专升本高数与高中数学-高中数学必修三第二单元电子课本
由莲山课件提供http: 资源全部免费
第九课时 分段函数
【学习导航】
知识网络
?
分段函数定义<
br>?
分段函数
?
分段函数定义域值域
?
?
分段函数图象
学习要求
1、了解分数函数的定义;
2、学会求分段函数定义域、值域;
3、学会运用函数图象来研究分段函数;
自学评价
:
1、分段函数的定义
在函数定义域内,对于自变量
x的不同取值范围,有着不同的对应法则,这样的
函数叫做分段函数;
2、分段函数定义域,值域;
分段函数定义域各段定义域的并集,其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”)
3、分段函数图象
画分段函数的图象,应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象;
【精典范例】
一、含有绝对值的解析式
例1、已知函数y=|x-1|+|x+2|
(1)作出函数的图象。
(2)写出函数的定义域和值域。
【解】:
(1)首先考
虑去掉解析式中的绝对值符号,第一个绝对值的分段点x=1,第二个
绝对值的分段点x=-2,这样数
轴被分为三部分:(-∞,-2],(-2,1],(1,+
∞)
所以已知函数可写为分段函数形式:
?
?2x?1(x??2)
?
y=|x-1|+|x+2|=
?
3(?2?x?1)
?
2x?1
(x?1)
?
在相应的x取值范围内,分别作出相应函数的图象,即为所求函数的图象。(图<
br>由莲山课件提供http: 资源全部免费
由莲山课件提供http:
资源全部免费
象略)
(2)根据函数的图象可知:函数的定义域为R,值域为[3,+∞)
二、实际生活中函数解析式问题
例2、某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙
地,在乙地耽搁1
小时后,又以每小时4千米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中,离
甲地的距离S(千米)和时间t(小时)的函数关系式,并作出函数图象。
【解】:
先考虑由甲地到乙地的过程:
0≤t≤2时, y=6t
再考虑在乙地耽搁的情况:
2
3
?
6t(0?t?2)
?
S(t)=
?
12(2?t?
3)
?
?4t?24(3?t?6)
?
函数图象(略)
点评:某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示,须针对自变量的分段变化
情况
,列出各段不同的解析式,再依据自变量的不同取值范围,分段画出函数的
图象.
三、二次函数在区间上的最值问题
例3、已知函数f(x)=2x
2-2ax+3在区间[-1,1]上有最小值,记作g(a).
(1)求g(a)的函数表达式
(2)求g(a)的最大值。
【解】:
对称轴x=
a
2
分
a
2
??1
;
a
2
?[?1,1];
a
2
?1讨论
得
?
2a?5(a??2)
?
2
a
?
g(a)
?
3?(?2?a?2)
2<
br>?
?
?2a?5(a?2)
?
利用分段函数图象易得:g(a)
max
=3
由莲山课件提供http: 资源全部免费
由莲山课件提供http: 资源全部免费
点评:二次函数在闭区间上的最值问题往往结合图象讨论。
追踪训练
1、设函数
答案:18;
?6
?x
2
?2,(x?2)
f(x)=
?
?
2x,(x?2
)
则f(-4)=___________,若f(x
0
)=8,则x
0=________
或4。
2、已知函数
?
x
2
(
x?0)
?
f(x)=
?
1(x?0)
?
0(x
?0)
?
求f(1),f[f(-3)],f{f[f(-3)]}的值.
答案:1;1;1。
3、出下列函数图象
y=┃x+2┃-┃x-5┃
解:原函数变为
?
?7,
x?(??
,
?2]
?
y=
?
2x?3,x?(?2,5)
?
7,x?[5,??)
?
下面根据分段函数来画出图象
图象(略)。
4、已知函数
答案:22。
由莲山课件提供http: 资源全部免费
?
f
(0)?1
?
y=
?
f(1)?3
,则
?
f(n?
1)?f(n)?nf(n?1)
?
f(4)=_______.
由莲山课件提供http: 资源全部免费
5、已知函数f(x)=
x
2
?2x?1?
|x?1|
x?1
(1)求函数定义域;
(2)化简解析式用分段函数表示;
(3)作出函数图象
答案:(1)函数定义域为{x┃x
??1,x?R
}
( 2
)
f(x)=┃x-1┃+
|x?1|
x?1
?
?x,x??1
=
?
?
2?x,?1?x?1
?
?
x,x?1
(3) 图象(略)。
分层练习
?
|x?1|?2,|x|?1
1、设f(x)=?
?
1
,则f[f(
1
)]=(
?
?
1?x
2
,
|x|?1
2
)
A.
1
D.
25
2
B.
4
13
C. -
9
541
2、若f(
x)=
?
x
2
(x?0)
?
x(x?
?
(
?
(x)?
0)
x?
0)
?
,则当x<0时,f[
?
(x)]=(
?
x
?
?x
2
(x?0)
A. -x B.
-x
2
C.x D.x
2
?
x?2(x??
1)
3、已知,若f(x)=
?
?
x
2
(?1?x?2)则
x的取值范围是______.
?
?
2x(x?2)
4、下列各组函数表示同一函数的是( ) ①f(x)=|x|,g(x)=
x(x?0)
?
?
?
?x(x
?0)
2
②f(x)=
x?4
,g(x)=x+2
x?2
③f(x)=
x
2
,g(x)=x+2
由莲山课件提供http: 资源全部免费
)
由莲山课件提供http: 资源全部免费
④f(x)=
1?x
2
?x
2
?1
g(x)=0
x∈{-1,1}
A.①③ B.① C.②④ D.①④
2
5、某产品的
总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=3000+20x-0.1x,x∈(0,
2
40),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本的最低产量为( )
A.100台
B.120台 C.150台 D.180台
1]
?
1
,x
?[0
,
6、f(x)=
?
,使等式f[f(x)]=1成立的x值的范围
是_________.
x?3,x?[0
,
1]
?
7、若方程2
|x-1|-kx=0有且只有一个正根,则实数k的取值范围是__________.
拓展延伸
8、某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系式为<
br>P=
?
?
t?20(0?t?25,t?N*)
?
?t?10
0(25?t?30,t?N*)
,该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式为
Q=-t+40,(0
由莲山课件提供http: 资源全部免费