安徽省肥东县高级中学2020届高三1月调研考试数学(理)试题 Word版含答案

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2020
届
高三
年级
1月
调研

理科数学试题


注意事项：

1
．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2
．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3
．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第
I
卷

选择题（共
60
分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是 符合题目要求的。)
1.已知复数
则
C. D.

D.

与为共轭复数，其中，为虚数单位，
A. 1 B.
2.已知集合
A.

3.已知单位向量
B.
，则
C.
的夹角为，且，若向量
m
＝2-3，则|
m
|＝
A. 9 B. 10 C. 3 D.
4.下列说法正确的是
A. 若命题
B. “若
C. 在
均为真命题，则命题
，则
，“
为真命题
” ”的否命题是“若
”是“”的充要条件
”的否定为
的前项和为，若
“D. 命题“
5.已知正项等比数列
”
，则
A. B. C. D.
6.已知函数
则的取值范围是
A.

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- 1 -

.若不等式的解集中整数的个数为，
B. C. D.

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7.已知程序框图如图，则输出
i
的值为

A. 7 B. 9 C. 11 D. 13
8.曲线的一条切线
l
与轴三条直线围成的三角形记为，则外接圆面
积的最小值为
A. B. C.
，若
D.
，则函数

的单调递增区间为

9.已知为实数，
A.
D.
B.

C.
10.定义在< br>R
上的函数
f
?
x
?
?{
x,?1?x?0
1

fx?2?fx,gx?
，且，则方程
??????
x
2
,0?x?1
x?2
f
?
x
?
?g?
x
?
在区间
?
?5,9
?
上的所有实数根之 和最接近下列哪个数
A.
14
B.
12
C.
11
D.
10

11.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C 是该小区的一个出入口，且小
区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟 ，从D沿着DC走到C
用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为

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A．
505
B．
507
C．
5011
D．
5019

12.
f
?
x
?
是定义在
R
上的奇函数，对
?x?R
，均有
f
?
x?2?
?f
?
x
?
，已知当
x?0,1
?
时，
?
f
?
x
?
?2
x
?1
， 则下列结论正确的是（ ）
A.
f
?
x
?
的图象关于
x?1
对称 B.
f
?
x
?
有最大值1
C.
f
?
x
?
在
?1,3
上有5个零点 D. 当
x?2,3
时，
f
?
x
?
?2
第II卷 非选择题（共90分）
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.在
14.曲线
中，已知，若，则周长的取值范围为__________．
????
x?1
?1

在点（0,0）处的切线方程为______________；
的前项和为，已知
,则
，,则_____. 15.各项均为正数的等比数列
16.已知且______。
三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17. （本题12分）
在
求；
若，且面积，求的值．
中，内角的对边分别为，已知．
18. （本题12分）
uuuvuuuvuuuvuuuv
在
?ABC
中，
CA?CB?CA?CB
.
(1) 求角
C
的大小；
( 2)若
CD?AB
，垂足为
D
，且
CD?4
，求
? ABC
面积的最小值.
19. （本题12分）
在中，内角
中，
的对边分别为，，三边成等比数列，且面积
为1，在等差数列
（1）求数列
（2）数列
，公差为.
的通项公式；
满足，设为数列的前项和，求的取值范围.
20. （本题10分）
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某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域I）设计成半径为1km的 扇形
中心角（
，
）.为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域II）
，其中点，分和休闲区（区域III），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形
别在边和 上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万
元、20万元.
（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求的最大值；
（2）试问：当为多少时，年总收入最大？


21. （本题12分）
已知函数
(1)当
(2)若函数
时求函数
在
.
的最小值；
上恒成立求实数的取值范围.
22. （本题12分）
已知 函数
f
?
x
?
?
a
3
11
x?< br>?
a?1
?
x
2
?x?
?
a?R
?
.
323
（1）若
a?1
，求函数
f
?
x
?
的极值；
（2）当
0?a?1
时，判断函数
f?
x
?
在区间
0,2
上零点的个数.
??
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参考答案


题号
1
答案
D
13.
16.
1

17.
（1）；（2）
解析：（1）∵

，
2
A
3
C
4
D
5
B
6
D
7
D
8
C
9
B
10
A
11
B
12
C

14.

15.
10
∴b=2a（cosCcos+sinCsin），可得：b=acosC+asinC，
由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinAsinC，
可得：sin（A+C ）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinAsinC，
可得：cosA=sinA，可得：tanA=，
∵A∈（0，π），
∴A=
（2）∵，且△ABC面积=bcsinA=2c×c×，
∴解得：c=2，b=4，
∴由余弦定理可得：a=b+c-2bccosA=48+4-2×
a=2
18.< br>（1）
?C?
（2）
?
S
?ABC
?
min
?16

uuuvuuuvuuuvuuuv
uuuvuuuv
2< br>uuuvuuuv
2
CA?CB?CA?CB
解析：（1）由，两边平方
CA?CB?CA?CB
，
2
222
×2×=28，解得：
?< br>uuuvuuuv
2
uuuvuuuv
2
uuuvuuuvuuuvu uuv
CA?CB?CA?CB
即，得到
2CA?CB?0
，即
CA ?CB
。

????
所以
?C?
?
2
.

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CD4
?
，

sinAsinA
CD4
?
在直角
?BDC
中，
BC?
，

sinBsinB
（2）在直角
?ADC
中，
AC?
?< br>?
??
?
?
A?0,sinB?sin?A
又
?2
?
，所以
??
?cosA
，

2
????
所以
S
?ABC
?CA?CB??
由
A+B??
2
1
2
144816
???
，

2sinAsinBsinAcosAsin2A
得，

2A?
?< br>0,
?
?
，故
sin2A?
?
0,1
?，

?
4
当且仅当
A?
19.
（
1< br>）
时，

?
sin2A
?
max
?1
，从而
?
S
?ABC
?
min
?16
.

，
，
.
，


（
2
）

，， 解析：（
1
）
∵
∴
（
2
）
∵
∴
∵
∴
，
是关于n
的增函数
.
，

20.
（1）（2）
解析：（
1
）
∵
所以
，，，所以与全等
.
，观赏区的面积为
，要使得观赏区的
年收入不低于
5
万元，则要求
则的最大值为
.
（
2
）种植区的面积为
正方形面积为
设年总收入为万元，则
，即，结合可知，
，

，

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，

其中
当
所以当
，求导可得
时，
时，
，
.
递增；当时，，递增
.
取得最大值，此时年总收入最大
.
.

时，

，当且仅当，即时等号成立，

21.
(1)4.(2)

解析：（Ⅰ）当
所以．

在
上恒成立，

在
在
，则
，

，

，

上恒成立，

上恒成立，
（Ⅱ）由题意得
即
所以
即
设
∴
又
在
上 恒成立，

在上单调递减，在上单调递增，

解得，

．

所以实数的取值范围是
22.
解析：
32
（
1
）∵
f
?
x
?
?x?
?
a?1
?
x?x?
，

a
3
1
2
13
??
2
∴
f
?
?
x
?
?a x?
?
a?1
?
x?1?a
?
x?1
?
?
x?
a
?
，

??
1
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因为
a?1
，所以
0??1
，

当
x
变化时，

f
?
?
x
?,f
?
x
?
的变化情况如下表：

x

1
??
??,
??

a
??
1
a
1

a
?
1
?
?
,1
?

?
a
?
1
0
极小值

?
1,??
?

?

f
?
?
x
?

?

0
极大值

?

f
?
x
?

递增

递减

递增

2
1
?1
?
?2a?3a?1
由表可得当
x?
时，

f
?
x
?
有极大值，且极大值为
f
??
?
，

6a
2
a
?
a
?
当
x?1< br>时，

f
?
x
?
有极小值，且极小值为
f< br>?
1
?
??
（
2
）由（
1
）得f
?
?
x
?
?a
?
x?1
?
?
x?
a
?
。

?
?
?
1
?
1
?
a?1
?
.
6
∵
0?a?1
，∴
?1
.
11
?2，即0?a?
①

当时
，
f
?
x
?
在
?
0,1
?
上单调递增，在
?1,2
?
上递减

a2
1
a
又因为
f
?
0
?
??
3
0,f
?
1
???
6
?
a?1
?
0,f
?
2
??
3
?
2a?1
?
?0

所以
f?
x
?
在（0,1）和（1,2）上各有一个零点，

所以f
?
x
?
在
?
0,2
?
上有两个零点 。


② 当
1??2
，即
?a?1
时
，
f
?
x< br>?
在
?
0,1
?
上单调递增，在
?
1,a
?
上递减，
?
1
?
在
?
a
,2
?
上递增，

??
111
1
a
12
?
1
?
??
11
?
1
?
?
?
2a?1
??
a?1
?
?0

又因为< br>f
?
0
?
??0,f
?
1
?
??< br>?
a?1
?
0,f
??
?
2
36a6a??
所以
f
?
x
?
在
?
0,1
?
上有且只有一个零点，在
?
1,2
?
上没有零点，

所以在
?
0,2
?
上有且只有只有一个零点
.
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综上：

当
0?a?
时，

f
?
x
?
在
?
0,2
?
上有两个零点；
1
当
?a?1
时，

f
?
x
?
在
?
0,2
?
上有且只有一个零点。

2
1
2


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