2013山东高考数学理科试题及答案

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参考答案
一、选择题
1．D【解析】由(z-3)(2-i)=5，得
z?
55(2 ?i)5(2?i)
?3??3??3?2?i?3?5?i
，所以
z?5?i
，选D.
2?i(2?i)(2?i)5
2．C【解析】因为
x,y?A
,所以
x?y??2,?1,0,1,2
，即
B?{?2,?1,0,1,2}
,有5个元素，
选C.
3．A【解析】因为函数为奇函数，所以
f(?1)??f (1)??(1?1)??2
，选A.
4．B【解析】取正三角形ABC的中心，连结
OP
,则
?PAO
是PA与平面ABC所成的角。因为底
面边长为
3
，所以
AD?3?
33
223
?
,
AO?AD? ??1
.三棱柱的体积为
22
332
得
139
?(3)2
?AA
1
?
224
,解
AA
1
?3
，即
OP?AA
1
?3
,所以
tan?PAO?
?
OP
?3
，即
?PAO?
，选B.
3
OA
?
8

5．B【解析】将函数y=sin（2x +
?
）的图像沿x轴向左平移 个单位，得到函数
y?sin[2(x?)?
?
]?sin(2x??
?
)
，因为此时函数为偶函数，所以
84< br>??
?
4
?
?
?
?
2
?k
?
,k?Z
，即
?
?
?
4
?k
?
,k?Z
，所以选B.
6．C【解析】作出可行域如图

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由图象可知当M位于点D处时，OM的斜率最小。由
?
?
x?2y?1?0
?
x?3
得
?
，即
D (3,?1)
,
?
3x?y?8?0
?
y??1
此时OM的 斜率为
?11
??
，选C.
33
7．A【解析】因为﹁p是q的必 要而不充分条件，所以﹁q是p的必要而不充分条件，即p是﹁q
的充分而不必要条件，选A.
8． D【解析】函数y=xcosx + sinx为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B， C.当
x?
?
时，
f(
?
)??
?
?0< br>,排除A,选D.
9．A【解析】由图象可知，
A(1,1)
是一个切点，所 以代入选项知，
B,D
不成立，排除。又
直线的斜率为负，所以排除C，选A
10．B【解析】有重复数字的三位数个数为
9?10?10?900
。没有重复数字的三位 数有
12
C
9
A
9
?648
,所以有重复数字的三 位数的个数为
900?648=252
，选B.
AB
11．D【解析】经过 第一象限的双曲线的渐近线为
y?
3
p
x
。抛物线的焦点为
F(0,)
,双曲线
3
2
x
0
2
3
113
)
处的切线斜率为的右焦点为
F
2
(2,0)
.< br>y'?x
，所以在
M(x
0
,
，即
x
0?
，所
2p
3
p
p3
pp
p
?
?0
33p
p
p
，即三点
F(0,)
，
F
2
(2,0)
，
M(p,)
共线，所以
2
?
62
，即以
x
0
?
336
0?2
2
3
p
3
p?
43
，选D.
3
2222
12．B 【解析】由
x?3xy?4y?z?0
，得
z?x?3xy?4y
。所以x4y
xyxy1
1
?
?
2
?
，当且仅当，即
x?2y
时取
??1
yx
zx?3xy?4y
2
x
?
4y
?3
x4y
2??3
yx
yx
等号 此时
z?2y
，
(
2
121
212212
2
xy
?(1?)?(1?)

??
)
max
?1
.
???
xy2y
x yz2yyxy
y
z
11
?1?
2y2y
2
?4( )?1
，故选B.
2
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13．3【解析】第一次循环，
F
1
?1?2?3,F
0
?3?1?2,n?2
，此时
11
??0.25
不成立。
F
1
3
第二次循环，
F
1
?2? 3?5,F
0
?5?2?3,n?3
，此时
11
??0.25
成立，输出
n?3
。
F
1
5
?
?3,?3?x ??1
1
?
14．【解析】设
f(x)?x?1?x?2
，则
f(x)?x?1?x?2?
?
2x?1,?1?x?2
。
3
?< br>3,2?x?3
?
由
2x?1?1
，解得
1?x?2
，即当
1?x?3
时，
f(x)?1
。由几何概型公式得所求概率为
3?121
??
。
3?(?3)63
15．
uuuv
uu uvuuuv
uuuv
7
o
【解析】向量
AB
与
A C
的夹角为
120
，且
|AB|?3,|AC|?2,
所以
12
uuuvuuuvuuuvuuuv
uuuvuuuvuuuvuuuv
1
o
AB?AC?AB?ACcos120???3?2??3
。由
AP?BC
得，
AP?BC?0
，即
2
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvu uuv
uuuv
2
uuuv
2
uuuvuuuv
AP?BC ?(
?
AB?AC)?(AC?AB)?0
，所以
AC?
?
AB?(
?
?1)AB?AC?0
，即
4?9
?
?3(?
?1)?0
，解得
?
?
7
。
12
b
?bb?
16．①③④【解析】①当
a?1,b?0
时，
a?1< br>，
ln(a)?lna?blna,blna?blna
，
所以
ln( a)?blna
成立。当
0?a?1,b?0
时，
0?a?1
，此时
ln(a)?0,blna?0
，
即
ln(a)?blna
成立。综 上
ln(a)?blna
恒成立。②当
?b??b?
?b?
b
?b?
a?e,b?
1
时，
e
ln
?
(ab)? ln1?0,ln
?
a?lne?1,ln
?
b?0
，所以
ln
?
(ab)?ln
?
a?ln
?
b
不成立。③ 讨论
a,b
的取值，可知正确。④讨论
a,b
的取值，可知正确。所以正确的 命题为①③④。
17
．解：（Ⅰ）由余弦定理
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB
，得
b
2
?
?< br>a?c
?
?2ac(1?cosB)
，

又
a?c? 6
，
b?2
，
cosB?
2
7
，所以
ac ?9
，解得
a?3
，
c?3
.
9
42
,
9
（Ⅱ）在△
ABC
中，
sinB?1?cos
2
B?
由正弦定理得

sinA?
asinB22
，

?
b3
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2
因为
a?c
，所以
A
为锐角，所以
cosA?1?sinA?
1

3
因此

sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?
102
.
27
18
．解：（Ⅰ）证明：因为
D,C,E,F

分别是
AQ,BQ,AP,BP
的中点，

所以
EF
∥
AB
,
DC
∥
AB
，所以
EF
∥DC
，

又
EF?
平面
PCD
，
DC ?
平面
PCD
，

所以
EF
∥平面
PCD
，

又
EF?平面
EFQ
,
平面
EFQI
平面
PCD?GH
，

所以
EF
∥
GH
，

又
EF
∥
AB
，

所以
AB
∥
GH
.
（Ⅱ）解法一：在△
ABQ
中
,
AQ?2BD
,
AD?DQ
,
所以
?ABQ=90
，即
AB?BQ
,
因为
PB?
平面
ABQ
,所以
AB?PB
，

又
BPIBQ?B
，所以
AB?
平面
PBQ
，由（Ⅰ）知
AB
∥
GH
, < br>所以
GH?
平面
PBQ
，又
FH?
平面
PB Q
，所以
GH?FH
，同理可得
GH?HC
，

所 以
?FHC
为二面角
D?GH?E
的平面角，设
BA?BQ?BP? 2
,
连接
PC
，

在
Rt
△
FB C
中，由勾股定理得，
FC?
o
2
，

在
Rt
△
PBC
中，由勾股定理得，
PC?5
，

又
H
为△
PBQ
的重心，所以
HC?
15

PC?
33

同理

FH?
5
,
3
55
??2
4
99
??
，

在 △
FHC
中，由余弦定理得
cos?FHC?
5
5
2?9
4
即二面角
D?GH?E
的余弦值为
?
.
5
解法二：在△
ABQ
中，
AQ?2BD
,
AD?DQ,
所以
?ABQ?90
，又
PB?
平面
ABQ
,
所以
BA,BQ,BP
两两垂直，

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以
B
为坐标原点，分别以
BA,BQ ,BP
所在直线为
x
轴，
y
轴，
z
轴，建立如图所 示的空间
直角坐标系，设
BA?BQ?BP?2
，则
E(1,0,1)
,
F(0,0,1)
,
Q(0,2,0)
,
D(1,1,0)，
C(0,1,0)P(0,0,2)
,,
所
u
EQ
u ur
?(?1,2,?1)
,
u
FQ
uur
?(0,2,? 1)
,
u
DP
uur
?(?1,?1,2)
,
u< br>CP
uur
?(0,?1,2)
,
设平面
EFQ
的 一个法向量为
u
m
r
?(x
1
,y
1
,z
1
)
，

由
m
ur
?EQ
uuu r
?0
，
m
ur
?FQ
uuur
?0
,
得
?
?
?x
1
?2y
1
?z
1< br>?0
?
2y
1
?z

1
?0
取y
1
?1
，得
u
m
r
?(0,1,2)
.
设平面
PDC
的一个法向量为
r
n?(x
2
,y
2
,z
2
)

由
n
r
?DP
uuur
?0
，
n
r
?CP
uuur
?0
,
得
?
?
?x
2
?y
2
?2z
2
?0
?
?y?0

2
?2z
2
urr
u
取
z
r
m
r
?
r
n4< br>2
?1
，得
n?(0,2,1)
.
所以
cosm,n ?
u
m
rr
n
?
5

因为二面角
D?GH?E
为钝角，所以二面角
D?GH?E
的余弦值为
?
45
.
19
．解：（Ⅰ）记“甲队以
3
：
0
胜 利”为事件
A
1
，“甲队以
3
：
1
胜利”为事件< br>A
2
，“甲
队以
3
：
2
胜利”为事件
A
3
，由题意，各局比赛结果相互独立，

故
P(A
2< br>3
1
)?(
3
)?
8
27
，
P(A(
2228
2
)?C
2
3
3
)
2
(1?
3
)?
3
?
27
，

P (AC
1
2214
3
)?
4
(
3
)
2
(1?
3
)
2
?
2
?
27

所以，甲队以
3
：
0,3:1,3:2
胜利的概率分别是
8
27
，
8
27
，
4
27
；
（Ⅱ）设“乙队以
3:2
胜利”为事件
A
4
，由题意，各局比赛 结果相互独立，所以

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以

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2214

P(A
4
)?C
4
1
(1?)
2
()
2
?(1?)?
33227
由题意，随机变量
X
的所有可能的取值为
0,1,2,3
，，根据事件的互斥性得

16
P(X?0)?P(A
1
?A
2
)?P(A
1
)?P(A
2
)
?
,
27
4
,
P(X?1)?P(A
3
)?
27
4
,
P(X? 2)?P(A
4
)?
27
3
P(X?3)?
1?
P (X?0)?P(X?1)?P(X?2)
?

27
故
X
的分布列为

0 1 2 3
X

16443
P


27272727
16443
7
?1??2??3?
?
< br>所以
EX?0?
27272727
9
20
．解：（Ⅰ）设等差 数列
?
a
n
?
的首项为
a
1
，公差为d
，

由
S
4
?4S
2
，
a
2n
?2a
n
?1
得

4a
1
?6d?8a
1
?4d
?
，
< br>?
?
a
1
?(2n?1)?2a
1
?2(n?1)d ?1
解得，
a
1
?1
，
d?2

*
因此

a
n
?2n?1
(n?N)
< br>（Ⅱ）由题意知：
T
n
?
?
?
n
2
n?1

所以
n?2
时，
b
n
?T
n?T
n?1
??
n
2
2n?21
n?1
*故，
c
n
?b
2n
?
2n?1
?(n?1)( )

(n?N)

24
1
0
1
11
2
1
3
1
n?1
所以
R
n
?0?()?1?()?2?()?3?()?????(n?1)?()
，

444 44
11
1
1
2
1
3
1
n?1
1
n
则
R
n
?0?()?1?()?2?()?????(n?2)? ()?(n?1)?()

444444
31
1
1
2
1
3
1
n?1
1
n
两式相减得
R
n?()?()?()?????()?(n?1)?()

444444
11n
?()
4
?(n?1)(
1
)
n

?
4
1
4
1?
4
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?
n?1
n?1

n?2
2

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R
n
?
13n?1
(4?
n?1
)
94
13n?1
(4?
n?1
)

94所以数列数列
?
c
n
?
的前
n
项和
R
n
?
21
．解：（Ⅰ）
f
'
(x)?(1?2x) e
?2x
，

由
f(x)?0
，解得
x?
当
x?
'
1
，

2
1
'
时，f(x)?0
，
f(x)
单调递减

2
11
所 以，函数
f(x)
的单调递增区间是
(??,)
，单调递减区间是
( ,??)
，

22
11
?c

最大值为
f ()?
22e
x
（Ⅱ）令
g(x)?lnx?f(x)?lnx?
2 x
?c

x?(0,??)

e
x
（
1
）当
x?(1,??)
时，
lnx?0
，则
g(x)? lnx?
2x
?c
，

e
所以，
g(x)?e'?2x
e
2x
(?2x?1)

x
e
2x
因为
2x?1?0
，
?0

所以

g
'
(x)?0

x

因此
g(x)
在
(1,??)
上单调递增
.
（< br>2
）当
x?(0,1)
时，当时，
lnx?0
，则
g (x)??lnx?
'?2x
x
?c
，

e
2x< br>所以，
g(x)?e
2x2
e
2x
(??2x?1)

x
因为
e?(1,e)
，
e
2x
?1?x?0，又
2x?1?1

e
2x
所以
??2x?1?0

所以

g
'
(x)?0

x

因此
g(x)
在
(0,1)
上单调递减
.
?2
综合（
1
）（
2
）可知

当
x?(0,??)
时，
g(x)?g(1)??e?c
，

当
g(1)??e
?2
?c?0
，即
c??e
?2
时，
g(x)
没有零点，

故关于
x
的方程
lnx?f(x)
根的个数为
0
；

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当
g(1)??e
?2
?c?0，即
c??e
?2
时，
g(x)
只有一个零点，
故关于
x
的方程
lnx?f(x)
根的个数为
1
；
当
g(1)??e
?2
?c?0
，即
c??e
?2
时，

①当
x?(1,??)
时，由（Ⅰ）知
g(x)?lnx?
x1
?1
?c?lnx?(e?c)?lnx?1?c

2x
e2
1?c
要使
g(x)?0
，只需使
l nx?1?c?0
，即
x?(e
②当
x?(0,1)
时，由（Ⅰ）知

,??)
；

g(x)??lnx?
x1
?1< br>?c??lnx?(e?c)??lnx?1?c
；

e
2x
2
?1?c
要使
g(x)?0
，只需使
?lnx?1?c?0
，即
x?(0,e)
；

所以当
c??e
?2
时 ，
g(x)
有两个零点，故关于
x
的方程
lnx?f(x)
根的个数为
2
；

综上所述：

当
c??e
?2
时，关于
x
的方程
lnx?f(x)
根的个数为
0< br>；

当
c??e
?2
时，关于
x
的方程lnx?f(x)
根的个数为
1
；

当
c??e
?2
时，关于
x
的方程
lnx?f(x)
根的个数为
2.
222
b
xy
22
．解：（Ⅰ）由于
c?a?b
， 将
x??c
代入椭圆方程
2
?
2
?1
得
y ??

a
ab
222
c
2b
2
3

由题意知
?1
，即
a?2b
2

又e??
a
a
2
x
2
所以
a?2
，b?1

所以椭圆方程为
?y
2
?1
< br>4
uuuvuuuuvuuuuvuuuuvuuuvuuuuvuuuuvuuuuv
PF
1
?PMPF
2
?PMPF
1
?PMPF
2< br>?PM
vuuuuv
=
uuuuvuuuuv
,
uuuv=
uuuuv
,设
P(x
0
,y
0
)
其中（Ⅱ）由题意可知：
uuu
|PF
1
||PM||PF
2
||PM||PF
1
||PF
2
|
2232
x
0
?4
，将向量坐标代入并化简得：m（
4x
0
?4
， < br>?16)?3x
0
?12x
0
，因为
x
0
所 以
m?
3
33
x
0
，而
x
0
?( ?2,2)
，所以
m?(?,)

4
22
（3）由题意可知 ，l为椭圆的在p点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：
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x
y
0
y
0
11< br>x
0
x
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,k
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