第二章数列单元综合测试(人教A版必修5)

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第二章数列单元综合测试
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
题号
答案
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

一、选择题(每小题5分，共60分)
1．数列{2n＋1}的第40项a40于( )
A．9
C．40
解析：a40
答案：A
2．等差数列{2－3n}中，公差d等于( )
A．2
C．－1




B．3
D．－3
＝
等




B．10
D．41
2×40＋1＝81＝9.
解析：设a
n
＝2－3n，
则an＋1a
n
＝[2－3(n＋1)]－(2－3n)＝－3.
答案：D
3．数列{a
n
}的通项公式是a
n
＝2
n
，S< br>n
是数列{a
n
}的前n项和，则S10于( )
等
－
A．10

B．210
D．2
11
－2 C．2
10
－2
解析：
∴数列{a
n
}是公比为2的等比数列且a
1
＝2.

答案：D
4．在等差数列{a
n
}中，前n项和为S
n
， 若a
7
＝5，S
7
＝21，那么S10于( )
A．55
C．35




B．40
D．70
等
?
?
a
1
＋6d＝5，
解析 ：设公差为d，则
?

?
7a＋21d＝21，
?
1
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2
解得d＝，a
1
＝1，
3
则S
10
＝10a
1
＋45d＝40.
答案：B
5．等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且4 a
1,
2a
2
，a
3
成等差数列．若a
1
＝1，则S
4
等于( )
A．7
C．15




B．8
D．16
解析：设公比为q，由于4 a
1,
2a
2
，a
3
成等差数列，
则4a
2
＝4a
1
＋a
3
，
所以4q＝4＋q
2
，解得q＝2.
a
1
?1－q
4
?1－2
4
所以S
4
＝＝＝15.
1－q1－2
答案：C
6．等差数列{a
n
}的前n项和为S
n,
若a
3
＋a1710，则S19值是( )
A．55
C．100


＝
＝的


B．95
D．不确定
，＝
19?a
1
＋a19?
19
解析：a
3
＋a17a
1
＋a19∴S19＝× 10＝95.
22
答案：B
7．设{a
n
}是公差为正数的等差 数列，若a
1
＋a
2
＋a
3
＝15，a
1
a
2
a
3
＝80，则a
11
＋a
12
＋a
13
＝( )
A．120
C．90




B．105
D．75
解析：{a
n
}是 公差为正数的等差数列，若a
1
＋a
2
＋a
3
＝15，即3 a
2
＝15，则a
2
＝5.
又a
1
a
2
a
3
＝80，∴a
1
a
3
＝(5－d)(5＋d) ＝16，∴d＝3.

答案：B
8．一个只有有限项的等差数列，它前5项的和为 34，最后5项的和为146，所有项的
和为234，则它的第7项等于( )
A．22
C．19




B．21
D．18
解析：设该数列有n项，且首项为a
1
，末项为a
n,
公差为d.
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5a＋10d＝34，①
?
?
5a－10d＝146，②
则依题意有
?
a＋a
n＝234，③
?
?
2
·
1n
1n


①＋②可得a
1
＋a
n
＝ 36.代入③得n＝13.从而有a
1
＋a1336.
a
1
＋a1 3
36
又所求项a
7
恰为该数列的中间项，∴a
7
＝＝＝1 8.故选D.
22
答案：D
a
9．三个不同的实数a，b，c成等差数列，又a，c，b成等比数列，则等于( )
b
A．－2
C．－4




B．2
D．4
＝
解析：∵2b＝a＋c，∴c＝2b－a.∵c2
＝ab，∴a
2
－5ab＋4b
2
＝0，∴a＝b(舍去)或 a＝4b，
a
∴＝4.
b
答案：D
10．已知等比数列{an
}满足a
n
>0，n＝1,2，…，且a
5
·a2n－522 n
(
n≥3)，则当n≥1时，
＝
log
2
a
1< br>＋log
2
a
3
＋…＋log
2
a2n－1于( )
A．n(2n－1)
C．n
2



B．(n＋1)
2

D．(n－1)
2

等
解析：设公比为q，

答案：C
11．在一直线上共插有13面小旗，相邻两面小旗之间距离为10 m，在第一面小旗处有
一 个人，把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路程最短，
应集中到哪一 面小旗的位置上( )
A．7
C．5
解析：




B．6
D．4

图1
如图1所示，设将旗集中到第x面小旗处，则从第一面旗到第x面旗共走路程为10(x
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－1)m，然后回到第二 面旗处再到第x面处的路程是20(x－2)m，…，从第x－1面到第x面
来回共20 m，从第x面处到第x＋1面处路程为20 m，从第x面到第x＋2面处的路程为20×2
m，….
总共的路程为s＝10(x－1)＋20(x－2)＋20(x－3)＋…＋20×1＋20×1＋20 ×2＋…＋
?x－2??x－1??13－x??14－x?
20×(13－x)＝10(x－ 1)＋20·＋20·＝10[(x－1)＋(x－2)(x－1)＋(13
22
293115
－x)(14－x)]＝10(2x
2
－29x＋183)＝20(x－)
2
＋.
44
∵x∈N
*
，∴当x＝7时，s有最小值为780 m，
即将旗集中到第7面小旗处，所走的路程最短．
答案：A
12．若数列{a
n
}是等差数列，首项a
1
>0，a
2007
＋a
200 8
>0，a
2007
·a
2008
<0，则使前n项和S
n
>0
成立的最大自然数n是( )
A．4013
C．4015




B．4014
D．4016
解析 ：由已知a
1
>0，a
2007
·a
2008
<0，可得数 列{a
n
}为递减数列，即d<0，a
2007
>0，a
2008< br><0.
利用等差数列的性质及前n项和公式可得

所以使前n项和S
n
>0成立的最大自然数n是4014，选B.
答案：B
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．数列 {a
n
}中的前n项和S
n
＝n
2
－2n＋2，则通项公式 a
n
＝________.
解析：当n＝1时，a
1
＝S
1
＝1；
当n>1时，a< br>n
＝S
n
－S
n
－
1
＝(n
2－2n＋2)－[(n－1)
2
－2(n－1)＋2]＝2n－3.
又n＝1时，2n－3≠a
1
，
?
?
1，n＝1，
所以有a
n
＝
?
?
2n－3，n>1.
?
?
1，n＝1，
?
答案：a< br>n
＝
?

?
?
2n－3，n>1


14．设{a
n
}为公比q>1的等比数列，若a
2006
和a2007
是方程4x
2
－8x＋3＝0的两根，则
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a2008a2009________.
13
解析：方程4x
2
－8x＋3＝0的两根是和，
22
＋＝

答案：18
a
1
15．等差数列{a
n
}中，若S
12
＝8S
4
，且d≠0，则等于_____ ___．
d
解析：∵S
12
＝12a
1
＋66d，S4
＝4a
1
＋6d，又S128S
4
，∴12a
1＋66d＝32a
1
＋48d.∴20a
1
a
1
189
＝18d，∴＝＝.
d2010
9
答案：
10
16．用 [x]表示不超过x的最大整数，如[0.78]＝0，[3.01]＝3，如果定义数列{x
n
}的通项
n
公式为x
n
＝[](n∈N
*
)，则x
1
＋x
2
＋…＋x
5n
＝________.
5
5n
解析：x
5n
＝[]＝[n]＝n，
5
5 3
则x
1
＋x
2
＋…＋x
5n
＝5[x
5
＋x
10
＋x
15
＋…＋x
5(n
－
1)
]
＋x
5n
＝5(1＋2＋…＋n－1)＋n＝n
2
－22
n.
53
答案：n
2
－n
22
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．( 本小题10分)三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减2，
则成等差数列．求 这三个数．
a
解：设三数为，a，aq.
q
a＝512，a＝8，
??
?
??
?
a＝8，
由题意，得
?
a
解得
?
或
?
1

?
q＝2
?－2?＋?a q－2?＝2a，q＝.
?
??
?
q
?
2
3
＝



所以这三个数为4,8,16或16,8,4.
18． (本小题12分)求和：(a－1)＋(a
2
－2)＋…＋(a
n
－n)，a ≠0.
解：原式＝(a＋a
2
＋…＋a
n
)－(1＋2＋…＋n)
n?n＋1?
＝(a＋a
2
＋…＋a
n
)－＝
2< br>n－n
2
?a＝1?.
2
?
?
?
?
?
a?1－a
n
?n?n＋1?
－?a≠1?，
2
1－a< br>

19．(本小题12分)已知数列{a
n
}是等差数列，a
2
＝6，a
5
＝18；数列{b
n
}的前n项和是
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1
T
n
，且T
n
＋b
n
＝1.
2
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)求证：数列{b
n
}是等比数列．
解：(1)设{a
n
}的公差为d，
?
?
a
1< br>＋d＝6，
∴
?
解得a
1
＝2，d＝4.
?
?
a
1
＋4d＝18，

∴a
n
＝2＋4(n－1)＝4n－2.
12
(2)证明：当n＝ 1时，b
1
＝T
1
，由T
1
＋b
1
＝1， 得b
1
＝.
23
11
＝，
当n≥2时，∵T
n< br>＝1－b
n
，Tn－11－b
n
－
1

22
∴T
n
－T
n
－
1
＝
111
(b n－1－b
n
)．∴b
n
＝(b
n
－
1
－ b
n
)．∴b
n
＝b
n
－
1
.

223
21
∴{b
n
}是以为首项，为公比的等比数列．
33
20．(本小题12分)假设某市2007年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中
低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年
新 建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，该市历年
所建中低价房的 累计面积(以2007年为累计的第一年)等于4750万平方米？
解：设n年后该市每年所建中低价房的面积为a
n
，
由题意可知{a
n
}是等差数列，
n?n－1?
其中a
1
＝250，d＝50，则S
n
＝250n＋×50＝25n
2
＋22 5n.
2
令25n
2
＋225n＝4750，即n
2
＋9 n－190＝0，
解得n＝－19或n＝10.
又n是正整数，∴n＝10.
到2016年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于4750万平方米．
5
＝< br>5
－
2
21．(本小题12分)设a
1
＝1，a
2< br>＝，an＋2an＋1a
n
(n∈N
*
)．
333
(1)令b
n
＝an＋1a
n
(n∈N
*
)，求数列{b< br>n
}的通项公式；
－
(2)求数列{na
n
}的前n项和S
n
.
5 222
解：(1)因为b
n
＋
1
＝a
n
＋
2
－a
n
＋
1
＝a
n
＋
1
－a< br>n
－a
n
＋
1
＝(a
n
＋
1
－a
n
)＝b
n
，所以数列{b
n
}是首
333 3
222
项为b
1
＝a
2
－a
1
＝，公比 为的等比数列，所以b
n
＝()
n
(n＝1,2，…)．
333
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22．(本小题12分)将数列{a
n
}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排 成如下数表：
a
1

a
2
a
3

a
4
a
5
a
6

a
7
a
8
a
9
a10

记表 中的第一列数a
1
，a
2
，a
4
，a
7
， …构成的数列为{b
n
}，b
1
＝a
1
＝1.S
n
为数列{b
n
}的前
n项和，且满足
2b
n
＝1( n≥2)．
b
n
S
n
－S
2
n
1
(1)证明数列{}成等差数列，并求数列{b
n
}的通项公式；
S
n< br>(2)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比
4
＝
为同一个正数．当a81－时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．
91
解 ：(1)证明：由已知，当n≥2时，
2b
n
＝1，又因为S
n
＝b
1
＋b
2
＋…＋b
n
，
b
n
S
n
－S
2
n

11
又因为S
1
＝b
1
＝a
1
＝1，所以数列{}是首项为1 ，公差为的等差数列．
S
n
2
n＋1
112
由上可知＝1 ＋(n－1)＝，即S
n
＝.
S
n
22
n＋1
所 以当n≥2时，b
n
＝S
n
－S
n
－
1
＝
1，n＝1，
?
?
因此b
n
＝
?

2
－，n≥2.
?
?
n?n＋1?
(2)设题表中从第三行起，每 行的公比都为q，且q>0.
12×13
因为1＋2＋…＋12＝＝78，所以表中第1行至 第12行共含有数列{a
n
}的前78
2
项．
4
故a81
在表中第13行第三列，因此a
81
＝b
13
·q
2
＝－.
91
222
－＝－.
n＋1
n
n?n＋1?

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2
又b
13
＝－，所以q＝2.
13×14
记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，
b
k
?1－ q
k
?1－2
k
22
即S＝＝－·＝(1－2
k
) (k≥3)．
1－q
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k?k＋1?1－2k?k＋1?

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