第9炼 零点存在的判定与证明--高考数学

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第9炼 零点存在的判定与证明
一、基础知识：
1、函数的零 点：一般的，对于函数
y?f
?
x
?
，我们把方程
f
?
x
?
?0
的实数根
x
0
叫作函数
y? f
?
x
?
的零点。
2、零点存在性定理：如果函数
y?f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
上的图像是连续 不断的一条曲线，并且
有
f
?
a
?
?f
?
b
?
?0
，那么函数
y?f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
内必有零点，即
?x
0
?
?< br>a,b
?
，使得
f
?
x
0
?
?0< br>
注：零点存在性定理使用的前提是
f
?
x
?
在区 间
?
a,b
?
连续，如果
f
?
x
?
是分段的，那么零点
不一定存在
3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单 调函数，那么它的零点至多有一个。
因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调
4、几个“不一定”与“一定”（假设
f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
连续）
（1）若
f
?
a
??f
?
b
?
?0
，则
f
?
x
?
“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析
f
?
x
?
的性质与图像，如果
f
?
x
?
单调，则“一定”只有一个零 点
（2）若
f
?
a
?
?f
?
b
?
?0
，则
f
?
x
?
“不一定”存在零点，也“不 一定”没有零点。如果
f
?
x
?
单调，那么“一定”没有零点 （3）如果
f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
中存在零点，则
f
?
a
?
?f
?
b?
的符号是“不确定”的，受函数性
质与图像影响。如果
f
?
x
?
单调，则
f
?
a
?
?f
?
b< br>?
一定小于0
5、零点与单调性配合可确定函数的符号：
f
?
x
?
是一个在
?
a,b
?
单增连续函数，
x?x
0
是
f
?
x
?
的零点，且
x
0< br>?
?
a,b
?
，则
x?
?
a,x
0
?
时，
f
?
x
?
?0
；
x??
x
0
,b
?
时，
f
?
x
?
?0

6、判断函数单调性的方法：
（1）可直接判断的几个结论：
① 若
f
?
x
?
,g
?
x
?为增（减）函数，则
f
?
x
?
?g
?
x
?
也为增（减）函数
② 若
f
?
x
?
为增函数 ，则
?f
?
x
?
为减函数；同样，若
f
?
x
?
为减函数，则
?f
?
x
?
为增函数
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③ 若
f
?
x
?
,g
?
x
?
为增函数，且
f
?
x
?
,g
?x
?
?0
，则
f
?
x
?
?g
?
x
?
为增函数
（2）复合函数单调性：判断
y?fg
?
x
?
的单调性可分别判断
t?g
?
x
?
与
y?f
?
t
?
的单调
性（注意要利用
x
的 范围求出
t
的范围），若
t?g
?
x
?
，
y?f
?
t
?
均为增函数或均为减函数，
则
y?fg
?
x
?
单调递增；若
t?g
?
x
?
，< br>y?f
?
t
?
一增一减，则
y?fg
?
x< br>?
单调递减（此
规律可简记为“同增异减”）
（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像
7、证明零点存在的步骤：
（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数
（2）判断是否要对表达式进行 合理变形，然后将表达式设为函数
f
?
x
?

（3）分析 函数
f
?
x
?
的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区 间
（4）利用零点存在性定理证明零点存在
例1：函数
f
?
x< br>?
?e?2x?3
的零点所在的一个区间是（ ）
x
??
????
A.
?
?,0
?
B.
?
0,
?
C.
?
,1
?
D.
?
1,
?

思路：函数
f
?
x
?
为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可
1
1?
1
?
?
2
?
1
?
解：
f< br>?
?
?
?e?2?
?
?
?
?3??4?0< br> ，
f
?
0
?
??2?0

22
e
????
?
1
?
2
?
?
?
1?
?
2
?
?
1
?
?
2
??
3
?
?
2
?

f
??
?
?
1
?
?
2
?
e?2?
1
? 3?e?2?0

2
?
1
??
1
?
f< br>?
1
?
?e?2?3?e?1?0

?f
??
?f
?
1
?
?0

?x
0
?
?
,1
?
，使得
f
?
x
0
?
?0

?
2
??
2
?
答案：C
例2：函数
f< br>?
x
?
?ln
?
x?1
?
?x
的零 点所在的大致区间是（ ）
A.
?
1,
?
B.
?
,2
?
C.
?
2,e
?
D.
?
e,??
?

思路：先能判断出
f
?
x
?
为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点
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?
3
?
?
2
?
?
3
?
2
?
?

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函数值的符号即可。
x?1
时，
ln
?
x?1
?
???
，从而
f
?
x
?
???< br>，
f
??
?ln
?
3
?
?
2
?
13
??0
，
22
所以
x
0
?
?
1,
?
，使得
f
?
x
0
?
? 0

答案：A
小炼有话说：（1）本题在处理
x?1
时，是利用 对数的性质得到其
ln
?
x?1
?
的一个趋势，从
而确定符 号。那么处理零点问题遇到无法计算的点时也要善于估计函数值的取向。
（2）本题在估计出
x?1
时，
ln
?
x?1
?
???
后，也可举一个 具体的函数值为负数的例子来
说明，比如
f
?
1.1
?
?1 .1?ln
到合适的例子。
例3：（2010，浙江）已知
x
0
是 函数
f
?
x
?
?2?
x
?
3
?< br>?
2
?
1
?0
。正是在已分析清楚函数趋势的前提下，才能保 证快速找
10
1
的一个零点，若
1?x
x
1
??
1,x
0
?
,x
2
?
?
x
0
,??
?
，则（ ）
A.
f
?
x< br>1
?
?0,f
?
x
2
?
?0
B.
f
?
x
1
?
?0,f
?
x
2
?
?0

C.
f
?
x
1
?< br>?0,f
?
x
2
?
?0
D.
f
?
x
1
?
?0,f
?
x
2
?
?0

思路：条件给出了
f
?
x
?< br>的零点，且可以分析出
f
?
x
?
在
?
1,? ?
?
为连续的增函数，所以结合
函数性质可得
f
?
x
1
?
?f
?
x
0
?
?0,f
?
x
2
?
?f
?
x
0
?
?0

答案：B
例4：已知函数
f
?
x
?
?loga
x?x?b
?
a?0,a?1
?
，当
2?a?3?b ?4
时，函数
f
?
x
?
的
零点
x
0
?
?
n,n?1
?
,n?N
，则
n?
_ _______
?
思路：由
a
的范围和
f
?
x< br>?
解析式可判断出
f
?
x
?
为增函数，所以
x
0
是唯一的零点。考虑
f
?
3
?
?log
a
3?3?b?log?3?4?log?1?0
a
3
a
3
f
?
2
?
?log
a
2?2?b?log
a2?2?3?log
a
2?1?0
，所以
x
0
?
?
2,3
?
，从而
n?2

答案：
n?2

例5：定义方程
f
?
x
?
?f
'
，
?
x
?
的实数根
x
0
叫做函数
f
?
x
?
的“新驻点”，若
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g
?
x
?
?x,h
?
x
?
?ln
?
x?1
?
,
?
?
x
?
?x
3
?1
的“新驻点”分别为
?
,
?
,
?
，则（ ）
A.
?
?
?
?
?
B.
?
?
?
?
?
C.
?
?
?
?
?
D.
?
?
?
?
?

思路：可先求出
g
'
?
x
?
,h
'
?
x
?
,
?
'
?
x
?
，由“新驻点”的定义可得对应方程为：
1< br>,x
3
?1?3x
2
，从而构造函数
x?1
1g
1
?
x
?
?x?1,h
1
?
x?
?ln
?
x?1
?
?,
?
1
?x
?
?x
3
?3x
2
?1
，再利用零点存在性 定理判断
x?1
x?1,ln
?
x?1
?
?
?,
?
,
?
的范围即可
解：
g
?
x< br>?
?1,h
?
x
?
?
''
1
,?
'
?
x
?
?3x
2

x?1
1
,x
3
?1?3x
2
的根，即为函数：
x?1
所以
?
,
?
,
?
分别为方程
x?1,ln
?
x?1
?
?
1
,
?
1< br>?
x
?
?x
3
?3x
2
?1
的零点
x?1
1
?
?1

?h
1
?
0
?
??1?0,h
1
?
1
?
?ln2??0< br>
?h
1
?
0
?
?h
1
?< br>1
?
?0?
?
?
?
0,1
?
< br>2
g
1
?
x
?
?x?1,h
1
?< br>x
?
?ln
?
x?1
?
?
?
1'
?
x
?
?3x
2
?6x?3x
?
x ?2
?

?
?
1
?
x
?
在< br>?
0,2
?
单调减，在
?
??,0
?
,?
2,??
?
单调增，而
?
1
?
0
?
??1?0
，
?x?
?
??,2
?
时，
?
1
?
x
?
?0
，而
?
1
?
4
?
?15?0

?
?
1
?
2?
?
?
1
?
4
?
?0

?
?
?
?
2,4
?

?
?
?
?
?
?

答案：C
例 6：若函数
f(x)
的零点与
g
?
x
?
?lnx? 2x?8
的零点之差的绝对值不超过
0.5
， 则
f(x)
可
以是（ ）
A．
f(x)?3x?6
B．
f(x)?(x?4)

C．
f(x)?e
x?1
2
5
?1
D．
f(x)?ln(x?)

2
思路：可判断出
g
?x
?
单增且连续，所以至多一个零点，但
g
?
x
?的零点无法直接求出，而各
选项的零点便于求解，所以考虑先解出各选项的零点，再判断
g
?
x
?
的零点所在区间即可
解：设各选项的零点分别为
x
A
,x
B
,x
C
,x
D
，则有
x
A
?2,x
B
?4,x
C
?1,x
D
?< br>7

2
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对于
g
?
x
?
?lnx?2x?8，可得：
g
?
3
?
?ln3?2?0,g
?
4
?
?ln4?0

??x
0
?
?
3,4
?

g
?
x
0
?
?0

7
?
7
??
7
?
g
??
=ln?1?0

?x
0
?
?
3,
?
，所以C选项符合条件
2
?
2
??
2
?
答案：C
例7：设函数
f
?
x
?
?e
x
?2x?4,g
?
x
?
?lnx?2x
2
?5
，若实数
a,b
分别 是
f
?
x
?
,g
?
x
?
的
零点，则（ ）
A.
g
?
a
?
?0?f
?
b
?
B.
f
?
b
?
?0?g
?
a
?

C.
0?g
?
a
?
?f
?
b
?
D.
f
?
b
?
?g
?
a
?
?0

思路：可先根据零点存在定理判断出
a,b
的取值范围：
f
?
0
?
??3?0,f
?
1
?
?e?2?4?0
，
从而
a?
?
0,
?
1
；
g?
1
?
??3?0,g
?
2
?
?ln2?3? 0
，从而
b?
?
1,
?
2
，所以有
0? a?1?b?2
，考虑
0?f
?
a
?
?g
??b
，且发现
f
?
x
?
,g
?
x
?
为增函数。进而
g
?
a
?
?g
?
b< br>?
?0,f
?
b
?
?f
?
a
??0
，即
g
?
a
?
?0?f
?
b?

答案：A
例8：已知定义在
?
1,??
?上的函数
f
?
x
?
?x?lnx?2
，求证：
f
?
x
?
存在唯一的零点，且零
点属于
?
3,4< br>?

思路：本题要证两个要素：一个是存在零点，一个是零点唯一。证明零点存在可用 零点存在
性定理，而要说明唯一，则需要函数的单调性
解：
f
'
?
x
?
?1?
1x?1
?

?x?
?
1,??
?

xx
?f
'
?
x
?
?0

?f
?
x
?
在
?
1,+?
?
单调递增
?f
?
3
?
?1?ln3?0,f
?
4
?
?2?ln2?0

?f
?
3
?
f
?< br>4
?
?0

??x
0
?
?
3 ,4
?
，使得
f
?
x
0
?
?0

'
''
因为
f
?
x
?
单调，所以若
?x
0
?
?
3,4
?
,x
0
?x
0
，且
fx
0
?0?f
?
x
0
?

??
则由单调性的性质：
x
0
?x
0
与题设矛盾
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'

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所以
f
?
x
?
的零点唯一
小炼有话说：如果函数
f
?
x
?
在
?
a,b
?
单调递增，则在
?
a,b
?
中，
x
1
?x
2
?f
?
x
1
?
?f
?
x< br>2
?
，
即函数值与自变量一一对应。在解答题中常用这个结论证明零点的唯一性
例9：（2011年，天津）已知
a?0
，函数
f
?
x?
?lnx?ax
2
（
f
?
x
?
的图 像连续不断）
（1）求
f
?
x
?
的单调区间
（ 2）当
a?
1
?
3
?
时，证明：存在
x
0
?
?
2,+?
?
，使得
f
?
x
0
?
?f
??

8
?
2
?
12a x
2
?1
'
解：（1）
f
?
x
?
??2ax??
令
f
?
x
?
?0
xx
'
解得：
x?
??
1
?
1
?1
,??

?f
?
x
?
在
?
0,
单调递减，在
???
单调递增
2a
?
2a< br>??
2a
?
（2）思路：由（1）可得
f
?
x
?
在
?
0,2
?
单调递减，在
?
2,??
?
单调递增，从而从图像上看必
然会在
?
2,??
?
存在
x
0
使得
f
?
x
0
?
?f
??
，但由于是证明题，解题过程要有理有据。所以
?
3
?
?2
?
可以考虑将所证等式变为
f
?
x
0
??f
??
?0
，构造函数
g
?
x
?
? f
?
x
?
?f
??
，从而只需利
用零点存在性定理 证明
g
?
x
?
有零点即可。
解：设
g
?
x
?
?f
?
x
?
?f
??

?g
?
x
?
?f
'
?
3
?
?
2
?
?
3
?
?
2
?
?
3
?
?
2
?
'
?
x
?
由（1）可得：当
a?
1
?
3
?
时，
f
?
x
?
在
?
0,2
?
单调递减，在
?< br>2,??
?
单调递增
?f
?
2
?
?f
??

8
?< br>2
?
?
3
?
?g
?
2
?
? f
?
2
?
?f
??
?0

?
2
?
1
g
?
x
?
?lnx?x
2
?
8
?
3
?
f
??
,f
?
2
?
39
?
3
?
?ln?

??
223 2
??
39
?g
?
100
?
?ln100?125 0?ln?
，因为
ln100?1250?0

232
?g
?
100
?
?0

?g
?
2
?
g
?
100
?
?0
根据零点存在性定理可得：
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?
3
?
?x
0
?
?
2 ,100
?
，使得
g
?
x
0
?
?f
?
x
0
?
?f
??
?0

?
2
?
即存在
x
0
?
?
2,+?
?
，使得
f
?
x
0
?
?f
??

小 炼有话说：（1）在证明存在某个点的函数值与常数相等时，往往可以将常数挪至函数的一
侧并构造函数 ，从而将问题转化成为证明函数存在零点的问题。
（2）本题在寻找
g
?
x
?
小于零的点时，先观察
g
?
x
?
表达式的特点：
?
3
?
?
2
?
1
g
?
x
?
?lnx?x
2
?
8
1
?
3
?
f
??
，意味着只要
x
取得足够大，早晚
x
2比
lnx
要大的多，所以只
8
?
2
?
需要取较 大的自变量便可以找到
g
?
x
?
?0
的点。选择
x ?100
也可，选择
x?10,271
等等也
可以。
x
例 10：已知函数
f
?
x
?
?e?alnx?a
，其中常数< br>a?0
，若
f
?
x
?
有两个零点
x
1
,x
2
?
0?x
1
?x
2
?
， 求证：
1
?x
1
?1?x
2
?a

a< br>思路：若要证零点位于某个区间，则考虑利用零点存在性定理，即证
f
?
?1
?
?
f
?
1
?
?0
且
?< br>a
?
?
1
?
即只需判断
f
??
,f
?
1
?
,f
?
a
?
的符号，可先由
f
?
x
?
存在两个零点判断出
a
f
?
1
?
f
?
a
?
?0
，
a
??
的取值范围为
a?e
，从而
f
?
1
?
?e?a ?0
，只需将
f
?
用函数性质证明均大于零即可。
?
1< br>?
?
,f
?
a
?
视为关于
a
的函数 ，再利
?
a
?
e
x
?
1
?
解：< br>f
?
x
?
?e?alnx?a?0?a?x?
??

lnx?1
?
e
?
x
1
??
e
x
?
lnx?1?
?
e
x
?
令
?
?
x
?
?

?
?
'
?
x
?
?
?

2
lnx?1
?
lnx?1
?
x
设
g
?< br>x
?
?lnx?1?
1
，可得
g
?
x
?
为增函数且
g
?
1
?
?0

x?
1
??
1
?
?x?
?
0,
?
?
?
,1
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时，
g
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x
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?0 ?
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'
?
x
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?0

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e
??
e
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1,??
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时，
g
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x
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x
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1
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1
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?< br>x
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在
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0,
?
,
?
,1
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单调递减，在
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1,??
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单调递增
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e??
e
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所以在
x?
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，< br>?
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x
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1
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1
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e
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x
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有两个零点
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?f
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1
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?e?a?0

f
?
a
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?e
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?alna?a
?f
'
?
a
?
?e
a
?lna?2

f
''
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a
?
?e
a
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a
??e
e
??0

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?f'
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a
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在
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e,??
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单调递增
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'
?
a
?
?f
'
?
e
?
?e
e
?3?e
2
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?f
?
a
?
在
?
e,??
?
单调递增
?f< br>?
a
?
?f
?
e
?
?e
e
?2e?e
2
?2e?e
?
e?2
?
?0
而
f
?
1
?
?0

?f
?
1< br>?
f
?
a
?
?0

??x
2< br>?
?
1,a
?
，使得
f
?
x
2?
?0
即
1?x
2
?a

111
1
?
1
?
aaa
另一方面：
f
??
?e?a ln?a?e?alna?a?e?a
?
lna?1
?

a
?
a
?

?a?e

?lna?1?0
?
1
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?f
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而
f
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1
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?0

?f
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1
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f
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a
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a
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1
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1
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1
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,1
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，使得
f
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x1
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?0
即
?x
1
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a
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a
?
综上所述：



1
?x
1
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2
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