河南省实验中学2014-2015学年高一下学期期中考试 数学

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河南省实验中学
2014——2015
学年下期期中试卷
高一 数学
命题人：杨辉涛 审题人：李红霞
（时间：120分钟，满分：150分）
一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在 每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1.

若
sin
?
?0
,
cos
?
?0
, 则
?
所在的象限是 ( )
A ．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.已知sin
?
＝－
3
，且
?
是第三象限角，则sin 2
?
－tan
?
＝( )
3
A.
2222
B. C. D.
3468
3
4
3
4
3．
a?3,b?4
，向量
a?b
与
a?b
的位置关系为（ ）
A.垂直 B.平行 C.夹角为
?
3
D.不平行也不垂直
4．函数f(x)＝sin xcos x＋
3
cos 2x的最小正周期和振幅分别是( )
2
D．2π，2 A．π，1 B．π，2 C．2π，1
5.
sin 47?－sin 17?cos 30?
＝( )
cos 17?
11
33
B．－ C. D.
22
22
A．－
6．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( )
A．
?
2
?
B． C． D．
3
3
7．平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1 ,3),若点C满足
OC?
?
OA?
?
O
(
B< br>其中
?
,β∈R且
?
+β=1),则点C的轨迹方程为( )
A．(x-1)
2
+(y-2)
2
=5
C．2x-y=0






B．3x+2y-11=0
D．x+2y-5=0
8． 在
?ABC
中,
AD?2DC,BA?a,BD?b,BC?c,
则下列等式成立的是( )

A.
c?2b?a
B.
c?2a?b
C.
c?
3ab3ba
?
D.
c??

2222
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r
2
uuur
1
uuu
9. 点
P
是△
ABC
所在平面内的一点，且满足
AP
?
AB?
AC
，则△
PAC
的面积与△
33
ABC
的 面积之比为（ ）
uuur
1212
B． C． D．
5533
?
5
?
1 0．已知ω>0，0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像的两条相
44
A．
邻的对称轴，则φ＝( )
A.
?
4
B.
?
3
C.
?
2
D.
3
?

4
12
，
tan(
?
?
?
)??
，则
tan(
?
?2
?
)?< br> （ ）

25
319
9
A．
?
B．
?
C．
?
D．
84128
11．已知
tan
?
?
12．若函数f(x)＝2si n
?
?
??
?
x?
?
(－2l
与函
3
??
6
数的图像交 于B，C两点，则(
OB
＋
OC
)·
OA
＝( )
A．－32 B．－16 C．16 D．32

二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

?
??
?
?
?
13．
设
?
∈< br>?
0,
?
，若tan
?
?
?
?
＝2
cos2
?
，则
?
＝________。
4
??
?
4
?
14．已知向量
a
与
b
的夹角为120
15．已知
，且|
a
|=|
b
|=4，那么|
a
-3
b
|等 于__________。
sin
?
?2cos
?
??1,
试求
sin
2
?
?3sin
?
cos
?
?1
的值为___ ___。
3sin
?
?5cos
?< br>16．函数
f(x)?3sin
?
2x?
?
?
11< br>π
?
CC
x?
π
对称；②图象
C
的图象为， 则 ①图象关于直线
?
12
3
?
关于点
?
?
2π
??
π5π
?
，0
?
对称； ③函数
f(x )
在区间
?
?，
?
内是增函数；④由
y?3sin2x的图象
?
3
??
1212
?
π
个单位长度可以 得到图象
C
．以上结论中正确的序号是
3
向右平移


三、解答题（本小题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（
本小题满分10分
）

设两个非零向量
a
、
b
不共线
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(1)若
AB?a?b,BC?2a?8b,CD?3(a?b)
，求证：A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k的值，使
ka?b
和
a?kb
共线.




18、
(本小题满分12分)已知点A（4，0）、B（0， 4）、C（
3cos
?
,3sin
?
）
2sin
2
?
?sin2
?
（1）若
?
?(0,
?
)
，且
AC?BC,
，求
?
的大小；（2）
AC?BC，求的
1?tan
?
值．




19、
（本小题满分12分）

已知函数
f
(
x
)＝2sin
?
和最低点．
(1)求点
A
、
B
的坐标以及
OA
·
OB
的值；
(2)设点
A
、
B
分别在角
?
、β的 终边上，求tan(
?
－2β)的值．
?
?
x
?
?
?
?
(0≤
x≤5)，点
A
、
B
分别是函数
y
＝
f
(
x
)图象上的最高点
?
63
?




20、
（本小题满分12分）

设函数
f
(< br>x
)＝sin
?
?
x?
?
?
?
?< br>3
?
?
＋sin
?
?
x?
?
??
?
?
＋
3
cos
?
x

(其中ω＞0)，且函数
f
(
x
)的
3
?
图象的两 条相邻的对称轴间的距离为
?
.
2
(1)求ω的值；
(2) 将函数
y
＝
f
(
x
)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，得到函数
y
＝
g
(
x
)
的图象， 求函数
g
(
x
)在区间
[0,
?
2
]上的最大值和最小值．




21、
（本小题满分12分）

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函数
f(x)?
(1)若x∈
[
31?cos2x1
sin2x??

222
??
,]
求函数f(x)的最值及对应的x的值;
42
(2)若不等式
[f(x)?m]
2
?1
在x∈[
??
,]
上恒成立,求实数m的取值范围.
42




22、
（本小题满分12分）

11
已知 向量
m
=
(sinx,1)
，
n
=
(43cosx ,2cosx)
，设函数
f(x)?mn

22
(1)求函数
f(x)
的解析式;
(2)求函数
f(x)
，x ∈
?
?
?
,
?
?
的单调递增区间;
(3)设函数
h(x)?f(x)?k
(
k?R
)在区间
?
?
?
,
?
?
上的零点的个数为n，试探求n的值及对
应的 k的取值范围。
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2014——2015
学年下期期中答案
高一 数学

一、选择题：（每题5分，共12题，满分60分。每题只有一个正确答案）

答案 B C A A C C D D C A B D

二、填空题：（每题5分，共4题，计20分.）[来源:学科网ZXXK]
13.
?
52
14
413
15
?
16 ①②③
1225

三、解答题：(本大题共6 个小题，满分70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤。)
17【解析】(1)因为，
AB?a?b,BC?2a?8b,CD?3(a?b)
，
所以，
AD?AB?BC?CD?a?b?2a?8b?3(a?b)?6(a?b)?6AB
，即
AB,AD
共
线，又它们有公共点，所以，A、B、D三点共线。 （2）因为，
ka?b
和
a?kb
共线.所以，存在唯一实数
?
，使
ka?b
=
?
（
a?kb
），
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即
?
?
k?
?
，解得，k=±1。 < br>?
?
k?1
AC?(3cos
?
?4,3sin
?< br>),BC?(3cos
?
,3sin
?
?4)
，又18.（1 ）由题意可得
AC?BC
，
?
(3cos
?
?4)
2
?9sin
2
?
?9cos
2
?
?(3sin< br>?
?4)
2
,两边平方得
sin
?
?cos
?
， 又
（II）
?
?(0,
?
)
，
?
?
?
?
4
；
AC?BC
,
?(3cos
?
?4)?3cos
?
?3sin
?
(3sin
?
?4)?0
，
整理得
sin
?
?cos
?
?
7
， 化简所求式：
16
3
，
4
平方得
sin2
?
??
2sin
2
?
?sin2
?
2sin
2
?
cos
?
?2sin
?
c os
2
?
7
??2sin
?
?cos
?
? sin2
?
??
.
1?tan
?
sin
?
?cos
?
16
19. 【解析】(1)∵0≤
x
≤5，∴
?
?
x
?
7
?
?
≤≤，
3636
∴－
1
?
?< br>x
?
?
≤sin
?
?
?
≤1.
2
63
??
?
＝当
?
x
?
63
?< br>?
?
x
?
?
，即
x
＝1时，sin
?
?
?
＝1，
f
(
x
)取得最大值2；
2
?
63
?
7
?
1
?
?
x
?
?
，即
x
＝5时，sin
?
?
?
＝－ ，
f
(
x
)取得最小值－1.
62
?
63
?
当
?
x
?
6
?
3
＝
因此，点
A
、
B
的坐标分别是
A
(1,2)、
B
( 5，－1)．
∴
OA
·
OB
＝1×5＋2×(－1)＝3. (2)∵点
A
(1,2)、
B
(5，－1)分别在角α、β的终边上，∴ tan α＝2，tan β＝－
1
，
5
1
5
2?(-)
2-(-)
5
＝－
5
，∴tan(α－2β)＝
12
＝
29
. ∵tan 2β＝
15
12
1?(-)
21＋2(-)
2
512
20.【解析】(1)
f
(
x
)＝sin ω
x
＋
3
cos ω
x
＝2sin
?
?< br>x?
∵函数
f
(
x
)图象的两条相邻的对称轴间的距离为∴
T
＝
?
?
?
?
?
.
3
?
?
，
2
2
?
＝π，∴ω＝2.
?
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(2)由(1)得
f
(
x
)＝2sin
?
2x?
?
?
?
?
3
?
?
，∴< br>g
(
x
)＝2sin
?
x?
?
?
?
?
?
.
3
?
由
x
∈
?
0,
??
5
?
?
?
，可得≤
x
＋≤π，
?
336
2
??
?
?
??
?
?< br>?
＝，即
x
＝时，
g
(
x
)取得最大值g
??
＝2sin＝2；
3262
?
6
?
∴ 当
x
＋
当
x
＋

?
5
?
?
5
?
?
?
?
＝，即
x
＝时，
g
(
x
)取得最小值
g
??
＝2sin＝1
3626
?
2
?

21.解:(1)f(x)=sin 2x-
∵x∈[,],∴≤2x-≤,
-=sin 2x-cos 2x-1=sin(2x-)-1,
当2x-=,即x=时,f (x)
max
=0,当2x-=,即x=时,f(x)
min
=-.
(2)方法一:∵[f(x)-m]<1(x∈[,])?
f(x)-1∴m>f(x)
max
-1且mmin
+1,
故m的取值范围为(-1,).
方法二:∵[f(x)-m]<1?m-1∴m-1<-且m+1>0,故-1故m的取值范围是(-1,).
2< br>2
22、（12分）(1)f(x)=m·n=4
(2)由(1)，知f(x)=4si n
所以x+∈，
sinxcosx+2cosx=2
，x∈[-π，π]，
sinx+2cosx=4sin.
由-≤x+≤，解得-≤x≤，
所以函数f(x)的单调递增区间为.
(3)当x∈[-π，π]时，函数h(x)=f(x)-k的零点讨论如下：
当k>4或k<-4时，h(x)无零点，n=0；
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当k=4或k=-4时，h(x)有一个零点，n=1；
当-4当k=-2时，h(x)有三个零点，n=3.






















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