高中数学集备注意问题-高中数学必修4人教版b版
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2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数学(理工农医类)
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本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页,时量120分钟,满分150分。
一、
选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要
求的.
1.复数
z?ig
?
1?i
?
i为虚数单位
在复平面上对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.第四象限
2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否
存在显著差
异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是
A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法
3.在锐角中
?ABC
,角
A,B
所对的边长分别为
a,b
.若
2asinB?3b,则角A等于
A.
??
?
???
B.
C. D.
12
643
?
y?2x
?
4.若变量
x,y
满足约束条件
?
x?y?1
,
则x?2y的最大值是
?
y??1
?
A.
-
55
5
B.
0
C. D.
322
2
5.函数
f
?
x
?
?2lnx
的
图像与函数
g
?
x
?
?x?4x?5
的图像的交点个数为
A.3 B.2 C.1
D.0
6. 已知
a,b
是单位向量,
agb?0
.若向量c
满足
c?a?b?1,
则
c
的取值范围是
,,2+1
?
B.
?
2?1,,2+2
?
A.
?
2?1
????
,2+1
?
D.
?
1,,2+2
?
C.
?
1,
????<
br>7.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积
不可能
等于
...
A.
1
B.
2
C.
2-12+1
D.
22
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8.在等腰三角形ABC
中,点
P
是边
AB
上异于
A,B
的一点
,光线从点
P
出发,
AB=AC?4,
经
BC,CA
发射后
又回到原点
P
(如图
1
).若光线
QR
经过
?AB
C
的中心,则
AP
等
A.
2
B.
1
C.
84
D.
33
二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.
(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题计分)
?
x?t,
?
x?3cos
?
,
l:
?
(t为参数)过椭圆C:
?
9.在平面直角坐标系
xoy
中,若
?<
br>y?t?a
?
y?2sin
?
(
?
为参数)的
右顶点,则常数
a的值为
.
10.已知
a,b,c?,a?2b?3c?6,则a?4b?9c的最小值为
12 .
11.如图2,在半径为
7
的
eO
中,弦
AB,CD
相交于点
P,PA?PB?2
,
PD?1
,则圆心
222
O
到弦
CD
的距离为 .
图2
必做题(12-16题)
12.若
T
?
0
x
2<
br>dx?9,则常数T的值为
.
13.执行如图3所示的程序框图,如果输入
a?1,b?2,则输出的a的值为
9 .
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开始
输入
a,b
是
输出
a
结束
图3
a?8?
否
a?a?b
x
2
y
2
14.设
F
1
,F
2
是双
曲线
C:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的两个焦点,P是
C上一点,若
ab
PF
1
?PF
2
?6a,
且?PF
1
F
2
的最小内角为
30
o
,则C的离
心率为___。
15.设
S
n
为数列
?
a
n的前n项和,
S
n
?(?1)a
n
?
n
?1
?
,n?N,
则
n
2
(1)
a
3
?
_____; (2)
S
1
?S
2
?????S
100
?
_______
____。
16.设函数
f(x)?a?b?c,其中c?a?0,c?b?0.
(1)记集合
M?
?
(a,b,c)a,b,c不能构成一个三角形的三条边
长,且a=b
?
,则
xxx
(a,b,c)?M
所对应的
f
(x)
的零点的取值集合为____。
(2)若
a,b,c是?ABC的三条边长,则下列结论正确的是
.(写出所有正确
结论的序号)
①
?x?
?
??,1
?<
br>,f
?
x
?
?0;
②
?x?R,使xa,b,c不能构成一个三角形的三条边长;
③若
?ABC为钝角三角形,则?x?
?
1,2
?
,使f
?
x
?
?0.
三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17
.(本小题满分12分)已知函数
f(x)?sin(x?
xxx
??
x)?cos(x?).g(x)?2sin
2
。
632
(I)若
?
是第一象限角,且
f(
?
)?
33
。求
g(<
br>?
)
的值;
5
(II)求使
f(x)?g(x)
成立的x的取值集合。
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18.(本
小题满分12分)某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指
纵、横的交叉点记忆
三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经
验,一株该种作物的年收获量Y(单位
:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如
下表所示:
X
Y
1
51
2
48
3
45
4
42
这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。
(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;
(II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望。
<
br>19.(本小题满分12分)如图5,在直棱柱
ABCD?A
1
B
1<
br>C
1
D
1
中,ADBC
,
?BAD?90
o
,AC?BD,BC?1
,
AD?AA
1
?3
。
(I)证明:
AC?B
1
D
; (II)求直线
B1
C
1
与平面ACD
1
所成角的正弦值。
20.(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N
的任一路
径成为M到N的一条“L路径”。如图6所示的路径
MM
1
M
2
M<
br>3
N与路径MN
1
N
都
是M到N的“L路径”。某地有三个新
建的居民区,分别位于平面xOy内三点
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A(3,20),B(?10,0),C(14,0)
处。现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建
一个文化中心。
(I)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);
(II)若以
原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确
定点P的位置,使其到
三个居民区的“L路径”长度值和最小。
21.(本小题满分13分)
过抛物线
E:x?2py(p?0)
的焦点F作斜率分别为
k
1
,
k
2
的两条不同的直线
l
1
,l
2
,且
2
k
1
?k
2
?2
,
l
1
与E相交于点A,B,
l
2
与E
相交于点C,D。以AB,CD为直径的圆M
,
圆N(M,N为圆心)的公共弦所在的直线记为
l
。
uuuuruuur
2
(I)若
k
1
?0,k
2
?0
,证明;
FM
g
FN?2P
;
(II)若点M到直线
l
的距离的最小值为
22.(本
小题满分13分)已知
a?0
,函数
f(x)?
75
,求抛物线E的
方程。
5
x?a
。
x?2a
(I)记
f(x)在区间<
br>?
0,4
?
上的最大值为g(a),
求
g(a)
的表
达式;
(II)是否存在
a
,使函数
y?f(x)
在区间
?
0,4
?
内的图像上存在两点,在该两点处的切
线相互垂直?若存在,求<
br>a
的取值范围;若不存在,请说明理由。
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参考答案
一、选择题
1.
B解: z = i·(1+i) = i –
1,所以对应点(-1,1).选B
2.
D解:因为抽样的目的与男女性别有关,所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。
3.
D解:
由2asinB=3b得: 2sinA ?sinB =
3?sinB?sinA =
3
??
,A??A =
223
4.
C解:区域为三角形,直线u = x + 2y 经过三角形顶点
(
5.
B解:二次函数
g
125
,)时,u?最大
333
?
x
?
?x
2
?4x?5
的图像开口向
上,在x轴上方,对称轴为x=2,g(2) =
1; f(2)
=2ln2=ln4>1.所以g(2) < f(2), 从图像上可知交点个数为2
6.
A解:
?a,b是单位向量,?|a?b|?2,|c-a?b|?|(a?b
)-c|?1.即一个模为2的向量与c向量之差
的模为1,可以在单位圆中解得
2-1?|c
|?
7.
C解: 由题知,正方体的棱长为1,
2?1
。
正视图的高为1,宽在区间[1,2]上,所以正视图的面积也在区间[1,2]上.而
。
8.
D解: 使用解析法。
2-1
?1
2
244
设P(x,0),BC的中点D(2,2).??ABC的重心O在中线的处,?O(,).
333
4444(k?2)4(2k?1)
设直线RQ的斜率为k,则其方程为y?k(x?)
??R(0,(1?k)),Q(,)
3333(k?1)3(k?1)
。
k
RP
?
4(k?1)4(2k?1)
,k
QP
?,由题知k?k
RP
?0,k?k
QP
?1?(2k?1)(k?
1)?0
34(k?2)?3x(k?1)
?
k?
?
?
k?
1
?
?
?
,
?
x?0(舍)
?
?
x?
?
?
9.
3 解:
1
2
43
x
2
y
2
直线l方程:y?x?a,椭圆方C程:??1的右
顶点(?3,0)??3?0?a?a?3
94
.
10.
12 解:
考察柯西不等式
2
(1
2
?
1
2
?1
2
)?(a
2
?(2b)
2
?(
3c)
2
)?(1?a?1?2b?1?3c)?36?a
2
?4b
2
?9c
2
?12
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2
且当a?2,b?1,c?时,取最小值
.
3
11.
3
解: 由相交弦定理得:
AP?PB?DP?P
C?PC?4,DC?5
,圆心到
CD
2
PC
2
3
。
)?
22
T
的距离
d?r
2
?(
12
.
3 解:
?
T
0
x
3
2
xdx?<
br>3
0
T
3
??9?T?3
3
13.
9 解:
a?1?2?2?2?2?9
14.
3
解: 设P点在右支上,
m?|PF
1
|
,n?|PF
2
|,则
?
?
m?n?6a
?m?4a,n?
2a
?
m?n?2a
16a
2
?4c
2
?4a
2
13ac3
由题知,?PF
1
F
2
中,?
PF
1
F
2
?30?.由余弦定理得:cos30???(?)?
2
?8ac4ca2
?e?
15.
?
c
?3
a
11
1
;
(
100
?1)
1
6
32
解析:由题知,n=1时,a
1
=S
1
=
?
111
;n是奇数时,
S
n
??a
n
?
n
且S
n
?a
n?1
?a
n?1
?
n?1<
br>.
422
111111
从而
S
n
??
n?
1
,a
n
?
n?1
?
n
??
n?1
,?a
3
??
4
??
;
2222216
11<
br>所以n是偶数时,S
n
=0,n是奇数时,{S
n
}是
首项为
?,公比为
的等比数列.
44
111
11
所以S
1
+ S
2
+…+
S
100
=
?(1?
50
)(1?)?(
100
?
1)
.
444
32
16.(1)
(0,1]
解:
acln2
由题知c?a,c?a?b?2a,令f(x)?2a
x
?c
x
?c
x
[2()
x
?1]?0?()
x<
br>?2?x?
c
ca
ln
a
ccln2ln2ln2
?
?2.又?ln?ln2?0???0,?x??(0,1]
。所以f(x)的零点集合为
c<
br>aaln2
ln
c
ln
aa
(0,1]
(2)
①②③ 解:
ababababa?b?c
f(x)?c
x
[()
x
?()
x
?1],??1,?1,??x?(??,1)
,()
x
?()
x
?1?()
1
?()
1
?1??0
ccccccccc
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所以①正确。
令x?1,a?b?1,c?2,则a
x
?1,b
x
?1,c
x
?2不能构成三角形的三条边长.
所以②正确。
若三角形为钝角三角形,则令a
2
?b
2
-
c
2
?0;f(1)?a?b?c?0,f(2)?a
2
?b
2-c
2
?0
?x?(1,2),使f(x)?0
。所以③正确。
17.
解:
(I)
f(x)?
311333
.
sinx?cosx?cosx?sin
x?3sinx?f(
?
)?3sin
?
?
22225
3<
br>?
4
?
1
?sin
?
?,
?
?(0
,)?cos
?
?,且g(
?
)?2sin
2
?1?cos
?
?
52525
(II)
f(x)?g(x)?3sin
x?1?cosx?
31
?
1
sinx?cosx?sin(x?)?
2262
?x?
?
6
?[2k
?
?
?
6
,2k
?
?
5
?
2
?
]?x?
[2k
?
,2k
?
?],k?Z
63
18.
解: (Ⅰ) 由图知,三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.
从三角形上顶点按逆时针方向开始,分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1对格点,
共8对格点恰好“相
近”。
所以,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率
P?
82
?
12?39
(Ⅱ)三角形共有15个格点。
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个,坐标分别为(4,0),(0,4)。
所以P(Y?51)?
4
15
4
15
6
15
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个,坐标分别为(0,0),
(1,3),
(2,2),(3,1)。
所以P(Y?48)?
与周围格点的距离不
超过1米的格点数都是3个的格点有6个,坐标分别为(1,0), (2,0),
(3,0),(0,1,) ,(0,2),(0,3,)。
所以P(Y?45)?
与
周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个,坐标分别为(1,1), (1,2),
(2,1)。
所以P(Y?42)?
如下表所示:
X
Y
频数
概率P
3
15
1
51
2
2
48
4
3
45
6
4
42
3
2
15
4
15
6
15
3
15
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E(Y)?51?
246310
2?192?270?126690
?48??45??42????46
5
?E(Y)?46
.
19.
解: (Ⅰ)
?ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
是直棱柱
?BB
1
?面ABCD,且BD?面ABCD?BB
1
?AC
又?AC?BD,且BD?BB
1
?B,?AC?面BDB
1
。?B1
D?面BDB
1
,?AC?B
1
D
.
(证
毕)
(Ⅱ)
?B
1
C
1
BCAD,?直线B
1
C
1
与平面ACD
1
的夹角即直线AD与平面ACD1
的夹角
?
。
建立直角坐标系,用向量解题。设原点在A点,AB为Y轴正半轴,AD为X轴正半轴。
设A
?
0,0,0
?
,D(3,0,0),D
1
(3,
0,3),B(0,y,0),C(1,y,0),则AC?(1,y,0),BD?(3,?y,0),?AC
?BD
AC?BD?0?3?y
2
?0?0,y?0?y?3.?AC?(
1,3,0),AD
1
?(3,0,3).
?
?
n?AC?0
设平面ACD
1
的法向量为n,则
?
?.平面ACD
1
的
一个法向量n?(-3,1,3),AD?(3,0,3)
?
?
n?AD
1<
br>?0
?平面ACD
1
的一个法向量n?(-3,1,3),AD?(
3,0,0)?sin
?
?|cos?n,AD?|?
3321
?
7
7?3
所以BD
1
与平面ACD
1
夹角的正弦值
为
20.
解:
设点P(x,y),且y?0.
21
。
7
(Ⅰ)
点P到点A(3,20)的“L路径”的最短距离d
,
等于水平距离?垂直距离,即d?|x - 3| + |y -
20|
,其中
y?0,x?R.
(Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力,以及绝对值的基本知识。
点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h +
垂直距离
之和的最小值v。且h和v互不影响。显然当y=1时,v =
20+1=21;
显然当x?[?10,14]时
,
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水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x +
|x-3|
?24
,且当x=3时,h=24.因此,当P(3,1)时,
d=21
+24=45.
所以,当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P到A,B,C三点的“L路径”长
度之和d的最小值为45.
21.
解: (Ⅰ)
p
F(0,)
.设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
),D(x
4
,y
4
),M(x
12
,y
12
),N(x
34
,y
34
),
2
p
直线l
1
方程:y?k
1
x?,
与抛物线E方程联立,化简整理得:?x
2
?2pk
1
x?p
2?0
2
x?xp
22
?x
1
?x
2
?2k
1
p,x
1
?x
2
??p
2
?0?x
12
?
12
?k
1
p,y
12
?k
1
p??FM?(k
1
p,?k
1
p)
22<
br>x?xp
22
同理,?x
34
?
12
?k
2
p,y
34
?k
2
p??FN?(k
2
p,?k<
br>2
p)
.
22
?FM?FN?k
1
k
2<
br>p
2
?k
1
k
2
p
2
?p
2
k
1
k
2
(k
1
k
2
?1)<
br>
?k
1
?0,k
2
?0,k
1
?k
2
,2?k
1
?k
2
?2k
1
k
2?k
1
k
2
?1,?FM?FN?p
2
k
1<
br>k
2
(k
1
k
2
?1)?p
2
?1
?(1?1)?2p
2
所以,
FM?FN?2p
2
成立. (证毕)
(Ⅱ)
22
1pp1p
22
设圆M、N的半径分别为r
1<
br>,r
2
?r
1
?[(?y
1
)?(?y
2<
br>)]?[p?2(k
1
p?)]?k
1
p?p,
22222<
br>
?r
1
?k
1
p?p,同理2r
1
?k<
br>2
p?p,
22
设圆M、N的半径分别为r
1
,r
2
.
则
M、N的方程分别为(x?x
12
)
2?(y?y
12
)
2
?r
1
,
(
x?x
34
)
2
?(y?y
34
)
2
?r
2
,直线l的方程为:
2
2
2(x
34
?x
12
)x?2(y
34
?y
12
)y?x
12
?
x
34
?y
12
?y
34
-r
1
?r2
?0
.
?2p(k
2
?k
1
)x?2p(
k
2
?k
1
)y?(x
12
?x
34
)(
x
12
?x
34
)?(y
12
?y
34
)
(y
12
?y
34
)?(r
2
-r
1
)(
r
2
?r
1
)?0
2222222222
222
222
22
?2p(k
2
?k
1
)x?2p(k
2
?k
1
)y?2p
2
(k
1
?k
2
)?p
2
(k
1
?k
2
)(k
1
?k<
br>2
?1)?p
2
(k
2
?k
1
)(k
1
?k
2
?2)?0
?x?2y?p?p(k
1
?k2
?1)?p(k
1
?k
2
?2)?0?x?2y?0
2222
11
2(?)
2
?(?)?1
x?2y
1
2
2k?k
1
?17p7
44
点M(x
12
,y<
br>12
)到直线l的距离d?|
12
|?p?||?p???5
5558
5
5
2
1
?p?8?抛物线的方程为x
2
?16y
。
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3a
?
x?a
?1-,当x??2a,或x?a时,是单调递增的。
?
?
x?2a
x?2a
22.
解:
a?0,f(x)?
?
?
?
x?a
?-1?
3a
,当?2a?x?a时,是单调递减的。
?
x?
2a
?
x?2a
(Ⅰ)
由上知,当a?4时,f(x)在x?[0,4]上单
调递减,其最大值为f(0)?-1?
当a?4时,f(x)在[0,a]上单调递减,在[
a,4]上单调递增。
3a1
?
2a2
令f(4)?1-
3a1
?f(0)?,解得:a?(1,4],即当a?(1,4]时,g(a)的最大值为f
(0);
4?2a2
当a?(0,1]时,g(a)的最大值为f(4)
3
a
?
1-,当a?(0,1]时
?
?
4?2a
综上,g(a
)?
?
?
1
,当a?(1,??)时
?
?2
(II)由前知,y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的。因此,若在图像上存在
两
点
P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y<
br>2
)
满足题目要求,则P,Q分别在两个图像上,且
f'(x
1
)?f'(x
2
)??1
。
?
3a
?
(x?2
a)
2
,当x??2a,或x?a时
?
?
?3a
f'(x)
?
?
,当?2a?x?a时
2
(x?2a)
?
?
0?a?4
?
?
不妨设
3a?3a
???1,x
1
?(0,a),x
2
?(a,8]?3a?(x
1
?2a)(x2
?2a)
(x
1
?2a)
2
(x
2
?2a)
2
2
?
3a?2ax?4a
2
?a3a?2ax
2
?4a
2
?
0?
2
?0?x<
br>1
x
2
?2a(x
1
?x
2
)?4a?3a
?x
1
??
?
x
2
?2a
x
2
?2a
?
a?x?8
2
?
?
0?3?2x
2
?4a
?
2x
2
?3?4a
?
2?4a?3?4
a
11
???
?
?
1?x
2
?2a?
?<
br>2?4a?2x
2
?
?
2a?3?4a?a?,且0?a?4?a?(
0,)
32
?
a?x?8
?
2a?2x?16
?
2
?4a?16
22
?
??
所以,当
a?(0,)
时,函数
y?f(x)
在区间
?
0,4
?
内的图像上存在两
点,在该两点处的
切线相互垂直。
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