北师大版数学选修2-2综合测试题1 (理科)

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北师大版数学选修2-2综合测试题1 (理科)

班级_______学号_____ 姓名__________

温馨提示：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分
150< br>分，考试时间
120
分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、选择 题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求 的.)
1.函数y=x
2
cosx的导数为( )
(A) y′=2xcosx－x
2
sinx (B) y′=2xcosx+x
2
sinx
(C) y′=x
2
cosx－2xsinx (D) y′=xcosx－x
2
sinx
2.下列结论中正确的是( )
(A)导数为零的点一定是极值点
(B)如果在
x
0
附近的左侧< br>f'(x)?0
，右侧
f'(x)?0
，那么
f(x
0
)
是极大值
(C)如果在
x
0
附近的左侧
f'(x)? 0
，右侧
f'(x)?0
，那么
f(x
0
)
是极小 值
(D)如果在
x
0
附近的左侧
f'(x)?0
，右侧< br>f'(x)?0
，那么
f(x
0
)
是极大值
*n?k(k?N)
时该命题成立，那么可推得当3.某个命题与正整数有关，若当
n?k?1
时该命题也成立，现已知当
n?5
时该命题不成立，那么可推得( )
(A)当
n?6
时，该命题不成立 (B)当
n?6
时，该命题成立
(C)当
n?4
时，该命题成立 (D)当
n?4
时，该命题不成立
4.函数f(x)?3x?4x
3
(x?[0,1])的最大值是( )
1
(A)1(B)(C)0(D)?1
2

5.如果10N的力能 使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离
平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功 为（ ）
(A)0.28J (B)0.12J (C)0.26J (D)0.18J
6.给出以下命题：
?
⑴若
b
a
f(x)dx?0
，则f(x)>0；
?
⑵
?
a
0
2
?
0
;
⑶f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则
；
其中正确命题的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)0
(a
2
?a?2)?(a?1?1)i(a?R)
7.若复数不是 纯虚数，则
a
的取值范围是( )
(A)
a??1
或
a?2
(B)
a??1
且
a?2
(C)
a??1
(D)
a?2


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sinxdx?4
a?T
T
f(x)dx??
f(x)dx

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1?1?x
x
8.设0<
a
a?ba?b
(A)f (
a
)< f (
2
)ab
) (B)f (
2
)ab
)
a?ba?b
(C)f (
ab
)< f (
2
)a
) (D)f (b)< f (
2
)ab
)


第Ⅱ卷（非选择题，共110分）

一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上
9.已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x, y∈R，求x= ， y= ．
10.曲线y=2x
3
－3x
2
共有____个极值.
0
11.已知
f(x)
为一次函数，且，则
f(x)
=_______ .
12.对于平面几何中的命题:“夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几
何中, 类比上述命题,可以得到命题:“___________________________”这个类比
命题的真假性是________
13.观察下列式子
131151117
1?
2
?,1?
2
?
2
?,1?
2
?
2
?
2
?
22332344
, ? ? ,
2< br>f(x)?x?2
?
f(t)dt
1
则可归纳出__________ ______________________
2
，
，则复数
m?pi< br>mx?nx?p?0(m、n、p?R)
的解集为
(?1 2)
x
14.关于的不等式
所对应的点位于复平面内的第________象限．
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤.
15. (本小题满分12分)一物体沿直线以速度
v(t)?2t?3
（
t
的单位为:秒,
v
的单
位为:米秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻 t=0秒至时刻 t=5秒间
运动的路程?










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16. (本小题满分12分) 已知曲线 y = x
3
+ x－2 在点 P
0
处的切线
l
1
平行直
线
4x－y－1=0，且点 P
0
在第三象限,
⑴求P的坐标; ⑵若直线
l?l
1
, 且 l 也过切点P,求直线l的方程.
00














32
f(x)?ax?(a?1)x?48(a?2)x?b
的图象关于17. (本小题满分14分)已知函数
?4,4
?
原点成中心对称, 试判断
f(x)
在区间
?
上的单调性,并证明你的结论.




















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18. (本小题满分14分)如图，点
P
为斜三棱 柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的侧棱
BB1
上一点，
PM?BB
1
交
AA
1
于点
M
，
PN?BB
1
交
CC
1
于点
N.
(1) 求证：
CC
1
?MN
；
(2) 在任意
?DEF
中有余弦定理：
DE
2
?DF
2
?EF
2
?2DF?EFcos?DFE
.
拓展到空间，类比三角形的余弦定理，
写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中
两个侧面所成的二面角之间的关系式，
并予以证明.













b?R
,
a?b?e
(其中
e
是自然对数的底数),求19 . (本小题满分14分)已知
a、
ab
b?a
证:.(提示:可考虑用分析 法找思路)
















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20. (本小题满分
g(x)?
14分)已知函数
f(x)?lnx
(x?0)
,函数
1
?af
?
x(x?)(0)
f
?
(x)

⑴当
x?0
时,求函数
y?g(x)
的表达式;
⑵若a?0
,函数
y?g(x)
在
(0,??)
上的最小值是2 ,求
a
的值;
27
y?x?
36
与函数
y?g( x)
的图象所围成图形的面积. ⑶在⑵的条件下,求直线


































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参考答案及评分标准
一、选择题：ABDAD BCD
二、填空题：
5
9.x=
2
, y=4； 10.两 11.
f(x)?x?1

12.夹在两个平行平面间的平行线段相等；真命题.
1112n?1
1?
2
?
2
?
?
??
2
23(n?1)n?1
(n∈N
*
) 13.
14.二
三、解答题：
15.解:∵当
∴物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程
3
2
0
0≤t≤
33
≤t≤5
2
时,v(t)?2t?3≤0
; 当
2
时,
v(t)?2t?3≥0
.
5
S?
?< br>(3?2t)dx?
?
3
(2t?3)dx
9
?(10?9
)?
29
42
(米)
2
=
4

16.解:⑴由y=x
3
+x－2，得y′=3x
2
+1，
由已知得3x
2
+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4 .
又∵点P
0
在第三象限,
∴切点P
0
的坐标为 (－1,－4).
1
?
⑵∵直线
l?l
1
,
l< br>1
的斜率为4,∴直线l的斜率为
4
,
∵l过切点P
0,
点P
0
的坐标为 (－1,－4)
1< br>y?4??(x?1)
4
∴直线l的方程为即
x?4y?17?0
.

17.解: 答f(x)在[-4,4]上是单调递减函数.
证明:∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称,
3
则f(x)是奇函数,所以a=1,b=0,于是f(x)=
x?48x.

?f
?
(x)?3x
2
?48,
∴当
x?(?4, 4)?f
?
(x)?0

?4,4
?
又∵函数
f(x)
在
?
上连续
所以f(x)在[-4,4]上是单调递减函数.

18.(1) 证：
? CC
1
BB
1
?CC
1
?PM,CC
1
? PN,?CC
1
?平面PMN?CC
1
?MN
；
(2) 解：在斜三棱柱中，有
其中
?
为
平面
CC
1< br>B
1
B
与平面
CC
1
A
1
A
所组成的二面角.
ABC?A
1
B
1
C
1222
S
ABB
?S
BCC
?S
ACC
?2S
BCCB
?S
ACCA
cos
?
1
A
11
B
11
A
1
1111
，
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?CC
1
?平面PMN,?
上述的二面角为
11
?MNP< br>,在
?PMN
中，
PM
2
?PN
2
?MN< br>2
?2PN?MNc?oMsN?

P
222
PM
2
CC
1
?PN
2
CC
1
?MN
2
CC
1
?2(PN?CC)?(MN?CC)cos?MNP
，
， 由于
∴有
S
BCC
1
B
?PN?CC,S
ACC
1
A
?MN?CC,S
ABB
1
A
?PM?BB
1
1
1
1
1
1
222
S
ABB
? S
BCC
?S
ACC
?2S
BCCB
?S
ACCA
cos
?
1
A
11
B
11
A
1< br>1111
.
ab
b?0,a?0
∴要证:
b
a
?a
b
19.证明:∵
只要证:
alnb?blna

lnblna
?
ba
.(∵
a?b?e
) 只要证
lnx1?lnx
f(x)?f
?
(x)?
x
,∵
x
2
取函数
∴当
x?e
时,
f
?
(x)?0,∴函数
f(x)
在
(e,??)
上是单调递减.
lnblna
?
f(b)?f(a)
a
.得证 ∴当
a?b?e
时,有即
b

f(x)?lnx
20.解:⑴∵,
∴当
x?0
时,
f(x)?lnx
; 当
x?0
时,
f(x)?ln(?x)

111
f
?
(x)??(?1)?
x
; 当
x?0
时,
?xx
. ∴当
x?0
时,
a
y?g(x)?x?
x
. ∴当
x?0
时,函数
f
?
(x)?
⑵∵由⑴知当
x?0
时,
∴当
a?0,x?0
时,
g(x)≥2a
当且仅当
x?a
时取等号.
∴函数
y?g (x)
在
(0,??)
上的最小值是
2a
,∴依题意得
2a ?2
∴
a?1
.
27
3
?
?
y?x?< br>x?
?
x
2
?2
1
?
?
???36
2
,
???
5
13
1
y?
2?
y?x?
?
y?
?
?2
1
?
?6
x
?
?
⑶由解得
∴直线
2
?
27 1
?
S?
?
3
?
(x?)?(x?)
?
d x
7
?ln3
6x
?
=
24
2
?
3






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g(x)?x?
a
x
,
y?
27
x?
36
与函数
y?g(x)
的图象所围成图形的面积

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