2013上海高考数学文科试题及解析

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2013年上海高考数学试题（文科）
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一、填空题（本大题共有1 4题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内
直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得 零分．
x
1．不等式
?0
的解为 ．
2x? 1
2．在等差数列
?
a
n
?
中，若
a
1< br>?a
2
?a
3
?a
4
?30
，则
a
2
?a
3
?
．
3．设
m?R
，
m
2
?m?2?m
2
?1i
是纯虚数，其中i
是虚数单位，则
m?
．
??
4．若
x2
11
?0
，
xy
11
?1
，则
x? y?
．
222
5．已知
?ABC
的内角
A
、
B
、
C
所对的边分别是
a
，
b
，
c
．若
a?ab?b?c?0
，
则角
C
的大小 是 （结果用反三角函数值表示）．
6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的 40%．在一次考试中，男、女生平均分数
分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．
a
??
7
7．设常数
a?R
．若
?
x
2
?
?
的二项展开式中
x
项的系数为-10，则
a ?
．
x
??
9
x
的实数解为 ．
?1?3
x
3?1
1
9．若
cosxcosy?si nxsiny?
，则
cos
?
2x?2y
?
?
．
3
10．已知圆柱
?
的母线长为
l
，底面半径为r
，
O
是上地面圆心，
A
、
B
是下底面圆周上
π
1
两个不同的点，
BC
是母线，如图．若直线
OA
与
BC
所成角的大小为，则
?
．
6
r
8．方程
11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个， 则这两个球的编号之积
为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）．
12．设< br>AB
是椭圆
?
的长轴，点
C
在
?
上，且?CBA?
的两个焦点之间的距离为 ．
5
π
．若
AB?4
，
BC?2
，则
?
4
a
2
?a ?1
对一切正实数
x
成立，则
a
的取值范围为 ． 13．设常数
a?0
，若
9x?
x
uruur
14．已知正 方形
ABCD
的边长为1．记以
A
为起点，其余顶点为终点的向量分别为a
1
、
a
2
、
uur
ur
uurur
a
3
；以
C
为起点，其余顶点为终点的向量分别为
c
1
、
c
2
、
c
3
．若
i,j,k,l?
?
1,2,3
?
且
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uruuruurur
i?j,k?l
，则< br>a
i
?a
j
?c
k
?c
l
的最小值 是 ．
????
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一 个正确答案，考生应在答题纸
的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．函数
f
?
x
?
?x
2
?1
?
x?1
?
的反函数为
f
?1
?
x
?，则
f
?1
?
2
?
的值是（ ）
（A）
3
（B）
?3
（C）
1?2
（D）
1?2

16．设常数
a?R
，集合
A?x|
?
x?1
??
x?a
?
?0
，
B?
?< br>x|x?a?1
?
．若
AUB?R
，
则
a
的 取值范围为（ ）
（A）
?
??,2
?
（B）
?
??,2
?
（C）
?
2,??
?
（D）
?
2,??
?

??

17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ）
（A）充分条件 （B）必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
x
2
ny
2
??1
围成的区 域（含边界）为
?
n
?
n?1,2,L
?
，当点
?
x,y
?
分别在18．记椭圆
44n?1
?
1
,?
2
,L
上时，
x?y
的最大值分别是
M
1
,M
2
,L
，则
limM
n
?
（ ）
n??
A．0 B．

1
C．2 D．
22

4
三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须 在答题纸相应编
号的规定区域写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）如图，正三棱锥< br>O?ABC
底面边长为
2
，高为
1
，求该三棱锥的体
积及表面积．
O
B
A
C
第19题图

20．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．
甲厂 以
x
千米小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求
1?x?10
），每小 时可
获得的利润是
100(5x?1?)
元．
3
x
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（1）求证：生产a
千克该产品所获得的利润为
100a(5?
13
?)
； xx
2
（2）要使生产
900
千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该 如何选取何种生产速度？并
求此最大利润．


21．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已 知函数
f(x)?2sin(
?
x)
，其中常数
?
?0．
（1）令
?
?1
，判断函数
F(x)?f(x)?f(x?
?
2
)
的奇偶性并说明理由；
（2）令
?
?2< br>，将函数
y?f(x)
的图像向左平移
?
个单位，再往上平移
1
个单位，得到函
6
数
y?g(x)
的图像．对任意的
a? R
，求
y?g(x)
在区间
[a,a?10
?
]
上 零点个数的所有可
能值．


22．（本题满分16分）本题共有3个小题 ．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3
小题满分8分．
已知函数
f(x) ?2?|x|
．无穷数列
{a
n
}
满足
a
n?1< br>?f(a
n
),n?N*
．
（1）若
a
1
?0
，求
a
2
，
a
3
，
a
4；
（2）若
a
1
?0
，且
a
1
，< br>a
2
，
a
3
成等比数列，求
a
1
的 值；
（3）是否存在
a
1
，使得
a
1
，
a
2
，
a
3
，…，
a
n
…成等差数列？若 存在，求出所有这样的
a
1
；
若不存在，说明理由．


23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3
小 题满分9分．

x
2
?y
2
?1
，曲线
C
2
：
|y|?|x|?1
．
P
是平面内一点，若存如图， 已知双曲线
C
1
：
2
在过点
P
的直线与
C
1
、
C
2
都有公共点，则称
P
为
“
C
1
?C
2
型点”．
（1）在正确证明
C
1< br>的左焦点是“
C
1
?C
2
型点”时，要
使用一条过该 焦点的直线，试写出一条这样的直线的
方程（不要求验证）；
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（2）设直线
y?kx
与
C
2
有公共点，求证
|k|?1
，进而证明原点不是“
C
1
? C
2
型点；
（3）求证：圆
x?y?
22
1
内的 点都不是“
C
1
?C
2
型点”．
2
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参考答案
一、选择题
1．
(0,
1
1
)

【解析】
x(2x?1)?0?x?(0,)

2
2
2．15
【解析】
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?2(a
2
?a
3
)?30?a
2
?a
3
?15

22
2
?
?
m?m?2?0
?m??2

3．
m??2

【解析】
m?m?2?(m?1)i是纯虚 数?
?
2
?
?
m?1?0
4．1
【解析】
已知
x 2x y
?x?2?0?x?2，又?x?y?1
，联立上式解之得
1 11 1
x?2,y?1

a
2
?b
2
-c
2
?12
2
?
222
5．
【解析】
a ?ab?b-c?0?cosC???C?
?

3
2ab23
4060
?75??80?78

100100
r25?r
a
r
7．
?2

解：
T
r?1
?C
5
(x)(),2(5?r)?r?7? r?1
，
x
6．
78 【解析】
平均成绩?
故
C
5
a??10?a??2
．
8．
x=log
3
4

1
【解析】
99
x
?1?3??3
x
?1?3
x
?1??3?3
x
??3?1?0?3
x
?4?x?log
3
4

xx
3?13?1
7
9．
【解析】
?
9< br>17
cosxcosy?sinxsiny?cos(x?y)??cos2(x?y)?2co s
2
(x?y)?1??

39
10．
3

【解析】
由题知，tan
?
6
?
r3l
???3

l3r
2
5
C
4
5
11．
解：7个数4个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为
1?
2
?
．
7
C
7
7
【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。
从4个奇数和3个偶数共7个数中任取2个，共有C
7
2
?21个

2
2个数之积为奇数?2个数分别为奇数，共有C
4
?6个.

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2
C
4
65
所以2个数之积为偶数的概率P?1?
2
?1??

217
C
7
46
x
2
y
2
??1
，于是可算得
C(1,1)
，得
12．
解：不妨设椭圆
?的标准方程为
3
4b
2
446
b
2
?,2c?
．
33
法二：【解析】 如右图所示。
C
A
D
B
设D在AB上，且CD?AB,AB?4,BC?2,?CBA?45??CD?1,DB ?1,AD?3?C(1,1)
?2a?4,把C(1，1)代入椭圆标准方程得
?2c?13．
[
114
2
8
2222
??1,a?b?c?b ?,c?

33
a
2
b
2
4
6

3
1
,??)

【解析】 考查均值不等式的应用。
5
a
2
a
2
1
由题知，当x?0时,f(x)?9x?? 29x??6a?a?1?a?

xx5
14．
?5

【解析】 根据对称性，
当向量(a
i
?a
j
)与(ck
?c
l
)互为相反向量，且它们的模最大时

，(a
i
?a
j
)(c
k
?c
l
)最小。这时a
i
?AC,a
j
?AD,c
k
?CA,c
l
?CB ,

(a
i
?a
j
)(c
k
?c
l
)??|a
i
?a
j
)|
2
??5

15．A
【解析】
由反函数的定义可知，x?0,2?f(x)?x?1?x?
2
3

16．B
解：集合A讨论后利用数轴可知，
?
?
a?1
?
a?1
或
?
，解答选项为B．
a?1?a
a?1?1?
?
法二：代值法，排除法。当a=1时，A=R，符合题意；当a=2时，
?B ?[1,??),A?(??,1]?[??),2)?A?B?R,符合题意。

综上，选B
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标准解法如下:
?B?[a?1,??),A?B?R?A?(??,a?1)


由(x? 1)(x?a)?0?当a?1时，x?R,当a?1符合题意；当a?1时x?(??,1]?[a,??)，
?1?a?1解得1?a?2;当a?1时x?(??,a]?[1,??)?a?a?1?a?1.
综上，a?2

17．A
【解析】
便宜没好货?便宜则不是好货?好货则不便宜

所以“好货”是“不便宜”的充分条件
选A
x
2
ny
2< br>x
2
y
2
x
2
y
2
18．D
【解析】
椭圆方程为：??1?lim????1
n????
1
4 4n?1444

4?
n
?
x
2
y
2?1
?
?
联立
?
4
?x
2
?(u?x )
2
?4?2x
2
?2ux?u
2
?4?0???4u2
?8(u
2
?4)?0
4
?
u?x?y
?< br>?u
2
?2(u
2
?4)?0?8?u
2
?u?[? 22,22],所以x?y的最大值为,22

选D

19．
【解析】
三棱锥O?ABC的体积V
O?ABC
?
11
?S
?ABC
?1??3

33
设O在面ABC中的射 影为Q,BC的中点为E,则OQ?1，QE?
3
2
42
)??OE?

33
3
3
，在RT?OQE中
3
，OE
2?OQ
2
?EQ
2
?1
2
?(
三棱锥O?AB C的表面积S
O?ABC
?3S
?OBC
?S
?ABC
?3 ?
所以，
三棱锥O?ABC的体积V
O?ABC
?
BC
?O E?3?33
2

3
,表面积S
O?ABC
?33

3

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20．
解：（ 1）每小时生产
x
克产品，获利
100
?
5x?1?
??
3
?
?
，
x
?
生产
a
千 克该产品用时间为
3
?
a13
?
a
??
，所获利润 为
100
?
5x?1?
?
??100a
?
5??< br>2
?
.
x
?
xxx
?
x
???
?
13
?
?
?
11
?
61?
?
2
?
?90000
?
?3
?
?
??
?

xx
?
?
?
x6
?
1 2
?
（2）生产900千克该产品，所获利润为
90000
?
5?< br>所以
x?6
，最大利润为
90000?
61
?457500< br>元。
12
21．法一：
解：（1）
F(x)?2sinx?2sin (x?
?
)?2sinx?2cosx?22sin(x?)

24
?
F(x)
是非奇函数非偶函数。
∵
F(?
?
)?0,F()?22
，
∴
F(?)?F(),F(?)??F()

444444
f(x)?f(x?)
是既不是奇函数也不是偶函数。
< br>2
?
????
∴
函数
F(x)?
?
（2）< br>?
?2
时，
f(x)?2sin2x
，
g(x)?2sin2 (x?
其最小正周期
T?
?

?
)?1?2sin(2x?)?1
，
63
?
?
1
)?1?0
，得
sin(2x?)??
，
332
??< br>k
???
∴
2x??k
?
?(?1)
k
?, k?Z
，即
x??(?1)
k
??,k?Z

362126
由
2sin(2x?
?
区间
?
a,a?10
??
的长度为10个周期，
若零点不在区间的端点，则每个周期有2个零点；
若 零点在区间的端点，则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点，其它区间仍是2
个零点；
故当
a?
k
???
?(?1)
k
??,k?Z
时 ，21个，否则20个。
2126
法二：【解析】 （1）
??
?
?1时，f(x)?2sinx,F(x)?f(x)?f(x?)?2sinx?2sin(x?)

22
?2sinx?2cosx?22sin(x?
?图像左移
?
4
),?周期T?
2
?
?

?2
?
,y?2 2sinx是奇函数，
?
4
后得f(x)?22sin(x?
?
4< br>
)，即不是奇函数，也不是偶函数。
个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x): （2）ω=2，将函数y=f(x)的图像向左平移
?
6
f(x)?2sin2x,g (x)?f(x?
?
6
)?1?2sin2(x?
?
)?1,最小正 周期T?
?
.
6
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令f(x)?0?sin2(x?
?
1

)??在一个周期内最多有 3个零点，最少2个零点。
62
所以y=g(x)在区间[a, a+10π]、其长度为10个周期上，零点个数可以取20,21个
22．
【解析】 （1）
由a
n?1
?f(a
n
)?a
n?1
?2 ?|a
n
|.a
1
?0?a
2
?2,a
3
?0,a
4
?2

2
a
2
（2）
?a1
,a
2
,a
3
成等比?a
3
?
2< br>?2-|a
2
|?a
2
?a
1
(2-|a
2
|)，且a
2
?2-|a
1
|

a
1?(2-|a
1
|)
2
?a
1
[2?|2-|a
1
||]?(2-a
1
)
2
?a
1
[2?|2- a
1
|]

分情况讨论如何：
当2-a
1
?0时 ，(2-a
1
)
2
?a
1
[2?（2-a
1
）?a
1
?a
1
?1，且a
1
?2

当 2-a
1
?0时，(2-a
1
)
2
?a
1
[2?（a
1
?2）?a
1
(4?a
1
)?2a
1
?8a
1
?4?0?a
1
?4a
1
?4?2
?2a
1
?8a
1
?4?0?(a
1
?2)
2< br>?2?a
1
?2?2，且a
1
?2

综上，a
1
?1，或a
1
?2?2

（3）
假设存在公差为d的等差数列{a
n
}满足题意，,则：?n?N*,a
n?1?2?|a
n
|?a
n
?d

2
2
2 2
?2?d?a
n
?|a
n
|.
讨论如下:
当a
n
?m即数列{a
n
}为常数数列时，d?0,2?2a
n
?a
n
?1?a
1
?1


当数列{a
n
}不是常数数列时?a
n
?0，2?d?0?d?2??a
n
?0, 所以不满足题意。

综上，存在a
1
?1的等差数列{a
n
},且a
n
?1满足题意。
23．【解析】 （1）
x
2
由C
1
方程：?y
2
?1可知：a
2
?2,b
2< br>?1,c
2
?a
2
?b
2
?3,F
1
(?3,0)

2
显然，由双曲线
C
1
的几何图像性质可 知，过
F
1
的任意直线都与曲线C
1
相交
.在曲线
C
2
图像上取点P(0,1),则直线
PF
1
与两曲线C
1
、C
2
均有交点
。这时直线方程为
y?

3
(x?3)?3y?x?3?0

3
所以，C
1
的左焦点是“C
1
-C
2
型点”.过该焦点的一条直线方程是
3y? x?3?0
.
（2） 先证明“若直线y=kx与
C
2
有公共点，则
k
＞1”.
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双曲线
C
1
的渐近线：y??
b1
x??x.

a
2
1
2
,
1
2
）
.
若直线y?kx与双曲线C
1
有交点，则k?A?（-
若直线y?kx与曲线C
2
有交点，则k?B?（-?，-1）?（1，?）
.
所以，若直线y = kx 与
C
2
有公共点，则
k
＞1 . （证毕）
?A?B?< br>?
,?直线y?kx与曲线C
1
、C
2
不能同时有公共交点< br>。
所以原点不是“C
1
-C
2
型点”；（完）
（ 3）设直线
l
过圆
x?y?
22
1
内一点，则斜率不存在时 直线
l
与双曲线
C
1
无交点。
2
设直线
l
方程为：y = kx + m，显然当k=0时直线
l
与双曲线
C
1
不相交。
经计算 ，圆
x?y?
当
k??
22
1
内所有点均在曲线
C
2
y?x?1
的延长线所围成的区域内，所以
2
b1
2< br>??
时，直线
l
与曲线
C
1
不相交。若直线
l
与曲线
C
2
相交， 则
k?1
·····①
a
2
下面讨论
k??
1
2
时的情况。
圆 心到直线
l
的距离
|m|
k
2
?1
?
1< br>2
?2m
2
?1?k
2
·········②
?< br>x
2
?
?y
2
?1
假设直线
l
与曲 线
C
1
相交，联立方程：
?
2
?x
2
?2 (k
2
x
2
?2kmx?m
2
)?2
，
?
y?kx?m
?
?(2k
2
?1)x
2
?4k mx?2m
2
?2?0，k??
1
2
???(4km)
2< br>?4(2k
2
?1)(2m
2
?2)?0
?2k
2< br>?1?m
2
···············③
?
2k
2< br>?2
222
??
4m?2?1?mm?1
?
2
??< br>2
?
?
?m?
?
由①②③得：
?
2k?4 m?2?
?
22
??
?
2k
2
?1?m
2
?
2?1?m
?
1?m
?
所以，过圆
x?y?22
1
内任意一点做任意直线，均不存在与曲线
C
1
和
C
2
同时相交。即圆
2
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x
2
?y
2
?








































1
内的点都不是“C
1
-C
2
型点”.(证毕)
2


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