2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学模拟试卷A Word版含答案

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2020年1月浙江省普通高中学业水平考试
数学仿真模拟试题
A
·

解析版

选择题部分
一、选择题（本大题共18小 题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求
的，不选、多选、错选均 不得分）
1
．已知集合
M?{x|1?x?3}
，
N?{1,2}
，则
MIN?

A
．
{1}

1
．【答案】
B
【解析】由交集定义可得：
MIN?
?< br>1,2
?
，故选
B
．

2
．不等式
(x?1)(x?2)?0
的解集为

A
．
{x|?1?x?2}

C
．
{x|x??
2
．【答案】
A
【解析】由二 次函数
y?
?
x?1
??
x?2
?
的图象可知，不 等式
(x?1)(x?2)?0
的解是
－1?x?2
，故选
A
．

3
．若
sin
?
?
A
．
B
．
{x|?1?x?2}

D
．
{x|x?2或x??1
?

B
．
{1,2}
C
．
0 D
．
[1,2]

1
或
x??1}

2
1
，则
cos2
?
?

3
B
．
8

9
7

9
C
．
?
7

9
D
．
?

8
9
3
．【答案】
B
2
【解析】
cos 2
?
?1?2sin
?
?1?
27
?
，故选
B
．

99
4
．圆
x
2
?y
2
?4x?2y?1?0
的圆心在

A
．第一象限

4
．【答案】
A
【解析】化简
x
2
?y
2
?4x?2y?1?0
得到
(x?2)
2
?(y?1)
2
?4
，圆心为
(2,1)
，在第一象限，故选
A
．

5
．双曲线方程为
x
2
?2y
2
=1
，则 它的左焦点的坐标为

A
．
(?
B
．第二象限
C
．第三象限
D
．第四象限

2
，
0)
2
B
．
(?
5
，
0)
2
C
．
(?
6
，
0)
2
D
．
(?
3
，
0)
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5
．【答案】
C
x
2
y
2< br>113
x－2y＝1?－＝1
6
2222
2
b?c?a?b? +1=，
【解析】由，可得，，由得
c?
，
1
a?1
1222
2
2
22
所以左焦点坐标为
(?
6
，< br>0).
故选
C
．

2
6
．已知向量
a,b
满足
|a|?1
，
|b|?2
，
|a?b|?6，则
a?b?

A
．
1

2
B
．
1
C
．
3
D
．
2
6
．【答案】
A
【解析】由
|a?b| ?6
，
(a?b)
2
?6
，即
a
2
?2a ?b?b
2
?6
，又
|a|?1
，
|b|?2
，则
a?b?
题答案为
A
．

1
.
所以本2
?
y
?
x
?
7
．若变量
x
，
y
满足约束条件
?
x?y
?
1
，则
z= 2x
＋
y
的最大值是

?
y
…
?1
?
A
．
2
7
．【答案】
B
【解析】如图，先根据约束条件画出可行域，

B
．
3 C
．
4 D
．
5

当 直线
z=2x+y
过点
A
（
2
，﹣
1
）时 ，
z
最大，最大值是
3
，故选
B
．

8< br>．若平面
?
和直线
a
，
b
满足
aI
?
?A
，
b?
?
，则
a
与
b
的位 置关系一定是

A
．相交

8
．【答案】
D 【解析】当
A?b
时，
a
与
b
相交；当
A?b
时，
a
与
b
异面
.
故答案为
D.
9
．过点
(0,2)
且与直线
x?y?0
垂直的直线方程为

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B
．平行
C
．异面
D
．相交或异面

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A
．
x?y?2?0

C
．
x?y?2?0

9
．【答案】
A
B
．
x?y?2?0

D
．
x?y?2?0

【解析】由
x?y?0
可得 直线斜率
k
1
?1
，根据两直线垂直的关系得
k
1
?k
2
??1
，求得
k
2
??1
，再利
用 点斜式，可求得直线方程为
y??1(x?0)?2
，化简得
x?y?2?0
，故选
A.
10
．函数
f(x)?log
3
(|x|?1 )
的大致图象是

2
A
．
B
．
C
．
D
．

10
．【答案】
B
【解析 】由函数
f(x)?log
3
(|x|?1)
，可知函数
f
?
x
?
是偶函数，排除
C
，
D
；

2
定义域满足：
x?1?0
，可得
x??1
或
x?1．当
x?1
时，
f(x)?log
3
(|x|?1)
是 递增函数，排除
A.
2
故选
B
．

11
． 设
a，b
都是不等于
1
的正数，则
“
3
a
?3
b
?3
”
是
“
log
a
3
?
log
b
3
”
的

A
．充要条件

C
．必要不充分条件

11
．【答案】
B
【解析 】若
3
a
?3
b
?3
，则
a?b?1
，从 而有
log
a
3?log
b
3
，故为充分条件
.
若
log
a
3?log
b
3
不一定有
a? b?1
，比如
a?，b?3
，从而
3
a
?3
b?3
不成立
.
故选
B
．

12
．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

B
．充分不必要条件

D
．既不充分也不必要条件

1
3

A
．
12π

12
．【答案】
C
B
．
64π

3
C
．
32π

3
D
．
16π

【解析】该几何体为半个圆柱与半个圆锥形成的组合体，

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故
V?
141148π32π
π
?
()
2
?
4
??
π
?
()
2
?
4
?
8π
??
，故选
C
．

22232 33
13
．等差数列
{a
n
}
中，已知
|a
6
|?|a
11
|
，且公差
d?0
，则其前
n< br>项和取最小值时的
n
的值为

A
．
6
13
．【答案】
C
【解析】因为等差数列
?
a
n
?
中，
|a
6
|?|a
11
|
，所以a
6
?0,a
11
?0,a
6
??a
11,a
1
??
B
．
7 C
．
8 D
．
9
15
d
，有
2
S
n
?< br>d
[(n?8)
2
?64]
，所以当
n?8
时前n
项和取最小值
.
故选
C
．

2
π< br>6
π
个单位，得到函数
y?g(x)
的图象，那么下列说法正确
3
14
．将函数
f(x)?cos(2x?)
的图象向左平移
的是

A
．函数
g(x)
的最小正周期为
2π

B
．函数
g(x)
是奇函数

C
．函数
g (x)
的图象关于点
(
π
,0)
对称

12
π
对称

3
D
．函数
g(x)
的图象关于直线
x?
14
．【答案】
B
【解析】将函数
f(x)?cos(2x?)
的图象向左平移
π
6
π
个单位，得到函 数
y?g(x)

3
?cos(2x?
确；

2π π2π
?)??sin2x
的图象，故
g(x)
为奇函数，且最小正周期为< br>?
π
，故
A
错误，
B
正
362
k< br>π
k
π
，
k?Z
，则函数
g(x)
的图象关 于点
(,0)
，
k?Z
对称，故
C
错
22
令
2x?kπ
，
k?Z
，得
x?
误；

令
2x?kπ?
π
k
ππ
k
ππ
?
，
k?Z
，则函数
g(x)
的图象关于直线
x??
，
k?Z
对，
k?Z
，得
x?
22424
称，故
D
错误
.
故选
B
．

15
．在三棱锥
P? ABC
中，
PB?BC,PA?AC?3,PC?2
，若过
AB
的平 面
?
将三棱锥
P?ABC
分为
体积相等的两部分，则棱
PA
与平面
?
所成角的余弦值为

A
．
1

3
B
．
2

3
C
．
2

3
D
．
22

3
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15
．【答案】
D
【解析】如图所示，取
PC
中点为
D
，连接
AD,BD
，因为过
AB
的平面< br>?
将三棱锥
P?ABC
分为
体积相等的两部分，所以
?
即为平面
ABD
.

又因为
PA?AC
，所以
PC?AD
，又
PB?BC
，所以
PC?BD
，且
ADIB D?D
，所以
PC?
平面
ABD
，所以
PA
与平面
?
所成角即为
?PAD
，因为
PC?2
，所以
PD ?1
，所以
2
PD1
1
?
22
?
sin? PAD??
，所以
cos?PAD?1?
??
?
，故选
D< br>．

PA3
3
?
3
?
x
2
y
2
16
．已知直线
x?3y?1?0
与椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
交于
A,B
两点，且线段
AB
的中点为
M
，
ab
若直线
OM
（
O
为坐标原点）的倾斜角为
150?
，则椭圆
C
的离心率为

A
．
1

3
B
．
2

3
C
．
3

3
D
．
6

3
16
．【答案】
D
【解析】设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),M(x
0
,y
0
)
，

22
x
1
2
y< br>1
2
x
2
y
2
x
2
y
2< br>∵点
A,B
在椭圆
2
?
2
?1
上，∴
2
?
2
?1,
2
?
2
?1
，

ababab
y
0
y
1
?y
2
y
1
?y
2
y
1
?y
2
b
2
b2
b
2
???
2
，∴
???
2
，即< br>k
OM
?k
AB
??
2
，

两式相 减整理得
x
1
?x
2
x
1
?x
2
ax
0
x
1
?x
2
a
a
b
21
3331b
2
∴
tan150?????????
2
，∴
2
?
，

a3
3333a
c
2
b
2
6
∴椭圆
C
的离心率为
e?
．故选
D
．

?1?()?
2
aa3
1
?
2a, 0?a?
n
?
6
?
n
2
17
．已知数列< br>{a
n
}
满足
a
n?1
?
?
，若< br>a
1
?
，则
a
2020
?

7?
2a?1,
1
?a?1
nn
?
?2
A
．
1

7
B
．
3

7
C
．
5

7
D
．
6

7
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17
．【答案】
D < br>1
?
2a,0?a?
n
?
6
?
n
2
【解析】数列
?
a
n
?
满足
a
n?1?
?
，
a
1
?
，

7
?2a?1,
1
?a?1
nn
?
?2
65336
?a
2
?2a
1
?1?2??1?,a
3
?2a
2
?1?,a
4
?2??,L

77777
?a
n? 3
?a
n
，
?a
2020
?a
673?3?1?a
1
?
6
．故选
D
．

7
18
．如图，在
Rt△ABC
中，
AB?BC?6
，动点
D
，
E
，
F
分别在边
BC
，
AC
，
AB
上，四边形
BDEF
为矩形，剪去矩形
BDEF
后，将 剩余部分绕
AF
所在直线旋转一周，得到一个几何体，则当
该几何体的表面积最大时，
BD?


A
．
2
18
．【答案】
B
B
．
3 C
．
4 D
．
32

【解析】设
BD?x
，
BF?y
，其中
x,y?(0,6)
，由题易得
所以
x?y?6
，则所求几 何体的表面积为：
S?
x6?y
?
，

66
1
?2π?6?62?π?6
2
?2πxy

2
?362π?36π?2πxy?362π?36π?2π?(
x?y
2
) ?362π?54π
，当且仅当
x?y?3
，即
2
BD?3
时等号成立
.
故选
B.
非选择题部分
二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）
19
．已知直线
l< br>1
:x?y?1?0
与
l
2
:x?ay?3?0
平行 ，则
a?
________
，
l
1
与
l
2
之间的距离为
________.
19
．【答案】
?1
；
2

【解析】由两直线平行 ，得
a?－1
，在直线
l
1
:x?y?1?0
上任取一点（
0
，
1
），到直线
l
2
:x?y?3?0
的距离为
d=
0?1?3
2
?2
.
故答案为
?1< br>；
2
.
20
．函数
f(x)?2
x
?1? (x?2)
0
的定义域为
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20
．【答案】
?
0,2
?
U
?
2,??
?

?
2
x
?1?0
?
x?0
【解析】因为
?
，所以
?
，则定义域为
?
0,2
?
U
?
2,??
?
，故答案为
?
0 ,2
?
U
?
2,??
?
.
?
x?2?
x?2?0
21
．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的
“田域类
”
中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三
里，中斜一十四里，大斜一 十五里，
…
，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为
13
，< br>14
，
15
里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为
_______ _
平方里．

21
．【答案】
84
【解析】由题意画出图象：


且
AB=13
里，
BC=14
里，
AC=15
里，

AB
2
?BC< br>2
?AC
2
13
2
?14
2
?15
2
5
==
，

在
△
ABC
中，由余弦定理 得，
cosB=
13
2AB?BC2?13?14
所以
sinB=< br>1?cos
2
B
=
12
，

13
1 112
AB?BC?sinB=
?13?14?
=84
．故答案为
8 4
．

2213
2
3]
，总存在
x
2?[2，3]
，使得．若对任意
x
1
?[0，
x?1
则 该沙田的面积即
△
ABC
的面积
S=
22
．已知函数
f(x)?x
2
?2x?3a,g(x)?
|f(x
1
)|?g( x
2
)
成立，则实数
a
的值为
________.
22
．【答案】
?

【解析】不等式
|f(x
1< br>)|?g(x
2
)
可化为：
?g
?
x
2?
?f
?
x
1
?
?g
?
x
2
?
，

1
3
?
[?g(x)]
min?f(x)
min
3]
，总存在
x
2
?[2，3]，使得
|f(x
1
)|?g(x
2
)
成立，则
?
若对任意
x
1
?[0，
，

f(x)?g(x)
maxmax
?
3
?
时，
g
?
x
?
?
当
x?
?
2，
22
?2
；

的最大值为
g
?
2
?
?
x?12?1
3< br>?
时，
f
?
x
?
?x
2
?2x?3 a
的最大值为
f
?
3
?
?3
2
?2?3? 3a?3?3a
，最小值为当
x?
?
0，
f
?
1< br>?
?1
2
?2?1?3a??1?3a
，

?
[?g(x)]
min
?f(x)
min
?
?2?3a?1
11
所以
?
可化为
?
，解得
??a??
. 33
?
3?3a?2
?
f(x)
max
?g(x)max
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故
a??
.
三、解答题（本大题共3小题，共31分）
23．（本小题满分10分）
在
△ABC
中，角
A,B,C
所对的边分别是
a,b,c
，若
B?
（
Ⅰ
）求
cosA
的值；

（
Ⅱ
）若
a?5
，求
b
.
23．（本小题满分10分）
1
3
π
3
?bc
，

，且
(a?b?c)(a?b?c)
37
?bc
，可得
a
2
?(b?c)
2
＝a
2
?b
2
?c2
?2bc?
【解析】（
Ⅰ
）由
(a?b?c)(a?b?c)
3
7
3
bc
，即
7
a
2
?b2
?c
2
?
1111
bc
，即
b
2< br>?c
2
?a
2
?bc
，（
3
分）

77
b
2
?c
2
?a
2
11
由余 弦定理可得
cosA??
.
（
5
分）

2bc14
（
Ⅱ
）由（
Ⅰ
）及三角函数的基本关系式，可得
sinA? 1?cos
2
A
?
5
3
，（
7
分）

14
3
ba
asinB
2
?7
.
（< br>10
分）

?
在
△ABC
中，由正弦定理可得，所以
b??
5
sinBsinA
sinA
3
14
5?< br>24．（本小题满分10分）
已知抛物线
E:y
2
?2px(p?0 )
，过其焦点
F
的直线与抛物线相交于
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
两点，满足
y
1
y
2
??4
.
（
Ⅰ
）求抛物线
E
的方程；

（
Ⅱ
）已知点
C
的坐标为
(?2,0)
，记直线
CA
、
CB
的斜率分别为
k
1
，
k
2
，求
24 ．（本小题满分10分）
【解析】（
Ⅰ
）因为直线
AB
过焦点F(
11
?
2
的最小值
.
k
1
2< br>k
2
pp
,0)
，设直线
AB
的方程为
x? my?
，

22
p
?
?
x?my?
将直线
AB
的方程与抛物线
E
的方程联立
?
2
，消去x
得
y
2
?2mpy?p
2
?0
，

2
?
?
y?2px
2
所以有
y
1
y
2
??p??4
，
Qp?0
，
?p?2
，

因此，抛物线
E
的方程为
y
2
?4x
.
（
4
分）

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（< br>Ⅱ
）由（
Ⅰ
）知抛物线的焦点坐标为
F
?
1,0?
，则直线
AB
的方程为
x?my?1
，

联 立抛物线的方程得
y
2
?4my?4?0
，所以
y
1
?y
2
?4m
，
y
1
y
2
??4
，

则有
1313
?m?
，
?m?
，（
6
分）

k
1
y
1
k
2
y
2
113
2
3
2
1111
2
??(m?)?(m ?)=2m?6m(?)?9(?)
因此
222

k
1
k< br>2
y
1
y
2
y
1
y
2
y< br>1
2
y
2
?
y?y
2
?
?2y1
y
2

y?y
2
?2m
2
?6m?
1
?9?
1
2
y
1
y
2
y
1
2
y
2
2
?
4m
?
?8
?5 m
2
?
9
.
（
9
分）

4m?2m
2
?6m??9?
?4162
因此，当且仅当
m?0时，
25．（本小题满分11分）
已知定义域为
R
的函数
g( x)?x
2
?2x?1?m
在
[1,2]
上有最大值
1，设
f(x)?
（
Ⅰ
）求
m
的值；

（
Ⅱ
）若不等式
f(log
3
x)?2klog
3
x?0
在
x?[3,9]
上恒成立，求实数
k
的取值范围；

（
Ⅲ
）若函数
h(x)?|e
x
?1|?f(|e
x
?1|)?3k?|e
x
?1|?2k
有三个不同的零点，求实数
k
的取值范围
（
e
为自然对数的底数）．

25．（本小题满分11分）
【解析】（
Ⅰ
）因为
g
?< br>x
?
?
?
x?1
?
?m
在
[1,2 ]
上是增函数，

所以
g
?
x
?
max
?g
?
2
?
?
?
2?1
?
?m? 1
，解得
m?0
．（
2
分）

（
Ⅱ
）由（
Ⅰ
）可得
f
?
x
?
?x?
22
11
9
?
.
（
10
分）

有最小值
2
k
1
2
k
2
2
g(x)
.
x
2
1
?2
，

x
所以不等式f
?
log
3
x
?
?2klog
3
x ?0
在
x?[3,9]
上恒成立等价于
2k?
上恒成立
.< br>（
3
分）

令
t?
1
?
log3
x
?
2
?
2
?1
在
x?[3,9]
log
3
x
1
?
1
?
，因为
x?
?
3,9
?
，所以
t?
?
,1
?
，

log
3
x
?
2
?
?
1?
?
2
?
则有
2k?t
2
?2t?1
在
t?
?
,1
?
恒成立
.
（
4
分 ）

?
1
?
2
t?,1
?
，则
s
?
t
?
min
?s
?
1
?
?0< br>，

st?t?2t?1
令
??
，
?
?2
?
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所以
2k?0
，即k?0
，所以实数
k
的取值范围为
?
??,0
?
．（
6
分）

（
Ⅲ
）因为
h
?
x
?
?e
x
?1?
?
3k?2
?
?ex
?1?2k?1
，

x
令
q?e?1
，由题意可知
q?[0,??)
，

2
2
令
H
?
q
?
?q?
?
3k?2
?
q?2k?1
，
q?[0,??)
，（
7分）

则函数
h
?
x
?
?e
x
?1?
?
3k?2
?
?e
x
?1?2k?1
有三 个不同的零点等价于
2
H
?
q
?
?q
2
?
?
3k?2
?
q?2k?1
在
q?[0,??)
上 有两个不同的零点，（
8
分）

当
q?0
时
k??
11
，此时方程
H
?
q
?
?0?q?0,q?，此时关于
x
的方程有三个零点，符合题意；

22
当
q?0
时，记方程
H
?
q
?
?0
的两根为
q
1
，
q
2
，且
q
1
?q
2，
0?q
1
?1
，
q
2
?1
，

?
H
?
0
?
?0
?
所以
?< br>H
?
1
?
?0
，解得
k?0
.
?
??0
?
综上，实数
k
的取值范围是
(0,??)
U{?}
．（
11
分）

1
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