上海市进才中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题 Word版含解析

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进才中学高一月考数学卷
一、填空题
1.设集合
xx ?2x?a?0
是单元素集合，则实数
a?
______.
【答案】
1

【解析】
【分析】
由题意得知
??0
，即可求出实数
a
的值.
【详解】由题 意可知，方程
x
2
?2x?a?0
有且只有一个实根，则
??4?4 a?0
，解得
a?1
.
故答案为：
1
.
【点睛 】本题考查利用集合元素的个数求参数的值，考查二次方程根的个数问题，考查运算
求解能力，属于基础 题.
2.若
?
、
?
是一元二次函数
x
2
?4x?1?0
的两个实数根，则
【答案】
?4

【解析】
【分析】
利用韦达定理得出
?
?
?
、
??
的值，然后将代数式通分代值计算即可.
【详解】由韦达定理可得
?
?
?
??4
，
??
?1
，因此，
故答案为：
?4
.
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，考查计算能力，属于基础题.
3.满 足
MU
?
a
?
?
?
a,b
?
的集 合
M
的个数是______个.
【答案】
4

【解析】
【分析】
把符合条件的集合
M
列举出来，即可得出符合条件的集合
M
的个数.
【详解】由题意可知，满足
MU
?
a
?
?
?
a,b
?
的集合
M
有：
?
、
?
a
?
、
?
b
?
、
?
a,b
?
，共
4
个.
故答案为：
4
.
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- 1 -

?
2
?
1
?
?
1
?
?
______.
1
?
?1
?
?
?
?
?
?4
???4
.
??
1

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【点睛】本题考查符合条件的集合个数的求解，一般将符合条件集合列举出来即可， 考查分
析问题和解决问题的能力，属于基础题.
22
?
?
x?y? 1
4.用列举法表示方程组
?
的解集______.
?
?
x?y?2
?
?
?
22
?
?
?
,
【答案】
?
??
?
22
?
?

?
?
?
?
?
?
【解析】
【分析】 22
?
?
x?y?1
解出方程组
?
，然后利用列举法表 示该解集，注意集合中的元素为点的坐标.
?
?
x?y?2
22
?
?
x?y?1
2
【详解】解出方程组
?
，得
x=y =
，
2
?
?
x?y?2
22
?
?
?
x?y?1
?
?
22
?
?
?
,
因此，方程组
?
的解集为
?
??
?
.
??22
?
?
?
?
?
x?y?2
?
??
?
?
?
22
?
?
?
,
故答 案为；
?
??
?
22
?
?
.
?
?
?
?
?
?
【点睛】本题考查二元方程组的解集的求解，在求出方程 组的解之后，表示解集时需注意解
集中的元素应表示为有序实数对，考查计算能力，属于基础题. 5.已知命题
P:x?2
，命题
Q:x?2x?3?0
，则命题“
P
或
Q
”为真的运算结果为______.
【答案】
x??2
或
x??1

【解析】
【分析】
解方程
x
2
?2x?3?0
，将
P、
Q
中
x
运算结果.
【详解】解方程
x
2< br>?2x?3?0
，得
x??1
或
x?3
，
因此，命 题“
P
或
Q
”为真的运算结果为
x??2
或
x?? 1
.
故答案为：
x??2
或
x??1
.
【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数，解题时要结合复合命题的真假得出简单命题
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- 2 -

2
取值或取值范围合并可得出命题“
P
或
Q
”为真的

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的真假，从而得出参数的取值范围，考查计算能力，属于基础题.
6.若 关于
x
的不等式
ax
2
?2ax?1?0
的解集为
R
，则实数
a
的取值范围是______.
【答案】
?
?1,0
?

【解析】
【分析】 < br>分两种情况
a?0
和
?
?
a?0
，可求出实数
a
的取值范围.
?
??0
【详解】
Q
关于
x< br>的不等式
ax
2
?2ax?1?0
的解集为
R
. < br>当
a?0
时，原不等式为
?1?0
，该不等式在
R
上 恒成立；
当
a?0
时，则有
?
?
a?0
，解得< br>?1?a?0
.
2
?
??4a?4a?0
综上所述，实数< br>a
的取值范围是
?
?1,0
?
.
故答案为：
?
?1,0
?
.
【点睛】本题考查二次不等式 在实数集上恒成立问题，一般要对首项系数的符号和判别式的
符号进行讨论，由此列出不等式（组）求解 ，考查运算求解能力，属于中等题.
7.若集合
A?
?
x
?
x?2
?
?0
?
，
B?xx?2
，则
AIB?< br>______.
?
x?1
?
??
【答案】
x?2?x?1

【解析】
【分析】
解出集合
A
、
B
，然后利用 交集的定义可得出集合
AIB
.
??
?
x?2
?
Q
A?x?0
【详解】
??
?
?
x?2?x?1
?
，
B?xx?2?
?
x?2?x?2
?
，
?
x?1
?
??
因此，
A?B?x?2?x?1
.
故答案为：
x?2?x?1
.
【点睛】本题考查集合交集的运算，同时也考 查了分式不等式和绝对值不等式的解法，解题
的关键就是解出题中涉及的集合，考查计算能力，属于基础 题.
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??
??

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8.已知集合
A?xx?4k?1,k?Z
，
U?Z，则
?
U
A=
______ .
【答案】
xx?2k,k?Z

【解析】
【分析】
将集 合
A
表示为
A?xx?4k?1,k?Z?xx?4k?1,k?Z
，并进行 化简，再利用补集
的定义可得出集合
?
U
A
.
【详解】由题意可得
A?xx?4k?1,k?Z?xx?4k?1,k?Z
， ??
??
????
????
?
xx?4k?1,k?Z
?
?
?
xx?2?2k?1,k?Z
?
，
?
xx ?4k?1,k?Z
?
?
?
xx?2?
?
2k?1
?
?1,k?Z
?
，
所以，
A?xx?4k?1,k?Z?xx? 4k?1,k?Z?xx?2k?1,k?Z
，
因此，
?
U
A?xx?2k,k?Z
.
故答案为：
xx?2k,k?Z
.
【点睛】本题考查补集运算，解题的关键 就是弄清楚题中集合的含义，考查分析问题和解
决问题的能力，属于中等题.
9.设关于x
的不等式
ax?b?0
的解集是
?
1,??
?
，则关于
x
的不等式
______.
??????
??
??
【答案】
xx??1
或
x?6
?

【解析】
【分析】
?
由题意得出
1
为关于
ax?b?0
的 根，且
a?0
，然后将分式不等式化为
等式即可.
【详解】由于关于
x
的不等式
ax?b?0
的解集是
?
1,??
?
，则
1
为关于
ax?b?0
的根，且
a?0
，
的
ax?b
?0
的解集为
x?6
x?1
?0
，解出该 不
x?6
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?a?b?0
，得
b??a
，不等式
解该不等式 得
x??1
或
x?6
.
ax?b
ax?ax?1
?0
，即
?0
，
?0< br>即为
x?6x?6
x?6
故答案为：
xx??1
或
x ?6
?
.
【点睛】本题考查不等式与解集之间的关系，同时也考查了分式不等式的求 解，解题的关键
就是确定两参数的等量关系，并确定出参数的符号，考查运算求解能力，属于中等题.
10.
a
、
b
、
c
为三个人，命题
A：“如果
b
的年龄不是最大，那么
a
的年龄最小”和命题
B：
“如果
c
的年龄不是最小，那么
a
的年龄最大”都是真命题， 则
a
、
b
、
c
的年龄由小到大依
次为______ .
【答案】
c?a?b

【解析】
【分析】
若命题< br>A
为真命题，可得出
a?b?c
或
c?a?b
，若命题
B
为真命题，可得出
b?c?a
或
?
c?a?b
，进而得 出结论.
【详解】若命题
A
：“如果
b
的年龄不是最大，那么a
的年龄最小”是真命题，则
a
是最小，
b
不是最大，即
c
最大，或
a
不是最小，
b
最大，
c
最小，即< br>a?b?c
或
c?a?b
；
若命题
B
：“如果c
的年龄不是最小，那么
a
的年龄最大”是真命题，则
c
不是最 小，
a
最大，
b
最小，或
a
不是最大，
c
最小，
b
最大，即
b?c?a
或
c?a?b
.
若两个命题均为真命题，则
c?a?b
.
故答案为：
c?a?b
.
【点睛】本题考查了命题真假性的判断与应用，也 考查了逻辑推理能力，解题的关键是正确
理解互为逆否的两个命题的真假性相同，考查推理能力，属于中 等题.
11.
Q
是有理数集，集合
M?xx?a?2b,a,b?Q,x? 0
，在下列集合中：
??
①
?
?
1
?
2 xx?M
；②
?
x?M
?
；③
?
x
1?x
2
x
1
?M,x
2
?M
?
；④< br>?
x
1
x
2
x
1
?M,x
2
?M
?
.
?
x
?
?
与集合
M
相等的集合序号是______.
【答案】①②④
【解析】
【分析】
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利用集合的定义以及集合相等的定义进行验证，即可得出结论.
【详解】 对于①中的集合，
Qx?M
，设
x?a?2b
，
a?Q
，< br>b?Q
，
则
2x?2a?2b?2b?2a
，则
2b?Q< br>，①中的集合与集合
M
相等；
??
对于②中的集合，
Qx? M
，设
x?a?2b
，
a?Q
，
b?Q
，且
a
、
b
不同时为零.
11a?2bab
a
????2< br>，其中
?Q
，则
2222
22
x
a?2b
a ?2ba?2b
a?2ba?2b
a?2b
????
?
b
? Q
，②中的集合与集合
M
相等；
22
a?2b
对于③中的 集合，取
x
1
?a?2b
，
x
2
??a?2b，
a?Q
，
b?Q
，则
x
1
?x
2< br>?0?M
，
③中的集合与集合
M
不相等；
对于④中的集合， 设
x
1
?a
1
?2b
1
，
x
2< br>?a
2
?2b
2
，其中
a
1
、
a< br>2
、
b
1
、
b
2
?Q
，则
x
1
x
2
?a
1
?2b
1
a
2< br>?2b
2
?
?
a
1
a
2
?2b1
b
2
?
?
?
a
1
b
2?a
2
b
1
?
2
，
a
1
a< br>2
?2b
1
b
2
?Q
，
a
1
b
2
?a
2
b
1
?Q
，④中的集合与集合
M
相等.
因此，集合
M
相等的集合序号是①②④.
故答案为：①②④.
【点睛】本题考查集合相等的定义，解题时要充分利用集合的定义进行验 证，考查计算能力，
属于中等题.
12.设集合
I?
?
1,2,3 ,4,5
?
，若非空集合
A
同时满足①
A?I
，②
A?min
?
A
?
（其中
A
表
示
A
中元素的个数，
min
?
A
?
表示集合
A
中最小 元素），称集合
A
为
I
的一个好子集，
I
的所
有好 子集的个数为______.
【答案】
12

【解析】
【分析】
对
min
?
A
?
的取值为
1
、
2
、
3
、
4
、
5
进行分类讨论，列举出在
m in
?
A
?
在对应取值下集合
A
，
由此得出符合条 件的集合
A
的个数.
【详解】由题意可知，
min
?
A< br>?
的取值为
1
、
2
、
3
、
4
、
5
.
????
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（1）当
min
?
A
?
?1
时 ，
A?1
，则
A?
?
1
?
；
（2）当< br>min
?
A
?
?2
时，
A?2
，则符合条件 的集合
A
有：
?
2
?
、
?
2,3
?
、
?
2,4
?
、
?
2,5
?
，
共
4
个；
（3）当
min
?
A
?
?3
时，
A?3
，则符合条件的集合
A
有：
?
3
?
、
?
3,4
?
、
?
3,5
?< br>、
?
3,4,5
?
，
共
4
个；
（ 4）当
min
?
A
?
?4
时，
A?4
，则 符合条件的集合
A
有：
?
4
?
、
?
4,5
?
，共
2
个；
（5）当
min
?
A?
?5
时，
A?5
，则符合条件的集合
A
为
?
5
?
.
综上所述，
I
的所有好子集的个数为
1?4?4?2?1?12
.
故答案为：
12
.
【点睛】本题考查符合集合新定义的集合个数，解题时要 明确题中集合的定义，采用列举法
列举出符合条件的集合，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
二、选择题
13.已知集合
A?{x|x?a},B?{x|x?3x?2?0},
若
A?B?B,
则实数
a
的取值范围是
2
（）
A.
a?1

【答案】D
【解析】
2
集合< br>A?
?
x|x?a
?
,B?x|x?3x?2?0?
?
x|1?x?2
?
，
QA?B?B,?B?A
，则
B.
a?1
C.
a?2
D.
a?2

??
a?2
，故选D.
14.已知实数
a
、
b< br>、
c
满足
c?b?a
，那么“
ac?0
”是“
ab?ac
”成立的（ ）
A. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由
ac?0
，可得出< br>c?0?a
，由
ab?ac
可知
a?0
，然后再根据已知条件 以及逻辑性关系推
导出两者间的充分不必要条件关系.
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B. 充分不必要条件
D. 既不充分也不必要条件

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【详解】
Qc?b?a
，若
ac?0
，则必有< br>c?0?a
，由
b?c
，可得出
ab?ac
，则
ac?0?ab?ac
；
另一方面，若
ab?a c
，且
c?b?a
，则
a?0
，事实上，若
c?b?a?0
，则
ab?ac
.
则
ab?ac?
?
ac?0
.
因此，“
ac?0
”是“
ab?ac
”成立的充分不必要条件.
故选：B.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了不等式性质的应用，考查 逻辑推理
能力，属于中等题.
15.以下结论错误的是（ ）
A. 命题“ 若
x
2
?3x?4?0
，则
x?4
”的逆否命题为“若x?4
，则
x
2
?3x?4?0
”
B. 命题“
x?4
”是“
x
2
?3x?4?0
”的充分条件
C. 命题“若
m?0
，则
x
2
?x?m?0
有实 根”的逆命题为真命题
D. 命题“
m
2
?n
2
?0，则
m?0
或
n?0
”的否命题是“
m
2
?n
2
?0
，则
m?0
且
n?0
”
【答案】C
【解析】
【分析】
利用逆否命题、否命题与原命题之间的关 系可判断A、D选项的正误；解方程
x
2
?3x?4?0
，
可得出B 选项的正误；写出命题“若
m?0
，则
x
2
?x?m?0
有 实根”的逆命题，再判断出
其逆命题的正误，可判断C选项的正误.
【详解】对于A选项，命 题“若
x
2
?3x?4?0
，则
x?4
”逆否命题为“若< br>x?4
，则
x
2
?3x?4?0
”，A选项中的结论正确；
对于B选项，解方程
x
2
?3x?4?0
，得
x??1或
x?4
，所以，“
x?4
”是
“
x
2
?3x?4?0
”的充分条件，B选项中的结论正确；
对于C选项，命题“若
m? 0
，则
x
2
?x?m?0
有实根”的逆命题为“若方程
x< br>2
?x?m?0
有实根，则
m?0
”，由
??1?4m?0< br>，得
m??
1
，逆命题为假命题，C选项中的结论错
4
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误；
对于D选项，命题“
m
2
?n
2
?0
，则
m?0
或
n?0
”的否命题是“
m
2
?n
2
?0
，则
m?0
且
n?0
”， D选项中的结论正确.
故选：C.
【点睛】本题考查四种命题以及充分条件的判断，要熟悉 命题之间的关系，以及真假性之间
的关系，考查推理能力，属于基础题.
16.已知不等式< br>a
?
x?x
1
??
x?x
2
?
?0
的解集为
A
，不等式
b
?
x?x
1
??< br>x?x
2
?
?0
的解集为
B
，
其中
a
、
b
是非零常数，则“
ab?0
”是“
AUB?R
”的（ ）
A. 充分不必要条件
C. 充要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
对
a
、
b
的符号以及
x
1
、
x
2
是否相等分情况讨论，得出
AUB?R
的充要条件，即可判断出
“
ab?0
”是“
AUB?R
”的充要条 件关系.
【详解】（1）若
a?0
，
b?0
.
①若x
1
?x
2
，不等式
a
?
x?x
1< br>??
x?x
2
?
?0
即为
?
x?x
1
?
?0
，则
A?xx?x
1
，不等式
2
B. 必要不充分条件
D. 既非充分也非必要条件
??
b
?
x ?x
1
??
x?x
2
?
?0
即为
?
x?x
1
?
?0
，得
B?R
，
A?B
，
AUB?B?R
；
2
②若
x
1
?x
2< br>，不妨设
x
1
?x
2
，不等式
a
?
x?x
1
??
x?x
2
?
?0
即为
?x?x
1
??
x?x
2
?
?0
，则
A ?
?
??,x
1
?
U
?
x
2
,? ?
?
，不等式
b
?
x?x
1
??
x?x< br>2
?
?0
即为
?
x?x
1
??
x? x
2
?
?0
，得
B?
?
??,x
1
?
U
?
x
2
,??
?
，
A?B
，则
AUB?B?R
；
（2）同理可知，当
a?0
，
b? 0
时，
A?B
，
A?B?B
不一定为
R
；
（3）若
a?0
，
b?0
.
①若
x
1< br>?x
2
，不等式
a
?
x?x
1
??
x?x
2
?
?0
即为
?
x?x
1
?
?0
，则
A?xx?x
1
，不等式
2
??
b?
x?x
1
??
x?x
2
?
?0
即为
?
x?x
1
?
?0
，则
B?
?
x
1
?
，此时，
AUB?R
；
2
②若
x< br>1
?x
2
，不妨设
x
1
?x
2
，不 等式
a
?
x?x
1
??
x?x
2
?
?0
即为
?
x?x
1
??
x?x
2
?< br>?0
，则
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A?
?
??,x
1
?
U
?x
2
,??
?
，不等式
b
?
x?x
1
??
x?x
2
?
?0
即为
?
x?x
1
??
x?x
2
?
?0
，则
B?
?x
1
,x
2
?
，此时，
AUB?R
；
（4）同理，当
a?0
，
b?0
时，
AUB?R
.
综上所述，“
ab?0
”是“
AUB?R
”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时也考查补集思想的应用，在解题时需 要对参数
的符号进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.
三、解答题
17.解不等式：
0?x
2
?x?2?4
.
【答案】?
?3,?2
?
U
?
1,2
?

【解析】
【分析】
分别解出不等式
x
2
?x?2?0< br>和
x
2
?x?2?4
，然后将两个解集取交集即可得出原不等式的解集.
【详解】解不等式
x
2
?x?2?0
，得
x? ?2
或
x?1
.
解不等式
x
2
?x?2?4，即
x
2
?x?6?0
，解得
?3?x?2
.
因此，不等式
0?x
2
?x?2?4
的解集为
?
?3,? 2
?
U
?
1,2
?
.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.
m
2< br>?n
2
m?n
18.设
m?n?0
，试比较
2
与的大小关系.
2
m?n
m?n
m
2
?n
2< br>m?n
【答案】
2

?
m?n
2
m?n
【解析】
【分析】
22m?n
?
m?n
??
m?n
?
m
2
? n
2
m?n
m?n
??
由与的大
22
，再利用不等 式的性质可得出
m?n
?
m?n
??
m?n
?
m< br>2
?n
2
m?n
小关系.
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m?n
?
m?n
??
m?n
?
m
2
?n
2
m
2
?n
2
???
2
【详解】，
22
m?n
?
m?n
??
m?n?
m?2mn?n
2
Qm?n?0
，
?0?m
2
?n
2
?m
2
?2mn?n
2
且
m
2< br>?n
2
?0
，
11
m
2
?n
2< br>m
2
?n
2
m
2
?n
2
m?n?
2
?
，因此，
2
，即
2
.
?2
?
222
m?n
2
m
2
?2mn?n
2
m?nm?2mn?nm?nm?n
【点睛】本题考查利用不等式的性质比较代数式的大小 ，常用的比较大小方法有：作差法、
作商法、不等式的性质、函数单调性法、中间值法以及图象法等，可 以结合代数式的结构选
择合适的方法来比较大小，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
19.设函数
f
?
x
?
?x?a
.
（1 ）当
a?2
时，解不等式
f
?
x
?
?7?x?1< br>；
（2）若
f
?
x
?
≤1
解集为
?
0,2
?
，求
a
的值.
【答案】（1）
???,?2
?
U
?
5,??
?
；（2）
a?1
.
【解析】
【分析】
（1）将
a?2
代入不等式f
?
x
?
?7?x?1
，得出
x?1?x?2?7，然后分
x?1
、
1?x?2
、
x?2
三种情况来解不 等式
f
?
x
?
?7?x?1
，即可得出该不等式的解集；
（2）解出不等式
f
?
x
?
≤1
得出
a? 1?x?a?1
，由题意得出
?
0,2
?
?
?
a? 1,a?1
?
，然后列
出方程组求出实数
a
的值.
【详解 】（1）当
a?2
时，由
f
?
x
?
?7?x?1< br>，得
x?2?7?x?1
，即
x?1?x?2?7
.
当x?1
时，则有
1?x?2?x?3?2x?7
，解得
x≤?2
，此时，
x≤?2
；
当
1?x?2
时，则有
x?1?2?x?1?7
，该不等式不成立；
当
x?2
时，则有
x?1?x?2?2x?3?7
，解得
x ≥5
，此时，
x≥5
.
综上所述，当
a?2
时，不等式< br>f
?
x
?
?7?x?1
的解集为
?
??,? 2
?
U
?
5,??
?
；
（2）解不等式
f
?
x
?
≤1
，即
x?a?1
，即
?1? x?a?1
，解得
a?1?x?a?1
.
?
a?1?0
0 ,2?a?1,a?1
由题意可得
????
，所以，
?
a?1?2< br>，因此，
a?1
.
?
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【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了利用绝对值不等式的解集求参 数，对
于绝对值不等式的求法，一般利用零点分段法与绝对值的几何意义来求解，考查运算求解能
力，属于中等题.
20.已知集合
A?
?
?4,6
?
， 集合
B?x
?
x?a
??
x?3a
?
?0,x?R
.
（1）若
A?B?A
，求实数
a
的取值范围；
（2）若
AIB??
，求实数
a
的取值范围.
【答案】（1）
?
?
【解析】
【分析】
（1）由
A?B?A
得出
B?A
，然后对
a
与
3a
大小分 三种情况讨论，结合条件
B?A
列
??
?
4
?
,2
?
；（2）
?
??,?4
?
U
?
6,??
?

3
??
关于
a
的不等式组，即可求出实数a
的取值范围；
（2）然后对
a
与
3a
的大小分三种 情况讨论，结合条件
AIB??
，列出关于
a
的不等式，即
可得出实 数
a
的取值范围.
【详解】（1）
QAUB?A
，
?B?A
.
当
a ?0
时，
B?
?
0
?
?A
成立；
?3a??4
4
当
a?0
时，
3a?a
，则
B?
?
3a,a
?
，由
B?A
，得
?
，解得< br>??a?6
，此时，
3
?
a?6
4
??a?0
；
3
当
a?0
时，
3a?a
，则
B?
?
a,3a
?
，由
B?A
，得
?
0?a?2
.
?
4
?
a
综上所述，实数的取值范围是
?
? ,2
?
；
?
3
?
的
?
a??4
，解得
?4?a?2
，此时，
3a?6
?
（2）当
a?0< br>时，
B?
?
0
?
?A
，此时，
AIB??
0
?
??
，舍去；
当
a?0
时，
3a?a?0
，此时，
B?
?
3a,a
?
，由
AI B??
，得
a??4
；
当
a?0
时，
3a?a? 0
，此时，
B?
?
a,3a
?
，由
AIB??，得
a?6
.
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综上所述，实数
a
的取值范围是
?
??,?4< br>?
U
?
6,??
?
.
【点睛】本题考查利用集合包 含关系、集合运算的结果求参数，解题时要对参数的符号进行
分类讨论，并求出相应的集合，结合数轴来 得出不等关系，考查分类讨论思想的应用，属于
中等题.
21.已知数集
A?
?
a
1
,a
2
,???,a
n
??
1? a
1
?a
2
?????a
n
,n?2
?
具 有性质
P
：对任意的
i
、
j
?
1?i?j?n?
，
a
i
a
j
与
a
j
ai
两数中至少有一个属于
A
.
（1）分别判断数集
?
1,3,4
?
与
?
1,2,3,6
?
是否具有性质
P
，并说明理由；
（2）证明：
a
1
?1
且
a< br>1
?a
2
?????a
n
?a
n
；
?1?1?1
a
1
?a
2
?????a
n
a5
a
4
a
3
a
2
???
.
a
4
a
3
a
2
a
1
（3）证明：当
m?5
时，
【答案】（1）
?
1,3,4
?
不具有性质< br>P
，
?
1,2,3,6
?
具有性质
P
，理由 详见解析；（2）证明见解
析；（3）证明见解析.
【解析】
分析】
（ 1）由定义直接判断集合
?
1,3,4
?
和
?
1,2,3, 6
?
是否具有性质
P
；
（2）由已知得
a
na
n
和
【
a
1
?a
2
?????a< br>n
?a
n
；
?1?1
a
1
?1
? a
2
?????a
n
【详解】（1）由于
3?4
和
a
n
中至少有一个属于
A
，从而得到
a
1
?1，再由
1?a
1
?a
2
?????a
n
，a
n
a
n
?A
?
k?1,2,3,L,n
?< br>，由此能证明得到
a
k
a
n
?A
?
k?2, 3,L,n
?
，由
A
具有性质
P
可知
a
k
2
（3）当
n?5
时，
a
5
?a
2
a
4
?a
3
，从而
a
3
a
4
? A
，
aa
aa
a
4
?A
，由此能证明
5< br>?
4
?
3
?
2
.
a
3
a
4
a
3
a
2
a
1
4
均不属于数集
?
1,3,4
?
，所以，数集
?
1,3,4
?不具有性质
P
.
3
6
6
1
2
36
由于
1?2
、
1?3
、
1?6
、
2 ?3
、、、、、、都属于数集
?
1,2,3,6
?
，所以，数
2
3
1
2
3
6
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集
?
1,2,3,6
?
具有性质
P
；
（ 2）
Q
数集
A?
?
a
1
,a
2
, ???,a
n
??
1?a
1
?a
2
?????a< br>n
,n?2
?
具有性质
P
，
a
n
a
n
和所以，
a
n
Q1?a
1
?a
2?????a
n
，中至少有一个属于
A
，所以
a
na
n
?a
n
，则
a
n
a
n
? A
，
a
n
a
n
?1?A
，故
a
1
?1
. 从而
a
n
Q1?a
1
?a
2?????a
n
，所以，
a
k
a
n
?a
n
，故
a
k
a
n
?A
?
k?2,3,L ,n
?
.
a
n
?A
?
k?1,2,3,L,n
?
. 因为， 数集
A
具有性质
P
可知，
a
k
又因为
a< br>n
aaaaaaa
?
n
?L?
n
?
n
，
?
n
?a
1
，
n
?a
2
，< br>L
，
n
?a
n?1
，
n
?a
n.
a
n
a
n?1
a
2
a
1
a
n
a
1
a
n?1
a
2
a
na
n
a
n
??L??a
1
?a
2
?L ?a
n
. 所以，
a
1
a
2
a
n
a
n
a
n
a
??
L
?
n
?1?1 ?1
aa?a?????a
??
?a
；
a?a?????aaaa
n12n
因此，
12n12n
??
n
?1?1?1?1?1 ?1
a
1
?1
?a
2
?????a
n
a< br>1
?1
?a
2
?????a
n
a
1
?1
?a
2
?????a
n
a
5
a
52
?a
?a
3
，即
a
5
?a
2
a
4
?a
3
（3）由（2）知，，
4
，
a2
a
3
因为
1?a
1
?a
2
?a3
?a
4
?a
5
，所以，
a
3
a4
?a
2
a
4
?a
5
，则
a
3
a
4
?A
，由于数集
A
具有性质
P
，< br>?
a
4
?A
.
a
3
2
3
a
3
a
4
a
3
a
4
a
3
??A1??a??a
2
， 由
a
2
a
4
?a，可得，且
3
，所以，
a
2
a
3
a
2
a
3
a
2
故
aa
aa
a
5
a
4
a
3
a
2
????a
2
，因此，< br>5
?
4
?
3
?
2
.
a
4
a
3
a
2
a
1
a
4
a
3
a
2
a
1
【点睛】本题考查集合中的新定义，考查等式的证明，考查 了运算求解能力、推理论证能力、
分类讨论等数学思想的应用，能较好地考查学生的应用知识分析、解决 问题的能力，侧重于
对能力的考查，属于难题.
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