广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学(理)试题

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2013届 广东省六校第二次联考 理科数学试题
命题：中山纪念中学
六校分别为：广州二中、中山纪中、东莞中学、珠海一中、深圳实验、惠州一中
一．选择填空 （
本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
有且只有一项是符合 题目要求的）
1.复数
i?2
1?2i
?
（ ）

B.
?i
C.
?
4
5
?
3
5
i

A.

i
D.
?
4
5
?
3
5
i

2．“
a?1
”是“
(a?1)(a?2)?0
”成立的 （ ）
A
. 充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
????????
3.
?OAB
，点
P
在边
AB
上，
AB?3AP
，

????
??????????
设
OA?a,OB?b
，则
OP?
（ ）
1
?
2
?
2
?
1
?
A.a?b

B.a?b

a
3333

A
1
?
2
?
2
?
1
?
P

C.
a?b

D.
a?b

3333
O
b
B
4．
2log
5
10?log
5
0.25?
（ ）

A.0

B.1

C.2

D.4

5.把函数
y ?sin(x?
的
1
2
?
3
)
图象上所有点向右平 移
?
3
个单位，再将所得图象的横坐标变为原来
倍（纵坐标不变），得图象的 解析式是
y?sin(
?
x?
?
)(
?
?0,?
?
?
)
，则（ ）
1
2
,
?
??

A.
?
?
?
3

B.
?
?2,
?
?
?
3

C.
?
?2,
?
?0

D.
?
?2,
?
?
2
?
3

6. 在
?ABC
中，
b?5,?B?
?
4
,ta nA?2
，则
a
的值是 （ ）
10

2

????
7. 在平面直 角坐标系中，
O
为坐标原点，点
A(3,4)
，将向量
OA
绕点
O
按逆时针
????
2
?
方向旋转后得向量
OB
，则点
B
的坐标是 （ ）
3
3333
y
3)

B.(??23,?2?3)

A.(??23,?2?
2222
33
B
3)

D.(?4,3)

C.(??23,?2?
22
O
1
A.102

B.210

C.
A
x
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8. 已知实数
a、b
满足等式
2
a
?3
b
,下列五个关系式：①
0?b?a
②
a?b?0


③
0?a?b
④
b?a?0
⑤
a?b?0
, 其中有可能成立的关系式有 ( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二．填空题（
本大题共6小题，每小题5分，满分30分）
9．已知命题
p:?x?R,x
2
?x?1?0,
则命题
?p
是______________________.
?
3
(x?3)
?
10. 已知函数
f(x)?
?
x
若关于
x
的方程
f(x)?k
有两个不同的实根，则?
logx(0?x?3
3
?
实数
k
的取值范围是__ ________________.
11. 等比数列
{a
n
}
中，若
a
1
?
1
2
,a
4
??4
，则
a
1
?a
2
???a
n
?_________ ___.

D
E
12. 如图，在边长为2的菱形
ABCD

中，
?BAD?60
，
E
为
CD
的中点，
????????
则
AE?BD?___________.

?
C
A

B
13. 已知函数
y?x
3< br>?3x?c
的图像与
x
轴恰有两个公共点，则实数
c?_______ ___.


14．对于三次函数
f(x)?ax
3?bx
2
?cx?d(a?0),给出定义:设f
?
(x)是函数y?f (x)
的导数，
f
??
(x)
函数
f
?
( x)
的导数，若方程
f
??
(x)?0
有实数解
x
0
,则称点(x
0
,f(x
0
))
为
函数
y?f(x)
的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任
何一个三 次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数
f(x)?
1
3
x ?
3
1
2
x?3x?
1
3
x?
3
2
5
12
2
，请你根据上面探究结果，解答以下问题：
5
12
3
（1）函数
f(x)?
（2）计算< br>f(
1
1
2
x?3x?
2
)?f(
的对称中 心坐标为 ______ ；
)???f(
2012
2013
)
= __________ .
2003
)?f(
20132013






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三．解答题（
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明 过程或演算步骤）

15. （本小题满分12分）
已知函数
f(x)?c os
2
x?sin
2
x?sin2x

（1）求
f(x)
的最大值和最小正周期；
（2）设
?
,
?
?[0,




?
2
]
，
f(
?
2
?
?
8
)?
5
2
,f(
?
2
?
?
)? 2
，求
sin(
?
?
?
)
的值
16. （本小题满分12分）
已知
a?(sin
?
,cos
?
)
、
b?(3,1)

??
（1）若
ab
，求
tan
?
的值；
??
（2）若
f(
?
)?a?b
，
?ABC的三个内角
A,B,C
对应的三条边分别为
a
、
b
、< br>c
，且
????????
a?f(0)
，
b?f(?)
，
c?f()
，求
AB?AC
。
63
??
?
?






17. （本小题满分14分）
设
?
a
n
?< br>的公比不为1的等比数列，其前
n
项和为
S
n
，且
a
5
,a
3
,a
4
成等差数列．
（1）求数列
?
a
n
?
的公比；
（2）证明：对 任意
k?N
?
，
S
k?2
,







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S
k
,S
k?1
成等差数列．

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18. （本小题满分14分）
已知函数
f
?
x
?
?x
2
,g
?
x
?
?x?1
.
（1） 若
?x?R
，使
f
?
x
?
?b?g
?x
?
,求实数
b
的取值范围;
（2）设
F
?
x
?
?f
?
x
?
?mg
?
x?
?1?m?m
2
,且
F
?
x
?
在< br>?
0,1
?
上单调递增,求实数
m
的取值范
围.




19．（本小题满分14分）
已知三次函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx?d (a、b、c、d?R)
为奇函数，且在点
(1,f(1))

的切线方程为
y?2x?2
.
(1) 求函数
f(x)
的表达式.
(2) 求曲线
y?f(x)
在点M(x
0
，f(x
0
))
处的切线方程，并求曲线
y? f(x)
在点
M(x
0
，f(x
0
))
处的切线与 曲线
y?f(x)
围成封闭图形的面积.
(3) 如果过点
(2，t)< br>可作曲线
y?f(x)
的三条切线，求实数
t
的取值范围；






20. （本小题满分14分）
设
a?0,
函数
f(x)?
1
x?a
2
.
1
a
)
，使
f(x
0
)?x
0
； （1）证明：存在唯一实数
x
0
?(0,
*
（2）定义数列
{x
n
}:x
1
?0,x
n?1
?f(x
n
),

n?N

① 对（1）中的
x
0
，求证: 对任意正整数
n
都有
x
2n?1
?x
0
?x
2n
;
② 当
a?2
时,若
0?x
k
?
x
m?k
?x
k
?
1
3?4
k?1
1< br>2
(k?2,3,4,?)
,证明:对任意
m?N
都有
*



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2013届高三六校第二次联考（理科）数学试题
参考答案及评分标准
命题： 中山纪念中学 纪希刚 审题：梁世峰
第Ⅰ卷选择题
（满分30分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．
A
2．
A
3．
B
4．
C
5.
C

6．
B
7．
B
8．
C

第Ⅱ卷非选择题
（满分100分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9.
?x?R,x
2
?x?1?0

10.
(0, 1)

11.
2
n?1
?
1
2

12.
1

13.
c??2
（答对一个不得分）
14. 对称中心
(,1)
……3分； 2012………2分
2
1
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （本小题满分12分）
解：（1）
?f(x)?cos2x?sin2x? 2(
2
2
cos2x?
2
2
sin2x)
………… ………1分
?2sin(2x?
?
4
)
………………………3分
且
x?R
?f(x)
的最大值为
2
…………………………4 分
最小正周期
T?
2
?
2
?
?
………… …………………………5分
（2）
?f(
?
2
?
?
8
)?2sin(2(
?
2
?
?
8
)?
?
4
)?2sin(
?
?
?
2
)
………… ………6分

?2cos
?
?
6
4
5
2
，
?cos
?
?
10
4< br> …………………7分
又
?
?
?[0,
?
2< br>]
，
?sin
?
?
…………………8分
?f(?
2
?
?
)?2sin(2(
?
2
?
?
)?
?
4
)?2sin(
?
?
?
4?2
?
)
…………………9分
?2sin(
?
??
4
)?2
…………………10分
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又
?
?
?[0,
?
2
],?
?
?
?
4
?[
?
3
?
4
,
4
],?
?
?
?
4
?
?
2
?
??
?
4
…………………11分
5
sin(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
4
)?sin
?
?cos
?
4
?cos
?
?sin
?
4< br>?
3?
4
…………………12分
16. （本小题满分12分） < br>解：（1）
?
ab,?sin
?
?3cos
?
?0< br>…………………2分
?sin
?
?3cos
?
?tan?
?3
…………………4分
??
（2）
?
a?b?( sin
?
?3,cos
?
?1)
…………………5分
??
??
?a?b?(sin
?
?3)?(cos
?
?1)…………………6分
22
?5?23sin
?
?2cos
?< br>?5?4sin(
?
?
?
6
)
…………………7分
?a?f(0)?5?4sin
?
6
?7
…………………8分
?b?f(?
?
6
)?5?4sin0?5
…………………9分 < br>?c?f()?
3
?
5?4sin
?
2
?3
…………………10分
b?c?a
2bc
222
由余弦定理可知：
cosA??
75
30
…………………11分
????????????? ???
7
?AB?AC?ABACcosA?bccosA?
…………………12分（ 其它方法酌情给分）
2
17. （本小题满分14分）
解：（1）设数列
?
a
n
?
的公比为
q
（
q?0，q?1
）.
243
由
a
5
，a
3
，a
4
成等差数列，得
2a
3
?a
5
?a
4
，即
2a
1
q?a
1
q?a
1
q
. ???3分
2
由
a
1
?0，q?0
得
q?q?2 ?0
，解得
q
1
??2
，
q
2
?1
（舍去），所以
q??2
.?7分
（2）证法一：对任意
k?N
?
，
S
k?2
?S
k?1
?2S
k
?
?
S
k?2
?S
k
?
?
?
S
k?1
?S
k
?

?a
k?1
?a
k?2
?a
k?1

?2a
k?1
?a
k?1
?
?
?2
??0
，
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所以，对任意
k?N
?
，
S
k?2
,S
k
,S
k?1
成等差数列. ???14分
k
证法二： 对任意
k?N
?
，
2S
k
?
a
1
?
1?q
k?2
2a
1
?
1?q
1?q
k ?1
?
， ???9分
k?2k?1
S
k? 2
?S
k?1
?
?
1?q
?
a
1
?
1?q
1?q
?
?
a
1
?
2?q?q< br>?
1?q
， ???12分

2S
k
?
?
S
k?2
?S
k?1
?
?
2a
1
?
1?q
1?q
a
1
k
?
?
a
1
?
2?q
k?2
?q
k?1
?
1?q


?
?
2
?
1?qk
?
?
?
2?q
k?2
?q
k?1
?
?

?
1?q
?
?
?
q
1?q
a
1
q
k
2
? q?2
?
?0
，
S
k
,S
k?1
成等差数列。 ?????14分 因此，对任意
k?N
?
，
S
k?2
,

18. （本小题满分14分）
解（1）解：由
?x?R
,
f?
x
?
?bg
?
x
?
，得
?x?R< br>,使
x?bx?b?0
，???3分
所以，
??
?
?b
?
?4b?0
?b?0
或
b?4
； ???7分
（2）解：由题设得
F
?
x
?
?x?mx?1?m
???10分
22
2
2
?
m
?
m
?0< br>??
?1
或 ??? 13分
?
?
2
?
?
2
?
f(0)?1?m
2
?0
?
f(0)?1?m
2
?0
??

??1?m?0
或
m?2
???14分









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19. （本小题满分14分）
（1）解：
f(?x)?f(x)?0?bx
2
?d?0
恒成立
?b?d?0?f(x)?ax
3
?cx

又
f
?
(x)?3ax
2
?c?
在点
(1,f(1))
的切线方程为
y?(3a?c)(x?1)?a?c
，即
?
3a?c?2
?
a?1
3
y?(3a?c)x?2a?
?
?
?
?f(x)?x?x
……… 5分
?
?2a ??2
?
c??1
（2）解：设切点为
(x
0
,f(x0
))
，
f
?
(x)?3x
2
?1
则 切线方程是：
y?(3x
0
?1)(x?x
0
)?(x
0
?x
0
)
， ????7分
3323
令
x
3
?x?
(3x
0< br>2
?1)(x?x
0
)?(x
0
?x
0
)< br>得
x?3x
0
x?2x
0
?0

23

?(x?x
0
)
2
(x?2x
0
)?0
所以曲线与切线的另一公共点的横坐标是
?2x
0
?9分
x
0
?0
时
S?
?
x
0
?2x< br>0
(x?3x
0
x?2x
0
)dx?(
32
0
3
0
323
1
4
x?
x
0
4< br>3
2
3
x
0
x?2x
0
x)
23< br>223
x
0
?2x
0
?
27
4
27
4
x
0

x
0

4
4
x
0
?0
时
S??
?
?2x
0
x
0
(x?3xx?2x)dx?
?
?2x
0
(x?3x
0x?2x
0
)dx
?
切线与曲线恰有一个公共点，
S?0?x
0
?0
时，
27
4
综上：曲线
y?f(x)
x
0
（此步不扣分）
4
在点
M(x
0
， f(x
0
))
处的切线与曲线
y?f(x)
围成封闭图形的面积

S?
27
4
x
0

(x
0
?R)
. ……… 10分
4
（3）解： 令切线过
(2,t)
，代入整理得：
2x
0
?6x
0
?t?2?0
关于
x
0
有三个不同的解；
32
设g(x)?2x?6x?t?2
即
g(x)
有三个不同的零点； …?? 2分
又
g
?
(x)?6x(x?2)?x?(0,2)
时
g
?
(x)?0?g(x)
递减；
x?(??,0)?(2,??)

?
g(0)?t?2?0

g
?
(x)?0,g (x)
在区间
(??,0)、(2,??)
上分别递增，故
?
?g(2)?t?6?0
32

??2?t?6
??? 14分







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20. （本小题满分14分）
(1)解：有
f(x)?
1
x?a
2
?x?x?ax?1?0
令
g(x)?x?ax?1

1
a
1
a
3
3
3
由
g
?
( x)?3x
2
?a?0,g(0)??1?0,g()?
x
0
?(0 ,
1
a
?0
所以有且只有一个实数
)
，使
f(x< br>0
)?x
0
； ??????5分
(1) （Ⅰ）(数学归纳法)先证：
x
2n?1
?x
0
?x
2n

证明: ①
x
1
?0,x
2
?
1
a
?x
0< br>?(x
1
,x
2
)
;
1
x?a
2
② 假设
x
2k?1
?x
0< br>?x
2k
(k?1)
由
f(x)?
递减性得：

f(x
2k?1
)?f(x
0
)?f(x
2k
), (k?1)
即
x
2k
?x
0
?x
2k?1
(k?1)

又
f(x
2k
)?f(x
0
)?f( x
2k?1
)?x
2k?1
?x
0
?x
2k?2< br>
所以
n?k?1
时命题成立 所以
x
2n?1
?x
0
?x
2n
对
n?N
*
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