济源一中数学文1

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体验 探究 合作 展示
长春市十一高中2012-2013学年度高三上学期期中考试
数学（文科）试题
本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150
分，测试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
2
1．已知集合A=
xx?x? 6?0
，B=
?
?3,?2,?1,1,2,3
?
，则A∩B中元素 的个数为（ ）
??
A．2 B．3 C．4 D．5
2．若
?
是第四象限角，且
c os
?
?
3
，则
sin
?
等于（ ）
5
4433
A． B．
?
C． D．
?

555
5
3
3． 命题“
?x?R
，
x?0
”的否定是（ ）
A．
?x?R
，
x?0
B．
?x?R
，
x?0

C．
?x?R
，
x?0
D．
?x?R
，
x?0

33
33
?
x? y?4?0,
?
4．已知实数
x
，
y
满足约束条件
?
x?y?0,
则
z?2x?y
的最小值是（ ）
?
x?3,
?
A．
?4
B．
?2
C．0 D．2
5．设
S
n
是等差数列
?
a
n
?
的前< br>n
项和，且
S
8
?S
3
?10
，则
S
11
的值是（ ）
A．12 B．18 C．22 D．44
6．下列函数中，值域为R的函数是（ ）
A．
y?x?1
B．
y?2
C．
y?lg(x?1)
D．
y?
2x?1

x?1

x?1
sin20
?
1?cos40
?
7．式子的值为（ ）
cos50
?
A．
1
2
Ｂ． Ｃ．
2
Ｄ．
2

2
2
- 1 -

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8．已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?3
n
?1
，则其通项公式
a
n
=（ ）
A．
2?3
n?1
B．
3?2
n?1
C．
2
D．
3

xy
n
n
9．若向量
OA?(x?1,2 )
，
OB?(4,y)
，且
OA?OB
，则
9?3
的最小值为（ ）
A．12 B．2
3
C．
32
D．6
10．下列叙述中：
①在?ABC
中，若
cosA?cosB
，则
A?B
；
② 若函数
f(x)
的导数为
f'(x)
，
f(x
0
)
为
f(x)
的极值的充要条件是
f
?
(x
0
)?0
；
③函数
y?sin(2x?
?
6
)
的 图象可由函数
y?sin2x
的图象向左平移
?
个单位得到；
6< br>④在同一直角坐标系中，函数
f(x)?sinx
的图象与函数
f(x)?x< br>的图象仅有三个公共点．
其中正确叙述的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．已 知函数
f(x)?x
2
?2x
，
g(x)?ax?2(a?0)，对任意的
x
1
?
?
?1,2
?
，都存在x
0
?
?
?1,2
?
，使得
g(x
1
)?f(x
0
)
，则实数
a
的取值范围是（ ）
A．
?
0,
?
B．[，3] C．
?
3,??
?
D．
?
0,3
?

2
2
?
?
1< br>?
?
1
?
1
??
1
?
12．已知函 数
f(x)?lgx?
??
,
g(x)?lgx?
??
的零 点分别为
x
1
，
x
2
，则有（ ）
?2
??
2
?
A．
x
1
x
2
? 0
B．
x
1
x
2
?1
C．
x
1
x
2
?1
D．
0?x
1
x
2
?1



第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．曲线
y?2x
在点（1，2）处的切线斜率为 ．
14．已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和 为
S
n
，满足
a
n
?S
n
?1
( n?N)
，则通项
a
n
= ．
?
2
xx
15．在
?ABC
中，角
A,B,C
的对边分别为
a ,b,c
，已知
4sin
2
A?B7
?cos2C?
，且< br>22
a?b?5
，
c?7
，则
?ABC
的面积为 ．



- 2 -

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16．已知定义在R上的偶函数 满足：
f(x?4)?f(x)?f(2)
，且当
x?
[0，2]时，
y?f(x)

单调递减，给出以下四个命题：
①
f(2)?0
；
②
x??4
为函数
y?f(x)
图象的一条对称轴；
③函数
y?f(x)
在[8，10]上单调递增；
④若方程
f(x )?m
在
?
?6,?2
?
上的两根为
x
1
，
x
2
，则
x
1
?x
2
??8
．
上述命题中所有正确命题的序号为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
设函数
f(x)?2x?1
，
g(x)?x?4
．
（Ⅰ）解不等式
f(x)?3
；
（Ⅱ）解不等式
f(x)?g(x)?4
．

18．（本小题满分12分）
已知等差数列
?
a
n
?< br>的前
n
项和为
S
n
，且
a
3
?5< br>，
S
15
?225
．
（Ⅰ）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（Ⅱ）设< br>b
n
?3
a
n
?2n
，求数列
?
b
n
?
的前
n
项和
T
n
．

19．（本小题满分12分）
已知函数
f(x)?2sinxcosx?cos2x(x?R)
．
（Ⅰ）求
f(x)
的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若
?
为锐角，且
f(
?
?

20．（本小题满分12分）
?
8
)?
2
，求
tan
?
的值．
3
已知函数
f(x)?(ax?x)e
，其中
e
是自然对数的底数 ，
a?R
．
（Ⅰ）当
a?0
时，求不等式
f(x)?0
的解集；
（Ⅱ ）当
a?0
时，求使方程
f(x)?x?2
在[
k
，
k?1
]上有解的整数
k
的所有取值．

- 3 -
2x

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21．（本小题满分12分）
x
2
y< br>2
已知椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的焦距为
26
，椭圆
C
上任意一点到椭圆两个焦点的距
ab
离之和为6．
（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；
（Ⅱ）设直线
l
:y?kx?2
与椭圆
C
交于
A,B
两点，点
P
（ 0，1），且
PA
=
PB
，求直线
l
的
方程．

22．（本小题满分12分）
已知函数
f(x)?lnx?
a(x?1)
．
x?1
（Ⅰ ）若函数
f(x)
在（0，
??
）上为单调增函数，求
a
的 取值范围；
（Ⅱ）设
m
，
n?
（0，
??
），且
m?n
，求证：



























- 4 -
m?nm?n
?
．
lnm?lnn2

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长春市十一高中2012-2013学年度高三上学期期中考试
数学（文科）试题参考答案
一、BBABC CBADB AD
二、13．4， 14．
三、解答题
17．解：（Ⅰ）
2x?1?3
，
?3?2x? 1?3
，解集为
x?1?x?2
……4分
1
33
15 ． 16． ①②④
2
n
2
??
1< br>?
?3x?5,(x?),
?
2
?
?
?3x?5?4 ,
1
1
?
?
x?
（Ⅱ）
f(x)?
?x?3,(?x?4),
由
?
解得；
1
23
x?
?
?
2
?
?
3x?5,(x?4)?
?
?
x?3?4,
?
3x?5?4,
?
由< br>?
1
解得
1?x?4
； 由
?
解得
x?4

?x?4
?
x?4
?< br>?
2
综上可知不等式
f(x)?4
的解集为
?
xx?
?
?
?
1
或x?1
?
．……10分
3< br>?
18．解：（Ⅰ）设等差数列
?
a
n
?
的首项为< br>a
1
，公差为
d
，由题意得
?
a
1
?2d?5,
?
a
1
?1
?
解得
?
∴
a
n
?2n?1
。……6分
?
15?14
d?2
15a?d?225
?
1
?
2< br>?
（Ⅱ）∵
b
n
?3
a
n
?2n?3
2n?1
?2n?
1
n
?9?2n

3
∴
T
n
?b
1
?b
2
???b
n
?
1
(9?9
2
?9
3
???9
n
)?2(1?2 ?3???n)

3
33
19(1?9
n
)
?n( n?1)
=
?9
n
?n(n?1)
?
……12分 =
?
8
8
31?9
19．（Ⅰ）解：
f(x)?2sinx cosx?cos2x?sin2x?cos2x


- 5 -

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=
2sin(2x?
?
4
)

则
f(x)
的最小正周期为
?
，
2k
?
?
即单调递增区间为
?
k
?
?
?
2
?2x?
?
4
?2k
?
?
?
2
,k?Z

?
?
3??
?
,k
?
?
?
,k?Z
． ……6分
88
?
（Ⅱ）∵
f(
?
?
2
?
8
)?
1
?
2
2
∴
2sin(2
?
?)?
， ∴
cos2
?
?
。
3
23
3
∴
2cos
?
?1?
1
。
3
∵
?
为锐角， 即
0?
?
?
?
2
，∴
cos
?
?
6

3
∴
sin
?
?1?cos
2
?
?
3
。
3
∴
tan
?
?
sin
?
2
……12分
?
cos
?
2
x2
20．解：（Ⅰ）因为e?0
，所以
f(x)?0
，即
ax?x?0
。
又因 为
a?0
，所以不等式可化为
x(x?
所以不等式
f(x)?0的解集为（0，
?
1
)?0

a
1
）。 ……4分
a
xx
（Ⅱ）当
a?0
时，方程
f(x)? x?2
，即
xe?x?2
，由于
e?0
，
x
所以
x?0
不是方程的解，所以原方程等价于
e?
2
?1?0

x
令
h(x)?e?
x
22
?1
，因为
h

(x)?e
x
?
2
?0
对于
x?
（
??
，0）∪（0，
??
）恒成立，
x
x
所以函 数
h(x)
在（
??
，0）和（0，
??
）内是单调递增函 数，
又
h(1)?e?3?0
，
h(2)?e?2?0
，
h(?3)?e
2
?3
?
1
?0
，
h(?2)?e
?2
?0
，
3
所以函数
h(x)
在区间[1，2]和[-3，-2]上分别有一个零点，
即方程
f(x)?x?2
有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[-3，- 2]上，故
k?1
或
k??3
。 ……12分
21．解：（Ⅰ）由已知
2a?6
，
2c?26
， 解得
a?3
，
c?6
，

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x
2
y
2
??1
。 ……4分 所以
b?a?c?3
，所以椭圆C的方程为
93
222?
x
2
y
2
?1,
?
?
（Ⅱ）由?
9
得
(1?3k
2
)x
2
?12kx?3?0
，
3
?
y?kx?2,
?
直线与椭圆有两个不同的交点，所以
??144 k
2
?12(1?3k
2
)?0
解得
k?
设A（< br>x
1
，
y
1
），B（
x
2
，
y
2
）
2
1
。
9
12k3
xx?
，，
12
22
1?3k1?3 k
12k4
??
计算
y
1
?y
2
?k(x
1
?x
2
)?4?k?
，
1?3k
2
? 41?3k
2
6k2
?
所以，A，B中点坐标E（，）
22
1?3k1?3k
则
x
1
?x
2
?
因为
PA
=
PB
，所以PE⊥AB，
k
PE
?k
AB< br>??1

2
?1
2
所以
1?3k
?k??1
解得
k??1

6k
1?3k
2
?
经检验，符合题 意，所以直线
l
的方程为
x?y?2?0
或
x?y?2?0
。……12分


1a(x?1)?a(x?1)(x?1)
2
? 2axx
2
?(2?2a)x?1
22．解：（Ⅰ）
f(x)??
。
??
222
x
(x?1)x(x?1)x(x?1)


因为
f(x)
在（0，
??
）上为单调增函数，所以
f(x)?0
在（0，
??
）上恒成立，即
2
（0，
??
）上恒 成立，当
x?
（0，
??
）时，由
x?(2?2a)x?1?0x< br>2
?(2?2a)x?1?0
在
得
2a?2?x?
1
。
x
设
g(x)?x?
11
11
，
x?
（0，
??
），则
g(x)?x??2x??2
，当且仅当
?x
xx
xx
即
x?1
时等号成立，所以
2a?2?2< br>即
a?2
，所以
a
的取值范围是
?
??,2
?
。……6分

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mmm
?1?12(? 1)
m
n
（Ⅱ）不妨设
m?n
。原不等式等价于不等式
n< br>，即
ln?
，即
?
n
mm
2n
ln?1nn
m
2(?1)
2(x?1)
m
，这个函数即为
a? 2
时的函数
f(x)
，根据
ln?
n
?0
。设h(x)?lnx?
m
x?1
n
?1
n
mm
? 1
，所以
h()?h(1)?0
所以（1）知这个函数在（1，
??
）上是单调增函数，又
nn
m
2(?1)
m?nm?n
m
?
． ……12分
ln?
n
?0
，所以
m
ln m?lnn2
n
?1
n






- 8 -