2013浙江高考数学理科试题及答案

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理科）
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一．选择题
1．已知
i
是虚数单位，则
(?1?i)(2?i)?

A．
?3?i
B.
?1?3i
C.
?3?3i
D.
?1?i

2．设集合
S?{x|x??2},T?{x|x?3x?4?0}
，则
(C
R
S)?T?

A．
(?2,1]
B.
(??,?4]
C.
(??,1]
D.
[1,??)

3．已知
x,y
为正实数，则
A.< br>2
lgx?lgy
?2
lgx
?2
lgy
B.
2
lg(x?y)
?2
lgx
?2
lgy

C.
2
lgx?lgy
?2
lgx
?2
lgy
D.
2
lg(xy)
?2
lgx
?2
lgy
4．已知函数
f(x)?Acos(
?
x?
?
)(A?0,?
?0,
?
?R)
，则“
f(x)
是奇函数”是
?
?
A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是
2
?
2
的
9
，则
5
A.
a?4
B.
a?5
C.
a?6
D.
a?7

开始
S=1，k=1
是
k>a?
否
1
S=S+
k(k+1)
k=k+1
输出S
结束
（第5题图）

6．已知
?
?R,sin
?
?2cos
?
?
10
，则
tan2
?
?

2
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43
34
B. C.
?
D.
?

43
34
1
7．设
?ABC,P
0
是边
AB
上一定点，满足
P
0
B?AB
，且对于边
AB
上任一点
P
，恒有
4
uuuruuuruuuuruuuur
。则
PB?PC?P
0
B?PC
0
A.
A.
?ABC?90
0
B.
?BAC?90
0
C.
AB?AC
D.
AC?BC

8．已知< br>e
为自然对数的底数，设函数
f(x)?(e?1)(x?1)(k?1,2)
，则
A．当
k?1
时，
f(x)
在
x?1
处取得极小值 B．当
k?1
时，
f(x)
在
x?1
处取得
极大值
C．当
k?2
时，
f(x)
在
x?1
处取得极小值 D．当
k?2
时，
f(x)
在
x?1
处取得
极大值
xk
x
2
?y
2
?1
与双曲线
C
2
的公共焦点，
A,B
分别是
C
1
，
C
2
在第9．如图，
F
1
,F
2
是椭圆
C
1< br>:
4
二、四象限的公共点。若四边形
AF
1
BF
2< br>为矩形，则
C
2
的离心率是
y

A

F
1
O

B

（第9题图）

F
2
x


A.
2
B.
3
C.
6
3
D.
2
2
10．在空间中，过点
A
作平面
?
的垂 线，垂足为
B
，记
B?f
?
(A)
。设
?
,
?
是两个不同的
平面，对空间任意一点
P
，
Q
1
?f
?
[f
?
(P)],Q
2
?f
?[f
?
(P)]
,恒有
PQ
1
?PQ
2
，则
A．平面
?
与平面
?
垂直 B. 平面
?
与平面
?
所成的（锐）二面角为
45

C. 平面
?
与平面
?
平行 D.平面
?
与平面
?
所成的（锐）二面角为
60

二、填空题
11．设二项式
(x?
0
0
1
5)
的展开式中常数项为
A
，则
A?
________。
3
x
2
12．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于 ________
cm
。
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4

3

2

正视图

3

俯视图

3

侧视图

（第12题图）


?
x?y?2?0< br>?
13．设
z?kx?y
，其中实数
x,y
满足
?< br>x?2y?4?0
，若
z
的最大值为12，则实数
?
2x?y ?4?0
?
k?
________。
14．将
A,B,C,D,E ,F
六个字母排成一排，且
A,B
均在
C
的同侧，则不同的排法共有
________种（用数字作答）
2
15．设
F
为抛物线
C:y?4x
的焦点，过点
P(?1,0)
的直线
l
交抛物线C
于两点
A,B
，点
Q
为线段
AB
的中点，若
|FQ|?2
，则直线的斜率等于________。
1
，则
sin?BAC?
________。
3
uruu rruruururuur
?
|x|
17．设
e
1
,e2
为单位向量，非零向量
b?xe
1
?ye
2
,x,y ?R
，若
e
1
,e
2
的夹角为，则
r
的< br>6
|b|
0
若
sin?BAM?
16
．
?A BC
中，
?C?90
,
M
是
BC
的中点，
最大值等于________。
三、解答题
18．在公差为
d
的等差数列
{a
n
}
中，已知
a
1
?10
，且
a
1
,2a
2
?2,5a
3
成等比数列。
（1）求
d,a
n
； （2）若
d?0
，求
|a
1
|?|a
2
|?|a
3
|???|a
n< br>|.




19．设袋子中装有
a
个红球 ，
b
个黄球，
c
个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一
个黄 球2分，取出蓝球得3分。
（1）当
a?3,b?2,c?1
时，从该袋子中任取（ 有放回，且每球取到的机会均等）2个
球，记随机变量
?
为取出此2球所得分数之和， .求
?
分布列；
（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变 量
?
为取出此球所
得分数.若
E
?
?
55
,D
?
?
，求
a:b:c.

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20．如图，在四 面体
A?BCD
中，
AD?
平面
BCD
,
BC?C D,AD?2,BD?22
.
M
是
AD
的中点，
P

是
BM
的中点，点
Q
在线段
AC
上，且
A Q?3QC
.
（1）证明：
PQ
平面
BCD
；（2）若二 面角
C?BM?D
的大小为
60
0
，求
?BDC
的
大小.
A

M

P

Q

B

C

（第20题图）

D



x
2
y
2
21．如图，点
P(0,?1)
是椭圆
C
1
:
2
?
2
?1(a?b?0)
的一个顶点，
C
1
的长轴是圆
ab
C
2
:x2
?y
2
?4
的直径.
l
1
,l
2< br>是过点
P
且互相垂直的两条直线，其中
l
1
交圆
C< br>2
于两点，
l
2
交椭圆
C
1
于另一点
D

（1）求椭圆
C
1
的方程； （2）求
?ABD
面积取最大值时直线
l
1
的方程.
y

l
1
D

O

P

A

（第21题图）

l
2
B

x





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22．已知
a?R
，函数
f(x)?x?3x?3ax?3a?3.

（1）求曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线方程；（ 2）当
x?[0,2]
时，求
|f(x)|
的
最大值。




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参考答案
一、选择题
1．B【解析】原式
??2?i?2i?i
2．C【解析】如
2
??2?3i?1??1?3i< br>，所以选B；
1所示，由已知得到图
T?{x|?4?x?1},C
R
s?{x|x??2}?(C
R
s)UT?(??,1]
。所以选C
3． D【解析】此题中，由
2
lgx
?2
lgy
?2
lgx?l gy
?2
lgxy
。所以选D；
?
2
(k?Z)
，所以不是充分条

4．B【解析】当f(x)?Acos(
?
x?
?
)
为奇函数时，
??k
?
?
件；反之当
?
?
?
2
时， 函数
f(x)?Acos(
?
x?
?
2
)??Asin?
x
是奇函数，是必要条件，
所以选B。
【考点定位】充分条件的判断和三角函数的奇偶性性质知识点；
函数
y?Asin(
?
x?
?
)
，若是奇函数，则
?
?k
?< br>(k?Z)
；若是偶函数，则
?
?k
?
?
?
2
(k?Z)
；
函数
y?Acos(
?
x?
?< br>)
，若是奇函数，则
?
?k
?
?
?
2
(k?Z)
；若是偶函数，则
?
?k
?
(k?Z)
；
充分和必要条件判断的三种方法
（1）定义法（通用的方法）：
①若
p?q,q
?
p
，则
p
是
q
的充分不必要条件；
②若
p
?
q,q?p
，则
p
是
q
的必要不充分条件；
③若
p?q,q?p
，则
p
是
q
的充分必要条件；
④若
p
?
q,q
?
p
，则
p
是< br>q
的既不充分又不必要条件；
（2）集合判断法：若已知条件给的是两个集合问题，可以利用此方法判断：
设条件
p
和
q
对应的集合分别是
A,B

①若
A?B
，则
p
是
q
充分条件；若
A?B
，则
p
是
q
的充分不必要条件；
②若
A?B
， 则
p
是
q
必要条件；若
A?B
，则
p
是< br>q
的必要不充分条件；
③若
A?B
，则
p
是
q
的充分必要条件；
④若
A?B,B?A
，则
p
是
q
的既不充分又不必要条件 ；
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（3）命题真假法：利 用原命题和真命题的真假来判断：设若
p
则
q
为原命题，
①若原命题真，逆命题假，则
p
是
q
的充分不必要条件；
②若原命题假，逆命题真，则
p
是
q
的必要不充分条件；
③若原命题真，逆命题真，则
p
是
q
的充分必要条件；
④若原命题假，逆命题假，则
p
是
q
的既不充分又不必要条件；
5．A【解析】由图可知
111111119
S?1?(1?)?(?)?(?)? ????(?)?2???k?4
22334kk?1k?15
，即程序执行到
k?4
，当
k?5
时程序运行结束，即最后一次运行
k?4
；所以选A
6．C解：由已知得到：
5sin
2
?
?4sin
?cos
?
?4cos
2
?
5
sin
?
?4sin
?
cos
?
?4cos
?
???
22< br>22
sin
?
?cos
?
22
tan
2?
?4tan
?
?451
???tan
?
??或tan
?
?3
，所以
23
tan
2
?
?11
2?(?)
3
??
3
或tan2
?
?
2?3
??
3
，所以选C；
tan2
?
?
1< br>41?94
1?
9
7．D解：利用特殊值法可以解决，如
CP?AB< br>或
PB?PA
即可求出答案，所以选D；
222
2
8．C解 ：当
k?2
时，
f(x)?(e?1)(x?1)?f
?
(x)?2 (e?1)(x?1)
，且
e?1?0
，
所以当
x?1
时，
f
?
(x)?0
，函数递增；当
x?1
时，
f?
(x)?0
，函数递减；所以当
x?1
时函数取得极小值；所以选C；
9．D解：由已知得
F
1
(?3,0),F
2
(3,0)< br>，设双曲线实半轴为
a
，由椭圆及双曲线
?
|AF
2
|?|AF
1
|?4
?
2
的定义和已知得到：
?
| AF
2
|?|AF|?2a?a?2
，所以双曲线的离心率为
1
?< br>22
AF|?|AF|
?
12
?12
c36
??，所以选D；
a2
2
10．A解：设
f
?
(P)?C ,f
?
(P)?D,
所以
Q
1
?f
?
(C ),Q
2
?f
?
(D)
，由已知得到：
PC?
?< br>七彩教育网() 全国最新教学资源交流平台，自主开店、自主经营！

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于
C
，
PD?
?
于
D
，
CQ
1
?
?< br>于
Q
1
，
DQ
2
?
?
于
Q
2
，且
PQ
1
?PQ
2
恒成立，即
Q1
与
Q
2
重合，即当
?
?
?
时满足； 如图2所示：
11．
?10
解：由
T
r?1
?
5?r
r
C
5
x
2

(?x
?
1
3
)
r
?
5?r1
?r
rr
23
(?1)C
5
x
，由已知得到：
5?rr
3
??0?r?3
，所以
A?(?1)
3
C
5
??10
，所以填-1 0；
23
12．24 解：由已知得此几何体的直观图是一个底面是直角三角形且两直角边 分别是3,4
高是5的直三棱柱在上面截去一个三棱锥，三棱锥从一个顶点出发的三条棱两两垂直，底面
边长分别是3,4高是3，如图3所示，红色为截去的三棱锥，所以体积为
111
5? ?3?4??3??3?4?24
；
232

13．2 解：此不等式表 示的平面区域如下图4所示：
y
当
k
当
k
??kx?z，
直线
l
0
:y??kx
平移到A点时目标函数取最大值，即
4k?4?12?k?2
；
?0
时，
直线
l
0:y??kx
平移到A或B点时目标函数取最大值，可知k取值是大于零，
?0
时 ，
所以不满足，所以
k?2
，所以填2；
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14．480 解：对特殊元素
C
进行分类讨论即可，即
C
在第1,2,3，4,5,6，位置上讨论，其
中在第1和第 6位置上，在第2和第5位置上，在第3和第4位置上结果是相同的，在第1
5142323
位 置上有
A
5
种，在第2位置上有
A
3
A
4
，在第3位置上有
A
2
A
3
?A
3
A
3< br>，所以共有
5142323
2(A
5
?A
3
A
4
?A
2
A
3
?A
3
A
3
)? 480
，所以填
480
；
15．
?1
解：由已知得到 ：
F(1,0)
，设
l:y?k(x?1)
，
A(x
1,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，由
?
y?k(x?1)
2(2?k
2
)
2222
，所以
?kx?2x(k?2)?k=0?x
1
?x
2
?
?
2< br>2
k
?
y?4x
x
1
?x
2
2?k
2
x
1
?x
2
22?k
2
2
?, k(?1)??Q(
2
,)
，由已知得到
2
22kk
kk
2?k
2
211
|QF|?4?(
2
?1)
2?()
2
?4?
4
?
2
?0?k??1
，所以 答案是
?1

k
kkk
2
16．
6
3
解：如图5所示，设
CM?MB?x,AC?y?AM?x
2
?y
2
,AB?4x
2
?y
2
cos?BAM?1?sin
2
?BAM?
，由 已知得到
22
，在
?AMB
中，由余弦定理得到：
3
222 2222
22
(x?y)?(4x?y)?x
2x6
??y
2
?2x
2
?sin?BAC??
33
2x
2
?y
2
4x
2
?y
2
4x
2
?y
2
； 所以填
6
；
3
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r
2
r
2
uru ur
2
r
22
3
2
17．2 解：由已知得到：
b ?|b|?(xe
1
?ye
2
)?|b|?x?y?2xy??
< br>2
|x|
2
x
2
1
?
r
2
?
222
x?y?3xyy3y
b
1?
2
?
xx
，设
y1x
2
2
t??(t?3t?1)
min??
r
2
的最大值为4，所以答案是2；
x4
|b|
18．解：（Ⅰ）由已知得到：
(2a
2
?2 )
2
?5a
1
a
3
?4(a
1
?d?1)
2
?50(a
1
?2d)?(11?d)
2
?25(5?d )

?
d?4
?
d??1
?121?22d?d?125? 25d?d?3d?4?0?
?
或
?
?
a
n
?4n ?6
?
a
n
?11?n
22
；
（Ⅱ）由（1）知，当
d
①当
1?n?11
时，
?0
时，
a
n
?11?n
，
n(10?11?n )n(21?n)
?
22
a
n
?0?|a
1
|?| a
2
|?|a
3
|?ggg?|a
n
|?a
1?a
2
?a
3
?ggg?a
n
?

②当
12?n
时，
a
n
?0?|a
1
| ?|a
2
|?|a
3
|?
ggg
?|a
n
|?a
1
?a
2
?a
3
?
ggg
?a11
?(a
12
?a
13
?
ggg
?a
n
)
11(21?11)n(21?n)n
2
?21n?220
? 2(a
1
?a
2
?a
3
?
ggg
?a11
)?(a
1
?a
2
?a
3
?
gg g
?a
n
)?2???
222

?
n(21?n)
,(1?n?11)
?
2
?
gg
?|a
n
|?
?
2
所以，综上所述：
|a
1
|?|a
2|?|a
3
|?
g
；
?
n?21n?220
,(n?12)
?
?2
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19．解：（Ⅰ）由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时< br>?
?2
，此时
P(
?
?2)?
3?31
?< br>；
6?64
当两次摸到的球分别是黄黄，红蓝，蓝红时
?
?4
，此时
P(
?
?4)?
2?23?11?35
???
；当两 次摸到的球分别是红黄，黄红时
?
?3
，此时
6?66?66?618
3?22?31
P(
?
?3)???
；当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时
?
?5
，此时
6?66?63
1?22?11
P(
?
?5)???
；当两次摸到的球分别是蓝蓝时
?
?6
，此时
6?66?69
1?11
；所以
?
的分布列是：
P(
?
?6)??
6?636
2 3 4 5 6
?

P
（Ⅱ）由已知得到：
?
有三种取值即1,2,3， 所以
?
的分布列是：
?

1 2 3
P
1

4
1

3
5

18
1

9
1

36
a

a?b?c
b

a?b?c
c

a?b?c
5a2b3c
?
E
?
????
?
?
3a?b?c a?b?ca?b?c
所以：
?
，所以
a52b53c
?
D
?
?
5
?(1?
5
)
2
??(2?)2
??(3?)
2
?
?
93a?b?c3a?b?c3a?b? c
?
b?2c,a?3c?a:b:c?3:2:1
。
20．解：：证明（ Ⅰ）方法一：如图6，取
MD
的中点
F
，且
M
是
A D
中点，所以
AF?3FD
。
因为
P
是
BM
中点，所以
PFBD
；又因为（Ⅰ）
AQ?3QC
且
AF?3FD
，所以
QFBD
，所以面
PQF
面
BDC
，且PQ?
面
BDC
，所以
PQ
面
BDC
；

方法二：如图7所示，取
BD
中点
O
，且
P是
BM
中点，所以
PO
1
MD
；取
CD
的三
2
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等分点
H，使
DH?3CH
，且
AQ?3QC
，所以
QH
11< br>ADMD
，所以
42
POQH?PQOH
，且
OH?BCD< br>，所以
PQ
面
BDC
；
（Ⅱ）如图8所示，由已知得到面< br>ADB?
面
BDC
，过
C
作
CG?BD
于< br>G
，所以
CG?BMD
，过
G
作
GH?BM
于
H
，连接
CH
，所以
?CHG
就是
C?BM?D
的二
面角；由已知得到
BM?8?1?3
，设
?BDC?
?
，所以
CDCGCB
?cos
?
,sin
?
?? ?CD?22cos
?
,CG?22cos
?
sin
?
,B C?22sin
?
,
BDCDBD
，
在
RT?BCG中，
?BCG?
?
?sin
?
?
BG

?BG?22sin
2
?
，所以在
RT?BHG
中，
BC
122sin
2
?
，所以在
RT?CHG
中
?? HG?
2
33
22sin
?
HG
tan?CHG?tan6 0
o
?3?
CG22cos
?
sin
?

?
2
HG
22sin
?
3
?tan
?
?3 ?
?
?(0,90
o
)?
?
?60
o
?? BDC?60
o
；
x
2
?y
2
?1
； 21．解：（Ⅰ）由已知得到
b?1
，且
2a?4?a?2
，所以椭圆的方程 是
4
（Ⅱ）因为直线
l
1
?l
2
，且都过点
P(0,?1)
，所以设直线
l
1
:y?kx?1?kx?y?1?0，
直线
1
l
2
:y??x?1?x?ky?k?0
k< br>，所以圆心
(0,0)
到直线
l
1
:y?kx?1?kx?y ?1?0
的距离为
d?
1
1?k
2
22
，所以直线
l
1
被圆
x?y?4
所截
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的弦
AB?24?d
2
?
2 3?4k
2
1?k
2
；
?
x?ky?k?0
?
222
由
?
x
2
?kx?4x?8kx?0
，所以
2
?
?y?1
?4
8k164k
2
8k
2
?1
x
D
?x
P
??
2
?|DP|?(1 ?
2
)
2
?
2
，所以
2
k?4k(k? 4)k?4
S
?ABD
1123?4k
2
8k
2
? 184k
2
?34?84k
2
?3
?|AB||DP|???
2
??
2
2
22
k?4k?44k
2
?3?13
1?k
?
32
4k
2
?3
4k
2
?3
?
13
4k
2
?3
?
32
4k
2
?3?
13
4k
2
?3
?
32
213
?
16
13
，
13
当
4k
2
? 3?
13
4k
2
?3
?k
2
?
510时等号成立，此时直线
?k??
22
l
1
:y??
10
x?1

2
2
22．解：（Ⅰ）由已知得：
f
?< br>(x)?3x?6x?3a?f
?
(1)?3a?3
，且
f(1)?1 ?3?3a?3?3a?1
，所以所求切线方程为：
y?1?(3a?3)(x?1)
，即为：
3(a?1)x?y?4?3a?0
；
2
（Ⅱ）由已知得到：f
?
(x)?3x?6x?3a?3[x(x?2)?a]
，其中
??4 ?4a
，当
x?[0,2]
时，
x(x?2)?0
，
（1 ）当
a?0
时，
f
?
(x)?0
，所以
f(x)< br>在
x?[0,2]
上递减，所以
|f(x)|
max
?max {|f(0)|,|f(2)|}
，因为
f(0)?3(1?a),f(2)?3a?1?f( 2)?0?f(0)?|f(2)|max
?f(0)?3?3a< br>；
（2）当
??4?4a?0
，即
a?1
时，
f< br>?
(x)?0
恒成立，所以
f(x)
在
x?[0,2]
上递增，
所以
|f(x)|
max
?max{|f(0)|,|f(2)| }
，因为
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f(0)?3(1?a ),f(2)?3a?1?f(0)?0?f(2)?|f(0)|?f(2)?|f(x)|
max< br>?f(2)?3a?1
；
（3）当
??4?4a?0
，即
0?a?1
时，
f
?
(x)?3x
2
?6x?3a?0?x
1
?1?1?a,x2
?1?1?a
，且
0?x
1
?x
2
?2
，即
x

0


(0,x
1
)

+
x
1

0
(x
1
,x
2
)

-
x
2

0
极小值
(x
2
,2)

+
递增
2

f
?
(x)

f(x)

3?3a

递增 极大值 递减
3a?1

所以
f(x
1
) ?1?2(1?a)1?a,f(x
2
)?1?2(1?a)1?a
，且
? f(x
1
)?f(x
2
)?2?0,f(x
1
)f(x2
)?1?4(1?a)
3
?0,
所以
f(x
1
)?|f(x
2
)|
，
所以
|f(x)|
max
?max{f(0),|f(2)|,f(x
1
)}
；
由
f(0 )?f(2)?3?3a?3a?1?0?0?a?
（ⅰ）当
0?a?
2
，所 以
3
2
时，
f(0)?f(2)
，所以
x?(??,1] U[a,??)
时，
y?f(x)
递增，
3
x?(1,a)
时，
y?f(x)
递减，所以
|f(x)|
max
?max{f(0 ),f(x
1
)}
，因为
f(x
1
)?f(0)?1?2 (1?a)1?a?3?3a?2(1?a)1?a?(2?3a)?
，又因为
0?a?
a
2
(3?4a)
2(1?a)1?a?(2?3a)
2
，所以< br>2?3a?0,3?4a?0
，所以
f(x
1
)?f(0)?0
，所以
3
|f(x)|
max
?f(x
1
)?1?2(1 ?a)1?a

（ⅱ）当
2
?a?1
时，
f(2)?0,f (0)?0
，所以
|f(x)|
max
?max{f(2),f(x
1
)}
，因为
3
f(x
1
)?f(2)?1?2(1?a) 1?a?3a?1?2(1?a)1?a?(3a?2)?
，此时
3a?2?0
，当< br>1当
○
a
2
(3?4a)
2(1?a)1?a?(3a?2)
2
?a?1
时，
3?4a
是大于零还是小于零不确定，所以
3
23
?a?
时，
3?4a?0
，所以
f(x
1
)?|f(2)|
，所以此时
34
|f(x)|
max
?f (x
1
)?1?2(1?a)1?a
；
2当
?a?1
时，
3?4a?0
，所以
f(x
1
)?|
○
4
3
f(2)|
，所以此时
|f(x)|
max
?f(2)?3a?1

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?
?
3?3a,(a?0)
?
3
综上所述：
|f(x)|
max
?
?
1?2(1?a)1?a,(0?a?)
；
4
?
3
?
3a?1,(a?)
?4






































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