福建省高考压轴卷 理科数学 含答案

高考资源网（） 您身边的高考专家


KS5U2015福建省高考压轴卷理科数学
< br>一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.）
1．设全集
U?R
，集合
M?{xx?1或x?? 1}
，
N?
?
x|0?x?2
?
，则
NI(?U
M)?
( )
A．
?
x|?2?x?1
?

B．
?
x|?1?x?1
?

C．
?
x|0?x?1
?

D．
?
x|x?1
?

2. 已知圆
O:x?y? 1
及以下３个函数：①
f(x)?x
；②
f(x)?tanx
；③< br>f(x)?xsinx.
其中图像能
等分圆
C
面积的函数有（ ）
A．
3
个 B.
2
个 C.
1
个 D.
0
个
3．已知直 线
a,b
和平面
?
，其中
a?
?
，则“
a b
”是“
a
?
”的（ ）
b?
?
，
A．充分不必要条件
C．充分必要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2 23
4．已知角
?
的顶点与原点重合，始边与
x
轴的非负半轴重合， 终边在直线
y?2x
上，
则
sin2
?
等于（ ）
A．
?
4
334
B．
?
C． D．
555
5
第5题图
5．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（ ）
A.1007 B.1008 C.2013 D.2014

以组 距为
5
将数据分组成
?
0,5
?
,
?
5, 10
?
,
?
10,15
?
,
?
15,20
?
,

6．某教研机构随机抽取某校
20
个班级,调查各 班关注汉字听写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图，
?
20,25
?
,
?
25,30
?
,
?
30,35
?
,?
35,40
?
时,所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（ ）

x
2
?y
2
?1和
C
2
:
x
2
?y
2
?1
， 且曲线
C
1
的焦点分别为
F
1
、
F
2，点
M
是
C
1
和
C
2
的一个7.已知 曲线
C
1
:
3
交点，则△
MF
1
F
2
的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能
8．在高校自主招生中，某校获得5个推荐名额，其中清 华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名，并
且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加，学校通过 选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同推荐
方法的种数是 ( )
A．20 B.22 C.24 D. 36
rr
rrrrrrrr
b?0
，则
(a?b?c)g(a?c )
的最大值为（ ）
9．已知
a,b,c
均为单位向量，且满足
a
g
版权所有@高考资源网
2015高考压轴卷

高考资源网（） 您身边的高考专家

A．
1?23
B.
3?22
C.
2?5
D.
2?22

10．设
A
1
,A
2
,L,A
n
为集合
S?
?
1,2,L,n
?
的
n
个不同子集
?
n?4
?
，为了表示这些子集，作
n
行
n
列的< br>?
?
0,i?A
j
,
数阵，规定第
i
行与第
j
列的数为
a
ij
?
?
则下列说法正确的个数是( )
1,i?A,
?
j
?
①数阵中 第1列的数全是0当且仅当
A
1
??
;
②数阵中第
n
列的数全是1当且仅当
A
n
?S
;
③数阵中第
j
行的数字和表明元素
j
属于
A
1,A
2
,L,A
n
中的几个子集;
④数阵中所有的
n
个数字之和不小于
n
;
⑤数阵中所有的
n
个数字之和不大于
n?n?1
.
A．5 B. 4 C．3 D. 2

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在相应横线上.）
11． 已知
(1?)?a
0
?a
1
g?a
2
g()?a< br>3
g()?a
4
g(),则a
2
?a
4
?< br>___ ．
12. 利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a,b，则方程

13. 已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于_________.

14． 若
a
1
x?sinx?a
2
x
对任意的
x?[0,
2
22
正视图
2
侧视图
2
22
2
x
4
1
x
1
x
2
1
x
3
1
x
4
b
?2a?x
有实数根的概率是___ ．
x
?
2
]
都成立，则
a
2
?a
1
的最小值
为 ．


15．如图，A是两条平行直 线之间的一定点，且点A到两条平行直线的距离分别为
俯视图
AM?1,AN?3
。设
VABC
,
AC?AB
,且顶点B、C分别在两条平行直线上运动，
则


三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（本小题满分13分）
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某 市为了节约生活用水，计划在本市试
行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准?用水量 不超过a的部分按照平价收费，超过
a的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽 样获得了 100位居民某年的月均用水
量(单位:t)，制作了频率分布直方图，
(I)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；
(II)用样本 估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准，
则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说 明理由；
(III)若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民
的月均用 水量(看作有放回的抽样），其中月均用水量不超过（II)中
版权所有@高考资源网
13
?
的最大值为_______.
ABAC
2015高考压轴卷

高考资源网（） 您身边的高考专家

最低标准的人数为x，求x的分布列和均值.









17.（本小题满分13分）
世界大学生运动会圣火台如图所示,圣火盆是半径为1m的圆, 并通过三根长度相等的金属支架
PA
1
,PA
2
,PA
3< br>(
A
1
,A
2
,A
3
是圆上三等分点)将其 水平放置,另一根金属支架
PQ
垂直于地面,已知圣火
盘的圆心
O
到 地面的距离为
3
m,四根金属支架的总长度为
y
m.
（Ⅰ）设?OPA
3
?
?
(rad)
,请写出
y
关于< br>?
的函数解析式,并写出函数的定义域；
（Ⅱ）试确定定点
P
的位置，使四根金属支架总长度最短.









18.（本小题满分13分）
A
1
A
2
O
A
3

P
Q
如图所示，四边形
ABCD
为直角梯形，
ABCD
，
AB?BC
，△
ABE
为等边三 角形，且平面
ABCD?
平面
ABE
，
AB?2CD?2BC?2< br>，
P
为
CE
中点．
（1）求证：
AB?
DE
；
（2）求平面
ADE
与平面
BCE
所成的锐二面角的余弦值； （3）在△
ABE
内是否存在一点
Q
，使
PQ?
平面< br>CDE
，如果存在，求
PQ
的长；如果不存在，说明理由．

C

D

P
·



B




19.（本小题满分13分）
已知 抛物线
C
的顶点为坐标原点,其焦点
F
?
c,0
??
c?0
?
到直线
l
x?y?2?0
的距离为
（Ⅰ）求抛物 线
C
的方程;
（Ⅱ）若
M
是抛物线
C
上异于原点 的任意一点，圆
M
与
y
轴相切.
版权所有@高考资源网
E
A
32
.
2
2015高考压轴卷

高考资源网（） 您身边的高考专家

（i）试证：存在一定圆
N
与圆
M
相 外切，并求出圆
N
的方程；








20.（本小题满分14分）
已知函数
f(x)?lnx
。
uuuruuur
uuuruuur
（ii）若点
P
是直线
l
上任意一点，
A,B
是圆
N
上两点，且
AB?
?
BN
，求
PA?PB
的取值范围.
1
2
x?ax
在点
(1,h(1))
处 的切线与直线
4x?y?1?0
平行，求实数
a
的值
2
1
2
（Ⅱ）对任意的
a?
?
?1,0
?
，若不等式< br>f(x)?ax?2x?b
在
x?
?
0,1
?
y2
上恒成立，求实数
b
的取值范围
B
（Ⅲ）若函数
y ?g(x)
与
y?f(x)
的图像关于直线
y?x
对称，设
N
a?ba?b
试根据如图所
,g())
(a?b)
，
A( a,g(a)),B(b，g(b)),
N(
A
22
示的曲边梯形
A BCD
的面积与两个直角梯形
ADMN
和
NMCB
的面积
的 大小关系，写出一个关于
a
和
b
的不等式，并加以证明。
ODMC
（Ⅰ）若函数
h(x)?f(x)?




21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14 分。如果多做，则按
所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑， 并将所选题号填入括
号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
x
?
1a
?
设矩阵
M?
??
．
b1
??
（Ⅰ）若
a?2，b?3
，求矩阵
M
的逆矩阵M
?1
；
（Ⅱ）若曲线
C
：
x
2
? 4xy?2y
2
?1
在矩阵
M
的作用下变换成曲线
C
?
：
x
2
?2y
2
?1
，求
a?b的值．


（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
?
?
x?
?
x?cos
?
，
?
已知曲线
C
1
：
?
（
?
为参数），曲线
C
2
：
?
?
y?sin
?
?
y?
?
?
2
t?2，
2
（
t
为参数）．
2
t
2
版权所有@高考资源网
2015高考压轴卷

高考资源网（） 您身边的高考专家

（1）指出
C
1
，
C
2各是什么曲线，并说明
C
1
与
C
2
公共点的个数； < br>（2）若把
C
1
，
C
2
上各点的纵坐标都压缩为原来 的一半，分别得到曲线
C
1
?
，C
2
?
．写出C
1
?
，C
2
?
的参数
方程．
C1
?
与
C
2
?
公共点的个数和
C
1< br>与C
2
公共点的个数是否相同？说明你的理由．

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知
a,b
为正实数.
(1?x)
2
x
2
a
2
b
2
（Ⅰ ）求证（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论求函数
y???a?b
；
?(0?x?1)
的 最小值
.
ba
x1?x






























版权所有@高考资源网
2015高考压轴卷

高考资源网（） 您身边的高考专家


KS5U2015福建省高考压轴卷理科数学答案

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合
题目要求的.）
CBADA ABCCB
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在相应横线上.）
11. 40 12.
12
13. 4 14.
1?
15.
2

3
?
三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.）
16．（本小题满分13分）
解: （Ⅰ） ………3分

（Ⅱ）月均用水量的最低标准应定为2.5吨.样本中月均用水
量不低 于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，由样本
估计总体，要保证80%的居民每月的用水量 不超出标准，月均
用水量的最低标准应定为2.5吨.………6分
（Ⅲ）依题意可知,居民月 均用水量不超过（Ⅱ）中最低标准
的概率是
则
4
，
5
41 1
，，
X~B(3,)P(X?0)?()
3
?
55125
12
1
41
2

P(X?1)?C
3
()?
55125
41484
3
64
，
P(X?3)?()?
……………9分
P(X?2)?C
3
2()
2
()?
551255125
分布列为
X

P

…11分
0 1 2 3
1

125
12

125
48

125
64

125
答：人数x均值为 .………………13分
412
E(X)?3??

55
113?cos
?
?(3?gcos
?
)??3
…4分 17．解：（Ⅰ）由题意可得，
y?3PA
3
?PQ?3g
sin
?
sin
?
sin
?
3
1
??
由
3?
，所以
?
?(,)
………………6分
gcos?
?0
可得
tan
?
?
3
sin
?< br>62
sin
2
?
?(3?cos
?
)cos
?
1?3cos
?
?
（Ⅱ）
y'?
………………7分 < br>sin
2
?
sin
2
?
1
??
1< br>令
y'?0
，得
cos
?
?
，
?
存 在
?
0
?(,)
，使得
cos
?
0
?………………8分
3623
当
?
6
?
?
?< br>?
0
时，
y'?0
，当
?
0
?
?< br>?
?
2
时，
y'?0

故当
?
?< br>?
0
时，
y
取最小值………………11分
版权所有@高考资源网
2015高考压轴卷

高考资源网（） 您身边的高考专家

cos
?
2
?3?
………………12分
sin
?
4
2
答：当点
P
到地面的距离为（
3?
）
m
时，四根金属支架总长度最短.…13分
4
18.解：（1）证明如下：取
AB
的中点
O
，连结
OD,OE
，
因为△
ABE
是正三角形，所以
AB^OE
.
C
z
1
因为四边形
ABCD
是直角梯形，
DC=AB
，
ABCD
，
2
D
所以四边形
OBCD
是平行四边形，
ODBC
.
P
·

又
AB^BC
，所以
AB^OD
.
又因为
ODIOE=O
,所以
AB^
平面
ODE
，
B
所以
AB^DE
.………4
E
O
（2)因为平面
ABCD?
平面
ABE
，
y
AB^OE
，所以
OE^
平面
ABCD
，
A
所以
OE?OD
.
x
如图所示，以
O
为原点建立空间直角坐标系.
则
A(1,0,0 )
，
B(-1,0,0)
，
D(0,0,1)
，
C(-1, 0,1)
，
E(0,3,0)
，
uuuruuur
所以
AD=(-1,0,1)
,
DE=(0,3,-1)
，
uuur
ì
?
?
n
1
?
DE0
ì
3y1
-
z
1
=
0
?
n
设平面
A DE
的一个法向量为
1
=(x
1
,y
1
,z
1
)
，则
í
，
?
?
í
uuur?
?
?
?
-
x
1
+
z
1=
0
?
?
n
1
?
AD0
?
3 3
,1)
. 令
z
1
=1
，则
x
1
=1
,
y
1
=
,所以
n
1
=(1,33
同理可求得平面
BCE
的一个法向量为
n
2
=(- 3,1,0)
，设平面
ADE
与平面
BCE
所成的锐二面角为
?
，
此时，点
P
到地面的距离
PQ?3?
则
co s
?
=
7
7
n
1
×
n
2
=
，所以平面
ADE
与平面
BCE
所成的锐二面角的余弦值为
.………9分
7
7
n
1
n
2
131
,,)
，
222
uuur
uuuruuur
131
,-)
，
CD=(1,0,0)
,
DE=(0,3,-1)
. 所以
PQ=(x
2
+,y
2
-
222
ì
1
?
uuuru uur
?
x
+=
0,
2
ì
?
?
P Q
?
CD0，
?
2
?
依题意得
í
uuu< br>即
?

í
ruuur
?
?
31
?< br>?
?
PQ
?
DE0，
?
3(y
-
)
+=
0,
?
2
?
22
?
?
（3） 设
Q(x
2
,y
2
,0)
，因为
P(-
3
1
，
y
2
=
.符合点
Q
在△
AB E
内的条件.
3
2
133
,0)
，使
PQ^平面
CDE
，此时
PQ=
所以存在点
Q(-,
.……… 13分
233
解得
x
2
=-

2
19.解：(Ⅰ) 依题意,设抛物线
C
的方程为
y?4cx,由
c?0?2
2
?
32
结
2
版权所有@高考资源网
2015高考压轴卷

高考资源网（） 您身边的高考专家

合
c?0
,解得
c?1
. 所以抛物线
C
的方程为
y?4x
. …………4分

(Ⅱ) （i）设圆
M
与
y
轴的切点是点
M
?,连结
MM
?
交抛物线
C
的准线于点
M
??< br>，则
2
MF?MM
??
?r
M
?1
，所以圆
M
与以
F
为焦点，1为半径的圆相切，圆
N
即为圆
F
，圆
N
的方程为
?
x?1
?


2
?y
2
?1
;…………8分
uuuruuur
(ii)由
AB?
?
BN
可知，
AB
为圆
N
直径，…………9分
从而
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
PA?PB?PN?NA?PN?NB
uuur
2
uuuruuuruuuruuur uuur
?PN?PN?NA?NB?NA?NB
uuur
2

?P N?1
????
??
?
32
?
?
??
?1
?
2
?
7
?
2
uuuruuur
?
7
?
所以
PA?PB
的取值范围是
?
,??
?< br>.…………13分
?
2
?

2
11?x
2
?ax
(x?0)
，依题意得：
h
?
(1)?4
即
2?a?4?a??2
，故
a
20、解（Ⅰ）
h
?
(x)??x?a?
xx
的值为
?2
………………………………………4分
1
2
1
2
（Ⅱ）由不等式
b?lnx?ax?2x
对任意的
a?
?
?1,0
?
恒成立，则
b?(lnx?ax ?2x)
max
，由函
22
1
2
1
2
数< br>?
(a)??xa?2x?lnx
在
a?
?
?1,0
?
上为单调递减，∴
?
(a)
max
?
?
(?1) ?x?2x?lnx

22
1
2
∴问题转化为不等式
b?x ?2x?lnx
在
x?
?
0,1
?
上恒成立，………7分
2
1(x?1)
2
1
2
3
?0
。∴
G(x)
max
?G(1)??
令
G(x)?x?2x?lnx
，则
G
?
(x)?x?2??
xx
22
3
∴
b
的取值范围为
b??
………9分
2
（Ⅲ）由题意得曲边梯形< br>ABCD
的面积小于与两个直角梯形
ADMN
和
NMCB
的面 积的和，
b
1a?b1a?b
x
)]?(b?a)[g(b)?g()]< br>………10分 用不等式表示为
?
edx?(b?a)[g(a)?g(
a4242
a?b
1
baba
即
e?e?(b?a)(e?e?2 e
2
)
………………11分
4
a?bb?aa?ba?bb?a< br>11
baba
证明：
e?e?(b?a)(e?e?2e
2
)
等价于
e
2
?e
2
?(b?a)(e
2
? e
2
?2)

44
版权所有@高考资源网
2015高考压轴卷

高考资源网（） 您身边的高考专家

b?ax
?x?0
，则设
F(x)?e
x
?e
?x
?(e
x
?e
?x
?2)

22
1
x?x
x
x?x
x
x?x
由
F
?
(x)?(e?e)?(e?e)?1
得
F
??
(x )??(e?e)

222
∵
x?0
∴
F
??
(x)?0
∴
F
?
(x)?F
?
(0)?0
即
F(x)?F(0)?0

令
b?aa? ba?bb?a
1
x
x?xx?x
∴
e?e?(e?e?2)?0< br>即
e
2
?e
2
?(b?a)(e
2
?e2
?2)

4
2
a?b
1
baba
∴
e?e?(b?a)(e?e?2e
2
)
………………14分
4< br>另证：设
b?lnm
,a?lnn
，则
e
ba
a?b
2
?mn(0?n?m)
，
a?b
1
m?n1
b a
不等式
e?e?(b?a)(e?e?2e
2
)
等价于
? (m?n?2mn)
………11分
4
lnm?lnn4
m
?12(t?1)
m?n1m1m
m
即令
?lnt
即
?ln ?
n
?ln
?t(t?1)
，则只要证
t?1
2
m ?n
4n
mn
n
?1
n
?(t?1)
2
2 (t?1)2(t?1)
?0
即
m(t)?m(1)?0

?lnt ?0
又令
m(t)??lnt
，则
m
?
(t)?
t (t?1)
2
t?1t?1
a?b
1
ba
∴
e?e?(b?a)(e?e?2e
2
)
………………14分
4
ba

?
12
?
?
?
55?
?1
21（1）（I）当
a?2,b?3
时，M的行列式det(M) =-5，故所求的逆矩阵
M???
. …3分
31
?
?
?
??
5
??
5
（II）设曲线
C
上任意一点
P(x,y)
，它在矩阵
M
所对应的线性变换作用下得到点
?
x ?ay?x
?
，
?
1a
?
?
x
??
x'
?
?
，即
P
?
(x
?
,y
?
)
，则
?
?
?
????
?
b1
yy'bx?y?y，
??
?????
又点
P
?
(x?
，y
?
)
在曲线
C'
上，所以
x
?
2
?2y
?
2
?1
，则
(x?ay)
2< br>?2(bx?y)
2
?1
，
即
(1?2b
2
)x
2
?(2a?4b)xy?(a
2
?2)y
2
?1< br>为曲线C的方程，
又已知曲线
C
的方程为
x
2
?4 xy?2y
2
?1
，
?
1?2b
2
?1
比较系数可得
?
，解得
b?0，a?2
，∴
a?b?2
.
?
2a?4b?4
?
2
?
a?2?2
…………7分

（2）压缩后的参数方程分别为
?
?
x?cos
?，
?
x?
?
?
（
?
为参数）；
C< br>2
?
：
?
C
1
?
：
?
1< br>y?sin
?
?
?
y?
?2
?
?
2
t?2，
2
（
t
为参数）．
2
t
4
版权所有@高考资源网
2015高考压轴卷

高考资源网（） 您身边的高考专家

化为普通方程为：
C
1
?
：
x?4y?1
，
C
2
?
：
y?
22
12< br>x?
，……………6分
22
联立消元得
2x?22x?1?0
，
2
其判别式
??(22)?4?2?1?0
，……………7分
2< br>所以压缩后的直线
C
2
?
与椭圆
C
1
?仍然只有一个公共点，和
C
1
与
C
2
公共点个数相同．

（3）（Ⅰ）证明：
Qa?0,b?0
，由柯西不等式得
?
a
2
b
2
?
?
ab
2

?a?b
?
b?a
?
?
?
?
?
?
b??a?
?
??
?
ba
?
?
ba
?
?
ab
?
等号成立当且仅当，即
a?b
.
b a
ab
a
2
b
2
??a?b
.…………………4分 所以
ba
（Ⅱ）解：
Q0?x?1,?1?x?0

x
2
??1?x?x?1
， 由（Ⅰ）知，
x1?x
1当且仅当
1?x?x
，即
x?
时等号成立.
2
21?x
??
x
2
?
所以函数
y?
?
0 ?x?1
?
的最小值为1. …………………7分
x1?x


?
1?x
?
y?
2
版权所有@高考资源网
2015高考压轴卷