辽宁省沈阳市2015届高三一模数学试卷(理科)

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2015年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）


一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是 符合题目要求的．）
1．（5分）（2015?商丘一模）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z的共轭复数（ ）
A． ﹣1+i B． ﹣1﹣i C． 1+i D． 1﹣i

【考点】： 复数代数形式的乘除运算．
【专题】： 数系的扩充和复数．
【分析】： 把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则其共轭复数可求．
【解析】： 解：由（1﹣i）z=2i，得
=
∴
故选：B．

2．（5分） （2015?汕头一模）若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合{ 5，
6}等于（ ）
A． M∪N B． M∩N C． （?
U
M）∪（?
U
N） D． （?
U
M）∩（?
U
N）

【考点】： 交、并、补集的混合运算．
【专题】： 集合．
【分析】： 由题意可得5∈?
U
M，且5∈?
U
N；6∈?
U
M，且6∈?
U
N， 从而得出结论．
【解析】： 解：∵5?M，5?N，故5∈?
U
M，且5∈?
U
N．
同理可得，6∈?
U
M，且6∈?
U
N，
∴{5，6}=（?
U
M）∩（?
U
N），
故选：D．
【点评】： 本题主要考查元素与集合的关系，求集合的补集，两个集合的交集的定义，属于基础
题．

3．（5分）（2014?安徽）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

【考点】： 充要条件．
【专题】： 计算题；简易逻辑．
【分析】： 根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解析】： 解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；
∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，
∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．
故选：B．
．
，
【点评】： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
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【点评】： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比
较基础．

4．（5分）（2015?沈阳一模）抛物线y=4ax（a≠0）的焦点坐标是（ ）
A． （0，a） B． （a，0） C． （0，

【考点】： 抛物线的简单性质．
【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】： 先将抛物线的方程化为标准式，再求出抛物线的焦点坐标．
【解析】： 解：由题意知，y=4ax（ a≠0），则x=
所以抛物线y=4ax（a≠0）的焦点坐标是（0，
故选：C．
【点评】： 本题考查抛物线的标准方程、焦点坐标，属于基础题．

5．（5分 ）（2015?沈阳一模）设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，若a1
=1，公差d=2，S
n+2
﹣S
n
=36，
则n= （ ）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8

【考点】： 等差数列的性质．
【专题】： 等差数列与等比数列．
【分析】： 由S
n+2< br>﹣S
n
=36，得a
n+1
+a
n+2
=36，代入 等差数列的通项公式求解n．
【解析】： 解：由S
n+2
﹣S
n
=36，得：a
n+1
+a
n+2
=36，
即a
1
+nd+a
1
+（n+1）d=36，
又a
1
=1，d=2，
∴2+2n+2（n+1）=36．
解得：n=8．
故选：D．
【点评】： 本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础题．

6．（5分）（2015?沈阳一模）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸 （单位：cm），
可得这个几何体的体积是（ ）
2
22
2
） D． （，0）
，
），
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A．

【考点】： 棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】： 空间位置关系与距离．
【分析】： 由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式
求解．
【解析】： 解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，
如图，
B． C． 2cm D． 4cm
33

故
故选B．
【点评】： 本题考查了棱锥的体积，考查了空间几何体的三视图，能够 由三视图还原得到原几何
体是解答该题的关键，是基础题．

，
7．（5分）（2015?沈阳一模）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（ ）
A． 3 B． ﹣3 C． 1 D．

【考点】： 简单线性规划．
【专题】： 计算题．

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【分析】： 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表 示直线在y轴上的截
距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
【解析】： 解：作图
易知可行域为一个三角形，
当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，
故选A．

【点评】： 本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求
最值，属于基础题．

8．（5分）（2015?沈阳一模）若执行如图的程序框图，则输出的k值是（ ）

A． 4 B． 5 C． 6 D． 7

【考点】： 程序框图．
【专题】： 图表型；算法和程序框图．
【分析】： 执行程序框图，写出每次 循环得到的n，k的值，当n=8，k=4时，满足条件n=8，退
出循环，输出k的值为4．
【解析】： 解：执行程序框图，有
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n=3，k=0
不满足条件n为偶数，n=10，k=1
不满足条件n=8，满足条件n为偶数，n=5，k=2
不满足条件n=8，不满足条件n为偶数，n=16，k=3
不满足条件n=8，满足条件n为偶数，n=8，k=4
满足条件n=8，退出循环，输出k的值为4．
故选：A．
【点评】： 本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查．

9．（5分）（2015?沈阳一模）由曲线y=x，y=
A．

【考点】： 定积分在求面积中的应用．
【专题】： 计算题；导数的概念及应用．
【分析】： 联立两个解析式得到两曲线的交点坐标，然后对函数解析式求定积分即可得到曲线
y=x，y=
2
2
围成的封闭图形的面积为（ ）
B． C． D． 1
围成的封闭图形的面积．
2
【解析】： 解：由曲线y=x，y=
所以曲线y=x与y=
故选：B．
2
，联立，因为x≥0，所以解得x=0或x=1
1
所围成的图形的面积S =∫
0
（﹣x）dx=
2
﹣x|
0
=
31
【点评】： 本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积，属于基础题．

10．（5分）（2015?沈阳一模）在△ABC中，若|
边的三等分点，则
A．

【考点】： 平面向量数量积的运算．
【专题】： 计算题；平面向量及应用．
【分析】： 运用向量的平方即为模的平方，可得
线的知识，化简即可得到所求．
【解析】： 解：若|
则
即有=0，
+
=
|=|﹣|，
，
=0，再由向量的三角形法则，以及向量共
B．
?
C．
=（ ）
D．
+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC
E，F为BC边的三等分点，
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则
=（
=
+
+
=（+
）?（< br>+
）?（
+
+
）
）=（）?（）
=×（1+4）+0=．
故选B．
【点评】： 本题考查平面向量的数量积的定义 和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量
共线的定理，考查运算能力，属于中档题．

11．（5分）（2015?沈阳一模）函数y=﹣的图象按向量=（1，0）平移之后得到的函数图象 与
函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的橫坐标之和等于（ ）
A． 2 B． 4 C． 6 D． 8

【考点】： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】： 压轴题；数形结合．
【分析】： y1=的图象由奇函数y=﹣的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点
（1，0）中心对称， 再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y
2
=2sinπx的图象的一个对称中心也
是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．
【解析】： 解：函数y=﹣的图象按向量=（1，0）平移之后得到函数y1=
图象有公共的 对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图：
当1＜x≤4时，y
1
＜0，
而函数y
2
在（1，4）上出现1.5个周期的图象，
在（1，）和（，）上是减函数；
在（，）和（，4）上是增函数．
∴函数y1
在（1，4）上函数值为负数，且与y
2
的图象有四个交点E、F、G、H，
相应地，y
1
在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y
2
的图象有四 个交点A、B、C、D，
且：x
A
+x
H
=x
B
+x
G
═x
C
+x
F
=x
D
+x
E
=2，故所求的横坐标之和为8，
故选：D．
，y
2
=2sinπx的

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【点评】： 发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y
2
=2sinπx的单调性找出
区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．

12．（5分）（2015?沈阳一模）若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞1， f（0）=4，
则不等式f（x）＞+1（e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． （0，+∞） B． （﹣∞，0）∪（3，+∞） C． （﹣∞，0）∪（0，+∞） D． （3，+∞）

【考点】： 利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法．
【专题】： 计算题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．
【分析】： 不等式f（x）＞+1可化为ef（x ）﹣e﹣3＞0；令F（x）=ef（x）﹣e﹣3，从而
xxxx
利用导数确定函数的单调性 ，再由单调性求解．
【解析】： 解：不等式f（x）＞
ef（x）﹣e﹣3＞0；
令F（x）=ef（x）﹣e﹣3，
则F′（x）=ef（x）+e
f′（x）﹣e

=e（f（x）+f′（x）﹣1）；
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴e（f（x）+f′（x）﹣1）＞0；
故F（x）=ef（x）﹣e﹣3在R上是增函数，
又∵F（0）=1×4﹣1﹣3=0；
故当x＞0时，F（x）＞F（0）=0；
故ef（x）﹣e﹣3＞0的解集为（0，+∞）；
即不等式f（x）＞
故选A．
【点评】： 本题考查了不等式的解法及构造函数的能力，同时考查了导数的综合应用，属于中档
题．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）
13．（5分）（2015?沈阳一模）若双曲线E的标准方程是
程是 y=

【考点】： 双曲线的简单性质．
【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】： 求出双曲线的a，b，再由渐近线方程y=
【解析】： 解：双曲线E的标准方程是
则a=2，b=1，
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xx
xx
x
x
xxx
xx
xx
+1可化为
+1（e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）；
，则双曲线E的渐进线的方
x ．
x，即可得到所求方程．
，

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即有渐近线方程为y=
即为y=x．
x．
x，
故答案为：y=
【点评】： 本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．

14．（5分）（2015?沈阳一模）已知{a
n
}是等比数列，
．

【考点】： 数列的求和；等比数列的通项公式．
【专题】： 计算题．
【分析】： 首先根据a
2
和a
5
求出公比q，根据数列{a
n
a
n+1
}每项的特点发现仍是等比数列，根据
等比数列求和公式可得出 答案．
【解析】： 解：由 ，解得 ．
，则a
1
a
2
+a
2
a
3
+…+a
n
a
n+1
= 数列{a
n
a
n+1
}仍是等比数列：其首项是a
1
a
2
=8，公比为，
所以，
故答案为．
【点评】： 本题主要考 查等比数列通项的性质和求和公式的应用．应善于从题设条件中发现规律，
充分挖掘有效信息．

15．（5分）（2015?沈阳一模）若直线l：
轴和y轴的截距之和的最小值是 3+2

【考点】： 直线的截距式方程．
【专题】： 直线与圆．
【分析】： 把点（1，1）代入直线方程，得到
利用基本不等式求最值．
【解析】： 解：∵直线l：
∴=1，
（a＞0，b＞0）经过点（1，2）
=1，然后利用a+b=（a+b）（），展开后
．
（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l在x
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∴a+b=（a+b）（）=3+≥3+2，当且仅当b=
．
a时上式等号成立．
∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2
故答案为：3+2

．
【点评】： 本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题．
16． （5分）（2015?沈阳一模）在直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，若BC⊥AC，∠A=，AC=4，
AA
1
=4，M为AA
1< br>的中点，点P为BM中点，Q在线段CA
1
上，且A
1
Q=3QC．则 异面直线PQ与
AC所成角的正弦值 ．


【考点】： 异面直线及其所成的角．
【专题】： 空间角．
【分析】： 以C为原点，CB为x轴，C A为y轴，CC
1
为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量
法能求出异面直线PQ与A C所成角的正弦值．
【解析】： 解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC
1
为z轴，
建立空间直角坐标系，
则由题意得A（0，4，0），C（0，0，0），
B（4
P（2
，0，0 ），M（0，4，2），A
1
（0，4，4），
，2，1），==（0，4，4）=（0，1，1），
=（﹣2，﹣1，0）， ∴Q（0，1，1），=（0，﹣4，0），
设异面直线PQ与AC所成角为θ，
cosθ=|cos＜
∴sinθ=
故答案为：
=
．
＞|=|
．
|=，
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【点评】： 本题考查异面直线PQ与AC所成角的正弦值的求法，是中 档题，解题时要认真审题，
注意向量法的合理运用．

三、解答题：（满分60分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的
对应位置.）
17． （12分）（2015?沈阳一模）已知函数f（x）=2sinxsin（x+
（1）求函数f（x） 的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[0，

【考点】： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．
【专题】： 计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】： （1）运用两角和差公式和二倍角公式，化简整理，再由周期公式和正弦函数的单调增
区间，即可得到；
（2）由x的范围，可得2x﹣的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到值域．
）
]时，求f（x）的值域．
）．
【解析】： 解：（1）f（x）=2sinxs in（x+
=2sinx（
=
sinx+cosx）=sinx+sinxcosx
+sin（2x﹣
=π，
，k∈Z，
2
+sin2x=） 则函数f（x）的最小正周期T=
由2k
解得，kπ﹣≤x≤kπ+
≤2kπ+< br>，k∈Z，
，kπ+
，
]，k∈Z；
]，
则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣
（2）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣
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sin（2x﹣）∈[﹣，1]，
]． 则f（x）的值域为[0，1+
【点评】： 本题考查三角函数的化简和求值，考查二倍角公式和两角和 差的正弦公式，考查正弦
函数的单调性和值域，考查运算能力，属于基础题．

1 8（．12分）（2015?沈阳一模）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD =AD=a，
点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤1）．
（Ⅰ）求证：对任意的λ=（0，1]，都有AC⊥BE；
（Ⅱ）若二面角C﹣BE﹣A的大小为120°，求实数λ的值．


【考点】： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；向量的数量积判断向量的共线与垂
直．
【专题】： 空间位置关系与距离；空间角．
【分析】： （I）以D为原点，DA，DC， DS为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用
向量法能证明AC⊥BE恒成立．
（II）求出平面ABE的一个法向量和平面BCE的一个法向量，利用向量法能求出λ=1．
【解析】： （I）证明：以D为原点，DA，DC，DS为x，y，z轴，
如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，
则A（a，0，0），B（a，a，0），
C（0，a，0），D（0，0，0），E（0，0，λa），
（3分）
∴对任意λ∈（0，1]都成立，
，…
即AC⊥BE恒成立．…（5分）
（II）解：设平面ABE的一个法向量为
∵，
，
∴，
取z
1
=1，则x
1
=λ，
设平面BCE的一个法向量为，
．…（7分）
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∵n=3n+1，∴，
，…（9分）
取z
2
=1，则y
2
=λ，
∵二面角C﹣AE﹣D的大小为120°，
∴
∴λ=1为所求．…（12分）
，

【点评】： 本题考查异 面直线垂直的证明，考查使得二面角为120°的实数值的求法，是中档题，
解题时要注意向量法的合理 运用．

19．（12分）（2015?衡阳二模）某学校举行联欢会，所有参演的节目都 由甲、乙、丙三名专业老
师投票决定是否获奖，甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类 票各一张，每个节目投票
时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的 概率为，且三人
投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖； 否则，该节
目不能获一等奖．
（1）求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；
（2）求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望．

【考点】： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【专题】： 概率与统计．
【分析】： （1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件A，则事件A包含该 节目可以获2
张“获奖票”或该节目可以获3张“获奖票”，由此能求出某节目的投票结果是最终获一等 奖的概率．
（2）所含“获奖”和“待定”票数之和X的值为0，1，2，3，分别求出相应的概率， 由此能求出X的
分布列及数学期望．
【解析】： 解：（1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件A，
则事件A包含该节目可以获2张“获奖票”或该节目可以获3张“获奖票”，
∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为，
且三人投票相互没有影响，
∴某节目的投票结果是最终获一等奖的概率：
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P（A）==．
（2）所含“获奖”和“待定”票数之和X的值为0，1，2，3，
P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
=2．
=，
=，
=
=
，
，
E（X）=
【点评】： 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认
真审题，是中档题．

20．（12分）（2015?沈阳一模）如图所示，椭圆C：+=1（a＞b＞0），其 中e=，焦距为
2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B的 中点横坐标
为，且=λ．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求实数λ的值．


【考点】： 椭圆的简单性质．
【专题】： 计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】： （I）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；
（II）运用向 量共线的知识，设出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，运用判别式大于0，以及
韦达定理和中点坐 标公式，计算得到A，B的横坐标，即可得到所求值．
【解析】： 解：（I）由条件可知，c=1，a=2，
故b=a﹣c=3，
椭圆的标准方程是．
222
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（II）由，可知A，B，M三点共线，
设点A（x
1
，y
1
），点B（x
2
，y
2
）．
若直线AB⊥x轴，则x
1
=x
2
=4，不合题意．
当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣4）．
由消去y得，（3+4k）x﹣32kx+64k﹣12=0．①
2222
由①的判 别式△=32k﹣4（4k+3）（64k﹣12）=144（1﹣4k）＞0，
24222
解得，.，
由==，可得，即有．
将
则x
1
=
又因为
代入方程①，得7x﹣8x﹣8=0，
，x
2
=．
，，，
2
所以．
【点评】： 本 题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐
标公式，考查运算能力 ，属于中档题．

21．（12分）（2015?沈阳一模）已知函数f（x）=alnx （a＞0），e为自然对数的底数．
（Ⅰ）过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；
（Ⅱ）当x＞0．时，求证：f（x）≥a（1﹣）；
（Ⅲ）在区间（1，e）上e

﹣e＜0恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】： 导数的综合应用．
【分析】： （Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求实数a的值；
（Ⅱ）求函数的导数，利用导数法即可证明表达式；
（Ⅲ）利用导数和函数最值之间的关系即可求解．
【解析】： 解：（I） ，，a=4．…（2分）
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（Ⅱ）令
令g'（x）＞0，即，解得x＞1，
．…（4分）
所以g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
所以g（x）最小值为g（1）=0，所以．…（6分）
（Ⅲ） 由题意可知，化简得，a＞．…（8分）
令h（x）=，则h′（x）=，
∴．…（9分）
由（Ⅱ）知，在x∈（1，e）上，lnx﹣1+＞0，
∴h′（x）＞0，即函数h（x）在（1，e）上单调递增，
∴h（x）＜h（e）=e﹣1．…（11分），
∴a≥e﹣1．…（12分）
【点评】： 本题主要考查导数的综合应用，考查导数的几何意义以及导数和不等式之间的关系，
考查学生的运算和推理能力．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多 做，则按所做的第一题记分.在答题卡选答区域
指定位置答题，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题 号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂
题目的题号一致.【选修4-1：几何证明选讲】
2 2．（10分）（2015?沈阳一模）如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE
⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．
（Ⅰ）求证：C是劣弧BD的中点；
（Ⅱ）求证：BF=FG．


【考点】： 与圆有关的比例线段．
【专题】： 计算题．
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【分析】： （I）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证 明∠CAB=∠DAC，
根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易根据同角 的余角相等，得到结论．
（II）由已知及（I）的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三 角形，即CF=BF，CF=GF，
进而得到结论．
【解析】： 解：（I）∵CF=FG
∴∠CGF=∠FCG
∴AB圆O的直径
∴
∵CE⊥AB
∴
∵
∴∠CBA=∠ACE
∵∠CGF=∠DGA
∴
∴∠CAB=∠DAC
∴C为劣弧BD的中点（5分）
（II）∵
∴∠GBC=∠FCB
∴CF=FB
同理可证：CF=GF
∴BF=FG（10分）
【点评】： 本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同（等）角的 余角相等，其中根据AB是圆
O的直径，CE⊥AB于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解 答本题的关键．

【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．（2015?沈阳 一模）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为
直线l经过点P（1，2），倾斜角α=．
（θ为参数），





（Ⅰ）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA|?|PB|的值．

【考点】： 参数方程化成普通方程．
【专题】： 坐标系和参数方程．
【分析】： （Ⅰ）利用同角的三角函数的平方关系消去θ，得到圆的普通方程，再由直线过定点
和倾斜角确定直线的参数方程；
（Ⅱ）把直线方程代入圆的方程，得到关于t的方程，利用根与系数的关系得到所求．
【解析】： 解：（I）消去θ，得圆的标准方程为+y=16．…（2分）
22
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直线l的参数方程为，即（t为参数） …（5分）
（Ⅱ）把直线的方程代入x+y=16，
22
得（1+t）+（2+t）=16，即 t+（2+
222
）t﹣11=0，…（8分）
所以t
1
t
2
=﹣11，即|PA|?|PB|=11． …（10分）
【点评】： 本题考查了圆的参数方程化为普通方程、直线的参数方程以及直线与圆的位置关系问
题，属于基础题．

【选修4-5：不等式选讲】
24．（2015?沈阳一模）设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．

【考点】： 绝对值不等式的解法；函数最值的应用．
【专题】： 计算题；压轴题；分类讨论．
【分析】： （1）分类讨论，当x≥4时，当
集，再把解集取交集．
（2）利用绝对值的性质，求出f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．
【解析】： 解：（1）当x≥4时f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0得 x＞﹣5，所以，x≥4时，不等
式成立．
当
当
时，f（x）=2x+1+ x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4时，不等式成立．
时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以，x＜﹣5成立
时，当时，分别求出不等式的解
综上，原不等式的解集为：{x|x＞1或x＜﹣5}． （2）f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当所以，f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故 m＜9．
【点评】： 本题考查绝对值不等式 的解法，求函数的最小值的方法，绝对值不等式的性质，体现
了分类讨论的数学思想．
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