0
时，解集为
{xx??2}
；
当0?a?
?1?1?8a?1?1?8a
1
时，不等式的解集为
{x?x
?}
；
2a2a
8
当
a?
11
1
时，不
等式的解集为
{xx??}
；当
a?
时，不等式的解集为
?
；
88
2a
?1?1?8a?1?1?8a
或x?}
…12分
2a2a
当
a?0
时，不等式的解集为
{xx?
20.
解：(1)由题意知a
n＋1
－a
n
＝2
n
，
a
n
＝(a
n
－a
n－1
)＋(a
n－1
－
a
n－2
)＋…＋(a
2
－a
1
)＋a
1
＝2
n
－
1
＋2
n
－
2
＋…＋2
＋1＝
1－2
n
＝2
n
－1. ……4分
1－2
n－1
(2)因为a
n
＝a
n－1
(n≥2)，
n＋1
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a
n
n－1
所以当n≥2时，＝，
a
n－1
n＋1
n－1a
n－1
n－2
a
n
a
3
2a
2
1
所以＝，＝，…，＝，＝，
na
2
4a
1
3
a
n－1
n＋1a
n－2
a
n<
br>a
n－1
a
3
a
2
n－1n－2
21
以上n－1个式子相乘得
··…··
＝
··…··
，
a
2
a
1
n＋1
n43
a
n－1
a
n－2<
br>a
n
111
即＝
××2×1，所以a
n
＝.
a
1
n＋1
n
n?n＋1?
当n＝1时，a
1
＝
111
＝，也与已知a
1
＝
相符，
2
1×22
1
所以数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝.……8分
n?n＋1?
1
110
a
n
＋
?
，即(3)解：由a
n＋1
＝10a
n
＋1，得a
n＋1
＋
＝10a
n
＋
＝10
?
9
??
99
a
n＋1
＋
1
a
n
＋
9
1
9<
br>＝10.
1
??
1
所以数列
?
a
n
＋
9
?
是等比数列，其中首项为a
1
＋
＝100，公比为
10，
9
??
11
所以a
n
＋
＝100×10<
br>n
－
1
＝10
n
＋
1
，即a
n＝10
n
＋
1
－
.……12分
99
21. 解：(1)设今年学生人数为b人，则10年后学生人数为b(1＋4.9‰)
10<
br>＝1.05b，
由题设可知，1年后的设备为a×(1＋10%)－x＝1.1a－x， 2年后的设备为(1.1a－x)×(1＋10%)－x＝1.1
2
a－1.1x－x＝1
.1
2
a－x(1＋1.1)，
…，
1×?1－1.1
10?
10年后的设备为a×1.1
10
－x(1＋1.1＋1.1
2
＋…＋1.1
9
)＝2.6a－x×
＝2.6a－16x，
1－1.1<
br>2.6a－16x
aaa
由题设得
1.05b
＝2·，解得x＝
.∴每年应更换的旧设备为
b3232
套．……8分
1a
(2)全部更换旧设备共需
2
a÷
32
＝16年．
……11分
a
答：（1）每年应更换的旧设备为
32
套
（2）按此速度全部更换旧设备共需16年．……12分
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11
22.
解：(1)S
n
＝a
2
n
＋a
n
，①
2
2
11
当n≥2时，S
n－1
＝a
2
n－1
＋a<
br>n－1
，②
22
①－②得(a
n
－a
n－1
－1)(a
n
＋a
n－1
)＝0.
由于a
n
＋a
n－1
≠0，
所以a
n
－a
n－1
＝1，…4分
11
又当n?1
时，a
1
＝a
2
1
＋a
1
，所
以 a
1
＝1，
22
故数列{a
n
}是首项为1，公差为
1的等差数列，故a
n
＝n. ……6分
(2)由(1)知b
n
＝n＋1，
即
11111
??(?
)
.
b
n
bn?2
(n?1)(n?3)2n?1n?3
所以
T
n
?
11
(?????????????
)
2243546n?1n?1nn
?2n?1n?3
?
15115
(??)?
……
26n?2n?312
5
……12分
12
因为
m?Tn
对任意
n?N
?
恒成立，所以
m?
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