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山东省烟台市2020届高三上学期期末考试数学试题Word版含答案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 04:12
tags:高中数学资源网

高中数学题目搜索-如何学好高中数学状元

2020年9月20日发(作者:卢广绩)


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2019-2020学年度第一学期期末学业水平诊断
高三数学
注意事项:
1. 本试题满分150分,考试时间为120分钟。
2. 答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。
3. 使用答题纸时,必须使用0.5毫米的黑色签字 笔书写,要字迹工整,笔迹淸晰。超出答题区
书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、单项选择题:本题共8小題,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符 合題目要求的。
1. 己知集合A={
X
|
X
-
X
-2≤0},

B={x|y=
2
,则A∪B=
A. {x|-l≤x≤2} B. {x|0≤x≤2} C. {x|x≥-l} D. {x|x≥0}
2. “x∈R,x-x+l>0”的否定是
A.
C.
x∈R,
X
-
X
+1≤0
x∈R, x-x+l<0
2
2
2
B.
D.
x∈R,
x
-x+1<0
x∈R,
x
-x+l≤0
2
2
3. 若双曲线

(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为
D. 2x±y=0 A. 2x±3y=0 B. 3x±2y=0 C. x±2y=0
3
4.设a=log
0.5
3,b=0.5,c=
A.a,则a,b,c的大小关系为
C. b5.为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑期开设
“礼”“乐”“射” “御”“书”“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周.若课程“乐”
不排在第一周,课程“御” 不排在最后一周,则所有可能的排法种数为
A. 216 B. 480 C. 504 D. 624
6. 函数y=|x|+sinx的部分图象可能是
7.若x=α时,函数f(x)=3sinx+4cosx取得最小值,则sinα=
A. B. C. D.
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8.函数
取值范围是
A. (-∞,4)
,若方程f(x)=-2x+m有且只有两个不相等的实数根,则实数m的
B. (-∞,4] C. (-2,4) D. (-2,4]
二、多项选择题:本題共4小题,每小题5分,共20分。 在每小题给出的选项中,有多项符合
題目要求,全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.
9.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度,随机调査了50名男生
和50名女生,每位学 生对食堂的服务给出满意或不满意的评价,得到
如图所示的列联表.经计算
K
的观测值
k
≈4.762,则可以推断出
A. 该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为
2

满意
不满意

30
40
20
10

2
P(k≥k) 0.100 0.050 0.010
k
2.706 3.841 6.635
B. 调研结果显示,该学校男生比女生对食堂服务更满意
C. 有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
D. 有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
10. 已知函数f(x)=sin(3x+)(-<<)的图象关于直线x=对称,则
A. 函数f(x+)为奇函数
B. 函数f(x)在[,]上单调递増
C. 若|f(x1
)-f(x
2
)|=2,则|x
1
-x
2
< br>的最小值为
D. 函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=-cos3x的图象
11. 如图,在正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,点P在线段B
1
C上运动,则
A. 直线BD
1
丄平面A
1
C
1
D
B. 三棱锥P-A
1
C
1
D的体积为定值
C. 异面直线
AP
与A
1
D所成角的取值范用是[45°,90°]
D. 直线
C
1
P
与平面A
1
C
1
D所成角的正弦值的最大值为
2

12. 已知抛物线C:y=4x的焦点
为F、
准线为
l
,过点F的直线与抛物线交于两点
P(x
1
,y
1
),G(x
2
,y
2
),点P在l上的射影为P1
,则
A. 若
X
1
+
X
2
=6.则|PQ|=8
B. 以
PQ为
直径的圆与准线l相切
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C. 设M(O,1),则|PM|+|PP
1
|≥
D. 过点M(0,1)与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条
三、 填空題:本題共4小題,每小题5分,共20分。
13. 己知向量a,b满足|a|=l,|b|< br>=
2
,
a⊥(a+b),则a与b夹角为 .
.
.
,AC=2,BC=4,
14. 已知随机变量
X
N(1,),P(-1<< br>X
<1)=0.4,则P(
X
≥3)=
15. 设点P是曲线
y=e+x
上任一点,则点P到直线
x-y-1=O
的最小距离为
x2
16.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球
O
的表面上,PA丄平面 ABC,PA=6,AB=2
则:(1)球
O
的表面积为 ;(2)若D是BC的中点,过点D作球
O
的截面,则截面
面积的最小值是 。(本题第一空2分,第二空3分)
四、 解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟。
17. (10分)
在条件①(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,②asinB=bcos(A+< br>中任选一个,补充到下面问题中,并给出问题解答.
在ΔABC中,角A,B,C的对边分别
为a,b,c,
b+c=6,a=
求ΔABC的面积.
注:如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.


),③bsin=asinB
, ________________ ,
18. (12分)
已知数列{a
n
}的前n项和S
n
満足2S
n
=(n+1)a
n
(n∈N)且
a
1
=2.

(1)
(2)

19. (12 分)
20. 如图,在四棱锥
S-ABCD
中,ABCD为直角梯形
,AD∥BC ,BC⊥CD,平面SCD
丄平面
ABCD.
求数列{a
n
}的通项 公式;

b
n
=(a
n
-1)2.求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
an
ΔSCD
是以CD为斜边的等腰 直角三角形,
BC=2AD=2CD=
4,
E为BS上

点,且BE=2ES.

(1) 证明:直线SD∥平面
ACE;

(2) 求
二面角S-AC-E
的余弦值。
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21. (12 分)
已知椭圆的
两点,
|AF|+|BF|=8
.

(1) 求椭圆的标准方程;
的离心率为,F是其右焦点,直线y=kx与椭圆交于A,B
(2) 设Q(3,0),
若∠
AQB为锐角
,
求实数k的取值范围.

22. (12 分)
某企业拥有3条相同的生产线,每条生产线每月至多出现一次故障.各 条生产线是否出现故
障相互独立,且出现故障的概率为.
(1) 求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率;
(2) 为提高生产效益,该企业决定招聘n名维修工人及时对出现故障的生产线进行 修.
已知每名维修工人每 月只有及时维修1条生产线的能力,且每月固定工资为1万元.此外,
统计表明,每月在不岀现故障的情 况下,每条生产线创造12万元的利润;如果出现故障能
及时维修,每条生产线创造8万元的利润;如果 出现故障不能及时维修,该生产线将不创造
利润.以该企业每月实际获利的期望值为决策依据,在n=1 与n=2之中选其一,应选用哪个?
(实际获利=生产线创造利润一维修工人工资)


23. (12分)
已知函数
(1) 求函数f(x)的单调区冋;
(2) 讨论函数f(x)零点的个数;
,
其中O(3) 若 f(x)存在两个不同的零点x
1
,x
2
,求证:x
1
x< br>2

2
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高三数学参考答案

一、单项选择题
1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6. D 7.B 8.A
二、多项选择题

三、填空题
3
?
13. 14.
0.1

15.
2


16.
52
?

4
?

4


四、解答题
17.解:若选①:
由正弦定理得
(a?b)(a?b)?(c?b)c
, ………………………………2分

b
2
?c
2
?a
2
?bc

b
2
?c
2
?a
2
bc1
??
, ……………………………………4分 所以
cosA?
2bc2bc2
因为
A ?(0,
?
)
,所以
A?
?
3

a
2
?b
2
?c
2
?bc?(b?c)
2
?3bc

. …………………………………………6分
a?26

b?c?6
,所以
bc?4
, …………………………………………8

11
?
所以
S
?ABC
?bcsinA??4?sin?3
.

……………………………10分

223
若选 ②:
由正弦定理得
sinAsinB?sinBcos(A?)
. …………………………2分
6
因为
0?B?
?
,所以
sinB?0

sinA ?cos(A?)

6
31
cosA?sinA
, ………………………………………4分 化简得
sinA?
22
3
?

tanA=
,因为
0?A?
?
,所以
A?
. …………………………6分
3
6
又因为
a
2
?b
2
?c
2
?2bccos

6
6
2
? (26)
2
?
?
?
(b?c)
2
?a
2< br>所以
bc?
,即
bc?24?123
, ……………8分
=
2?32?3
111
所以
S
?ABC
?bcsinA? ?(24?123)??6?33
.

………………10分

222
若选 ③:
B+C
=sinAsinB
, ……………………………2分 由正弦定理得
sinBsin
2
因为
0?B ?
?
,所以
sinB?0

B+C
=sinA,又因为
B?C?
?
?A
, 所以sin
2
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AAA
=2sincos
, ………………………………………………4分
222
A
?
A
因为< br>0?A?
?

0??
,所以
cos?0

222
A1A
?
?

sin=

?
,所以
A?
.……………………………6分
22263

a
2
?b
2
?c
2
?bc?(b?c)2
?3bc

所以
cos
a?26

b? c?6
,所以
bc?4
, ………………………………………8分
11
?
所以
S
?ABC
?bcsinA??4?sin?3
.< br>
…………………………10分

223
18.解:(1)因 为
2S
n
=(n+1)a
n

n?N
*

所以
2S
n+1
=(n+2)a
n+1

n?N< br>*
.
两式相减得
2a
n?1
?(n?2)a
n?1
?(n?1)a
n


整理得
na
n+1
=(n+1)a
n
,. ………………………………………………2分
aa
a

n+1
=< br>n

n?N
*
,所以
{
n
}
为常数 列.
n+1n
n
a
a
所以
n
?
1
?2
, ………………………………………4分
n1
所以
a
n
=2n
. …………………………………………………5分
a
n
(2)
b
n
?(a
n
?1)2
n
=(2n?1)4
. ……………………………………………6分
所以
T
n
?1?4
1
+3?4
2
+5?4
3
+L+(2n?1)4
n

4T
n
?1?4
2
+3?4
3
+L+(2n?3) ?4
n
?(2n?1)?4
n?1
. ……7分
两式相减得:
?3T
n
?4+2?(4
2
+4
3
+L+4
n
)?(2n?1)?4
n?1
, …………………9分
4
2
?4
n+1
?(2n?1)?4
n?1

?3T
n
?4+2?
…………………11分
1?4
20(6n?5)4
n?1
+
化简得
T
n
?
. ……………………………………12分
9919.解:(1)连接
BD

AC
于点
F
,连接
EF
.
因为
ADBC
,所以
?AFD

?BCF
相似.
BFBC
所以
??2
. ………………………………………………1分
FDAD
BEBF

?=2
,所以
EFSD
. ……………………………………2分
ESFD
因为
EF?
平面
AC E

SD?
平面
ACE
,所以直线
SD
平面
ACE
.
…………………………………
…4分
(2)平面
S CD?
平面
ABCD
,平面
SCDI
平面
ABCD?CD< br>,
BC?
平面
ABCD

BC?CD
,所以
BC?
平面
SCD
. …………………………………5分
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uuuruuur

C
为坐标原点,
CD,CB
所在的方向分别为
y
轴、
z轴的正方向,与
uuuruuur
CD,CB
均垂直

z
B
E
C
x
S
A
F
D
y
的方向作为
x
轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
C?xyz. ……6

224

C(0,0,0)

S(1, 1,0)

A(0,2,2)

E(,,)


3 33
uuuruuur
224
CA?(0,2,2)

CS?(1, 1,0)

CE?(,,)
. ………7分

333
设平面
SAC
的一个法向量为
m=(x,y,z)
,则
uuur
?
CA?0
?
y?z?0
?
mg
,即,
r
?
uuu
?
CS?0
?
x?y?0
?
?
mg
不妨令
z?1
,得
x?1

y??1
,于是< br>m?(1,?1,1)
. …………………9分

设平面
EAC
的一个法向量为
n?(x,y,z)
,则
uuur
?
?
y?z?0
?
ngCA?0
,即,
uuur
?
?
?
x?y?2z?0
?
?
n gCE?0
不妨令
z?1
,得
x??1

y??1
,于是
m?(?1,?1,1)
. …………………11

mgn
1
设二面角
S?AC?E
的平面角的大小为
?
,则
cos
?
??
.
mn3
1
所以二面角
S?AC?E
的余弦值为. ……………………………………1
3
2分
20.
解:(
1)设
F
1
为椭圆的左焦点,连接
F
1
B
,由椭 圆的对称性可知,
AF?F
1
B


所以
AF?B F?BF
1
?BF?2a?8
,所以
a=4


…………………2分

3c
=

a
2
= b
2
+c
2
,解得
b?2

c?23
.
………………4分

2a
x
2
y
2
所以 椭圆的标准方程为
+=1
.
……………………………………5分

164
uuuruuur

2
)设点
A(x1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,则
QA?(x
1
?3,y
1
)

QB?(x
2
?3,y
2
)
,……6分


e=
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?
x
2
y
2
?1
?
?
22
联立
?
164
,得
(4k?1)x?16?0

?
y?kx
?
?16
所以
x
1< br>?x
2
?0


x
1
x
2
?


……………………………………8分
2
4k
r
?1
ru uuuuu
因为
?AQB
为锐角,所以
QAgQB?0
.
……………………………………9分
uuuruuur
所以
QAgQB? (x
1
?3)(x
2
?3)?y
1
y
2

?9?3(x
1
?x
2
)?x
1
x
2?y
1
y
2

?9?3(x
1
?x
2
)?(1?k
2
)x
1
x
2

……………………………10分

16(1?k
2
)
?9??0

2
4k?1
35
35
解得
k>

k??
.
……………………………………12分
10
10
21.解:(1)设3条生产线中出现故障的条数为
X

1

X:B(3,)
. ……………………………………………………2分
3
124
1
1
1
2
2
因此
P(X?1)?C
3
()()?=
. ……………………………………4分
33279
(2)①当n?1时,设该企业每月的实际获 利为
Y
1
万元.

X?0
,则
Y
1
?12?3?1?35


X?1
,则
Y
1
?12?2+8?1?1?31


X?2
,则
Y
1
?12?1+8?1+0?1?1? 19


X?3
,则
Y
1
?12?0+8?1+ 0?2?1?7
; ……………………6分
128126

P(X?0)?C
3
0
()
0
()
3
?

P(X?2)?C
3
2
()
2
()
1
?< br>,
33273327
1
3
1
3
2
0
, ………………8分
P(X?3)?C
3
()()?
3327
此时, 实际获利
Y
1
的均值
81261773
………………9分
EY
1
?35??31??19??7?=
272727 2727
②当
n?2
时,设该企业每月的实际获利为
Y
2
万 元.

X?0
,则
Y
2
?12?3?2?34


X?1
,则
Y
2
?12?2+8?1?2?30


X?2
,则
Y
2
?12?1+8?2?2?26

X?3
,则
Y
2
?12?0+8?2+0?1? 2?14
; ………………………11分
81261802

EY< br>2
?34??30??26??14?=
2727272727
因为
E Y
1
?EY
2
.
于是以该企业每月实际获利的期望值为决策 依据,在
n?1

n?2
之中选其
一,
应选用
n?2
. ………………………………………………12分
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22. 解:(1)函数
f(x)
的定义域为
{x|x?0}
.
113f'
?
x
?
?(x?a)lnx?(x
2
?ax)?? 2a?x
, ………………1分
2x2
?(x?a)(lnx?1)


f
?
(x)?0
,得
x?a

x?e< br>. ………………………………………… 2分
因为
0?a?e
,当< br>0?x?a

x?e
时,
f'
?
x
?
?0

f(x)
单调递增;当
a?x?e
时,
f'
?
x
?
?0

f(x)
单调递减.所以
f
?
x
?
的增区间为
?
0,a
?

?e,??
?
,减区间为
?
a,e
?
. …………………………………………………………………4分
(2)取
?
=min{ 1,2a}
,则当
x?(0,
?
)
时,
13
x?a ?0

lnx?0

2a?x?0

24
13
f(x)?x(x?a)lnx?x(2a?x)?0

24
又因为
0?a?e
,由(1)可知
f
?
x
?< br>在
(0,a)
上单增,因此,当
x?(0,a]
,恒
f(x) ?0


f(x)

(0,a]
上无零点. …………………………5分
下面讨论
x?a
的情况:
e
①当0?a?
时,因为
f(x)

(a,e)
单减,
(e, ??)
单增,且
f(a)?0

4
e1
f(e)?e(a? )?0

f(e
2
)=e
4
?0

44
根据零点存在定理,
f(x)
有两个不同的零点. ……………………6分
e
②当
a=
时,由
f(x)
(a,e)
单减,
(e,??)
单增,且
f(e)?0

4
此时
f(x)
有唯一零点
e
. ……………………………………7分
ee
③若
?a?e
,由
f(x )

(a,e)
单减,
(e,??)
单增,
f(x)?f( e)?e(a?)?0

44
此时
f(x)
无零点. ……………………………………………8分
ee
综上,若
0?a?

f(x)
有两个不同的零点;若
a=

f(x)
有唯一零点
e
;若
44
e
?a?e

f(x)
无零点.
4
e
(3)证明:由(2)知,
0?a?
,且
a?x
1
?e?x
2
.
4
e
2
构造函数
F (x)?f(x)?f()

x?(a,e)
. ………………………………9分
x
42
ee

F
?
(x)?
(x?a)(lnx?1)?(
3
?a
2
)(lnx?1 )

xx
x
4
?ax
3
?e
2
a x?e
4
. ……………………………………10分
?(lnx?1)x
3
4324

g(x)?x?ax?eax?e

x ?(a,e)
.
22
因为当
x?(a,e)
时,
x?e? ax?0
,
x
2
?e
2
?0

4324 2222
所以
g(x)?x?ax?eax?e=(x?e?ax)(x?e)<0


lnx?1?lne?1?0
,所以
F
?
(x)?0恒成立,即
F(x)

(a,e)
单增.
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2
e
于是当
a?x?e
时,
F(x)?F(e)?0
,即
f(x)?f()
. ………………11分
x
e
2< br>因为
x
1
?(a,e)
,所
f(x
1
)?f ()

x
1
e
2

f(x
1
) ?f(x
2
)
,所以
f(x
2
)?f()
x
1
e
2
e
2
??e
,且
f(x)< br>在
(e,??)
单增, 因为
x
2
?e

x
1
e
e
2
e
2
2
所以由
f(x< br>2
)?f()
,可得
x
2
?
,即
x
1
x
2
?e
. ………………………12分
x
1
x
1


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