河南省郑州市第一中学2020届高三12月联考数学(理)试题 Word版含解析

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2019-2020
学年河 南省郑州一中高三（上）
12
月月考数学
试卷

一、选择题（本大题共
12
小题）
1.

已知全集
2
，
3
，
4
，
5
，，集合
3
， ，
2
，，则
A.

C.
2
，
4
，
B.

D.
2
，
3
，
4
，
D.
第四象限
D.

D.

2.

在复平面内，复数对应的点位于
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
3.

已知向量，，若，则的最小值为
A.
12

B.

C.
15

4.

已知
x
，
y
满足，的最大值为
2
，则直线过定点
A.

B.

C.

5.

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面
积小于的面的个数是


A.
1

B.
2

C.
3

D.
4



6.

已知
a
，，则“”是“函数是奇函数”的
A.
充分不必要条件
C.
充要条件
B.
必要不充分条件
D.
既不充分也不必要条件
7.

郑州绿博园花展期间，安排
6
位志愿者到
4
个展区提供服务，要求甲、乙两个展区
各安排一个人，剩下两个展区各 安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的
安排方案共有
A.
168
种
B.
156
种
C.
172
种
D.
180
种
8.

已知 数列：，按照
k
从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列：首次出现时
为数列的
A.
第
44
项
B.
第
76
项
C.
第
128
项
D.
第
144
项
9.

在长方体中，，，
E
，
F
，
G分别是
AB
，
BC
，的中点，
P
是底面
ABC D
内一个动点，
若直线与平面
EFG
平行，则面积的最小值为
A.

B.
1

C.

D.

10.

已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的 图象
重合，当，，且时，，则
A.

B.

C.
1

D.

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11.

如图，设抛 物线的焦点为
F
，过
x
轴上一定点作斜率为
2
的直
B
两点，线
l
与抛物线相交于
A
，与
y
轴交于点< br>C
，记的面积为，
的面积为，若，则抛物线的标准方程为
A.

B.

C.

D.



12.

已知函数，若关于
x
的方程有六个不同的实根，则
a
的取值范围是
A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共
4
小题）
13.

设双曲线的左、 右顶点分别为
A
、
B
，点
P
在双曲线上且异于
A< br>、
B
两点，
O
为坐标
原点，若直线
PA
与< br>PB
的斜率之积为，则双曲线的离心率为
______
．
14.

已知是定义在
R
上的偶函数，且若当时，，则
______

P
为三角形
BCD
内一点包括边界，15.

已知梯形
ABCD
，，，，，则的取值范围为
______
．
16.

瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，的三个欧
拉点 顶点与垂心连线的中点构成的三角形称为的欧拉三角形．如
图，是的欧拉三角形为的垂心已知，，，若在 内部随机选取一点，
则此点取自阴影部分的概率为
______
．
三、解答题（本大题共
7
小题）
17.

数列的前
n
项和为，已知，
2
，
3
，

Ⅰ证明：数列是等比数列；
Ⅱ求数列的前
n
项和．







18.

如图，在四棱锥中，底面
ABCD
为梯形，，，，为等边三角形．

当
PB
长为多少时，平面平面
ABCD
？并说明理由；
若二面角大小为，求直线
AB
与平面
PBC
所成角的正弦值．







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19.

已知椭圆
C
：，
C
的右焦点，长轴的左、右端点分别为，，且．
Ⅰ求椭圆
C
的方程；
B
两点，Ⅱ过焦点
F
斜率为 的直线
l
交椭圆
C
于
A
，弦
AB
的垂直平 分线与
x
轴相交
于点试问椭圆
C
上是否存在点
E
使 得四边形
ADBE
为菱形？若存在，试求点
E
到
y
轴的距离 ；若不存在，请说明理由．







20.

第
7
届世界军人运动会于
2019
年10
月
18
日至
27
日在湖北武汉举行，赛期
10天，
共设置射击、游泳、田径、篮球等
27
个大项，
329
个小 项，共有来自
100
多个国家
的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开 ，武汉市很多单位和部门
都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识 ，
并倡议大家做文明公民，武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，
在全市开展 了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取
200
名
幸运参与者， 他们得分满分
100
分数据，统计结果如下：
组别

频数


5


30


40


50


45


20


10

若此次问卷调查得分总体服从正态分布，用样本估计总体，设，分别 为这
200
人得
分的平均值和标准差同一组数据用该区间的中点值作为代表，求，的值 的值四舍五
入取整数，并计算．
在的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问 卷调查的幸运市民制
定如下奖励方案：得分低于的可以获得
1
次抽奖机会，得分不低于 的可获得
2
次抽
奖机会，在一次抽奖中，抽中价值
15
元的纪念品< br>A
的概率为，抽中价值为
30
元的
纪念品
B
的概率为 现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记
Y
为他参加活动获得纪念品的总价值 ，求
Y
的分布列和数学期望，并估算此次纪念品
所需要的总金额．
参考数据：；；








21.

已知函数
e
为自然对数的底数，
Ⅰ当时，求证；
Ⅱ是否存在正整数
a
，使得
若不存在，说明理由．

对一切恒成立？若存在，求出
a
的最大值；
是的导函数．




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22.

在平面直角坐标系
xOy
中，已知倾斜角为的直线
l
经过点以坐标原点
O
为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线
C
的极坐标方程为．
写出曲线
C
的普通方程；
若直 线
l
与曲线
C
有两个不同的交点
M
，
N
， 求的取值范围．








23.

已知函数，．
若，求
a
的取值范围；
若，对，，都有不等式恒成立，求
a
的取值范围．







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答案和解析

1.
【答案】
C

【解析】【分析】
本题考查了集合的运算，属于基础题．
先求出，再得出，由集合运算的定义直接求解．
【解答】
解：由全集
2
，
3
，
4
，5
，，集合
3
，，得
4
，，
又
2
， ，则
4
，，
2
，，
2
，
4
，．
故选
C
．
2.
【答案】
D

【解析】解：

所对应的点为，该点位于第四象限
故选：
D
．
根据将复数进行化简成复数的标准形式，得到复数所对应的点，从而得到该点所在的位
置．
本题主要考查了复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，属于基础题．
3.
【答案】
B

【解析】【分析】
本题考查了向量平行和“乘
1
法”与基本不等式的性质，属于基础题．
根据已知条件，，，得出，继而可得等式，再求解等式即可．
【解答】
解：，，，
，即，
，
当且仅当，即，，时取等号，
的最小值为：．
故选
B
．
4.
【答案】
A

【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示；

由图可知，
C
为目标函数取得最大值的最优解，
联立，解得，
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所以，即；
所以，
代入，得，
即，
由，解得．
所以直线必过定点．
故选：
A
．
由约束条件作出可行域，得到目 标函数取得最大值的最优解；求出最优解的坐标，代入
目标函数得到
a
，
b< br>的关系；再代入直线由直线系方程得答案．
本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形 结合的解题思想与数学转化方法，
是中档题．
5.
【答案】
C

【解析】【分析】
画出几何体的三视图，利用三视图的数据，计算求解即可，属于中等题．
本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形
状．
【解答】
解：由题意可知几何体的直观图如图：

，，
，
该几何体的各个面中，面积小于的个数是
3
个．
故选：
C
．
6.
【答案】
B

【解析】解：函数的定义域为
R
，
若函数为奇函数，
则，
当时，，若为奇函数，
则，
即，，
即函数为奇函数的充要条件是，
，或，
“”推不出“函数是奇函数”，“函数是奇函数”“”；
则“”是“函数是奇函数”的必要不充分条件．
故选：
B
．
根据 函数奇偶性的定义和性质得出“函数是奇函数”的等价条件，再根据“”或；由充
分必要条件的定义即可 得到结论．
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本题主要考查函数奇偶性的判断，根据奇偶性的定义是解决本题的关键．属于基础题．
7.
【答案】
B

【解析】解：根据题意，设剩下的
2
个展区为丙展区和丁展区，
用间接法分析：
先计算小李和小王不受限制的排法种数，
先在
6
位志愿者中任选
1
个，安排到甲展区，有种情况，
再在剩下的
5
个志愿者中任选
1
个，安排到乙展区，有种情况， < br>最后将剩下的
4
个志愿者平均分成
2
组，全排列后安排到剩下的
2
个展区，
有种情况，
则小李和小王不受限制的排法有种，
若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有
2
种情况，
在剩下的
4
位志愿者中任选
1
个，安排到甲展区，有种情况，
再在剩下的
3
个志愿者中任选
1
个，安排到乙展区，有种情况，
最后
2
个安排到剩下的展区，有
1
种情况，
则小李和小王在一起的排法有种，
则小李和小王不在一起排法有种；
故选：
B
．
本题考查排列，组合的应用，涉及分步计数原理的应用，是中档题．
根据题意，用间接法分析 ，先求小李和小王不受限制的排法种数，再减去其中小李和小
王在一起的排法种数即可．
8.
【答案】
C

【解析】解：观察数列可得，该数列中分子，分 母之和为
2
的有
1
项，为
3
的有
2
项，< br>为
4
的有
3
项，，分子，分母之和为
16
的有
15
项，
分子，分母之和为
17
的有
16
项，排列顺序为，，，，，，
其中为分子，分母之和为
17
的第
8
项，
故共有项．
故选：
C
．
观察数列可知，此数列按照分子，分母之和的大小排顺序，据此可以求出的位次．
本题考查数列的应用，涉及数列求和公式和分数知识，属于中档题．
9.
【答案】
A

【解析】解：如图，

补全截 面
EFG
为截面
EFGHQR
，易知平面平面
EFGHQR
，设于点
R
，
直线平面
EFG
，
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，且当
P
与
R
重合时，最短，此时的面积最小，
由等积法：得，又平面
ABCD
，
，为直角三角形，
故，
故选：
A
．
找出平面
EFG
与长方体的截面，然后再找出 过与平面
EFG
平面平行的平面，即可找出
P
在平面
ABCD
上的位置．
本题考查了截面，面面平行，等积法等知识点和技巧的运用．
10.
【答案】
B

【解析】解：由函数的图象过点，
，解得，
又，，
；
又的图象向左平移个单位之后为
，
由两函数图象完全重合知，，；
又，
，；
，其图象的对称轴为，；
当，，其对称轴为，
，
．
故选：
B
．
由题意求得、的值，写出函数的解析式，求图象的对称轴，得的值，再求的值．
本题主要考查了三角函数的图象变换和性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是综
合题．
11.
【答案】
C

【解析】解：抛物线的焦点，过
x< br>轴上一定点作斜率为
2
的直线
l
的方程为，
联立抛物线方程可得，
设，，可得，，

设
F
到
AB
的距离为
d
，
可得，即，

联立可得，，．
则抛物线的标准方程为．
故选：
C
．
求得直线
l
的方程，联立抛物线方程，可得< br>x
的二次方程，运用韦达定理，由三角形的
面积公式，结合两个三角形同高可得面积之比 为底
边之比，联立方程组，解方程可得
p
，进而得到所
求抛物线方程． 本题考查抛物线的方程和应用，考查直线方程和抛
物线方程联立，运用韦达定理，以及三角形的面积
公式，考查化简运算能力，属于基础题．
12.
【答案】
C

【解析】解：令，则，
函数．
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由题意可得，函数的图象与直线有
3
个不同的交点，
且每个
t
值有
2
个
x
值与之对应，如图所示： < br>由于当时，，此时，对应的
x
值只有一个，不满足条件，故
a
的取值范 围是，
故选
C
．
令，则，由题意可得，函数的图象与直线有
3< br>个不同的交点，且每个
t
值有
2
个
x
值与
之 对应，数形结合可得
a
的取值范围．
本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体 现了数形结合的数学思想及等价转化的
数学思想，属于中档题．
13.
【答案】


【解析】【分析】
本题主要考查双曲 线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几
何量之间的关系，属于中档题． < br>由于
A
，
B
连线经过坐标原点，所以
A
，
B
一定关于原点对称，利用直线
PA
，
PB
的斜
率乘积，可寻 求几何量之间的关系，从而可求离心率．
【解答】
解：根据双曲线的对称性可知
A
，
B
关于原点对称，
设，，，
则，，
可得，，
，
该双曲线的离心率．
故答案为：．
14.
【答案】
216

【解析】【分析】
本题主要考查了利用函数的周期性求解函数的函数值，属于基础题．
由，可知周期，结合已知函数代入即可求解．
【解答】
解：，
，即周期，
则，
当时，，
．
，
故答案为：
216
．
15.
【答案】


【解析】解：，
分别以边
AB
，
AD
所在的
直线 为，轴，建立如图所
示平面直角坐标系，则：
，，，，
，设，则，
由得，，
，
，设，则表示斜率为的一
族平行直线，在
y
轴上的
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截距为
a
，当截距最大时最大，当截距最小时最小，
由图可看出，当直线经过点时截距最小为
1
，当直线经过点时截距最大为，
的取值范围为．
故答案为：．
AD
所在直线为轴，根据题意可分别以边< br>AB
，轴，建立平面直角坐标系，从而得出，，，，
设，从而根据可得出，从而得出，并 设，从而根据线性规划的知识求出直线截距的最小
值和最大值，即得出的最小值和最大值，从而得出的取 值范围．
本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，利用线性规划的
知识求变量最值的方法，数形结合的方法，考查了计算能力，属于中档题．
16.
【答案】


【解析】解：因为，所以，
又因为，，
由余弦定理可得：，
取
BC
的中点
O
，则，
以
O
为原点，建立如图所示的直角坐标系，
则，，，设，
因为，
所以，
所以，从而，
故所求概率为：，
故答案为：．
由三角函数的余弦定理得：，由两直线垂直得：，所以，从而，
由几何概型中的面积型得：，得解．
本题考查了三角函数的余弦定理及几何概型中的面积型，属中档题．
17.
【答案】解：Ⅰ证明：，
2
，
3
，，
可得，
可得，
可得，
则数列是首项为
1
，公比为
2
的等比数列；
Ⅱ，
即，
可得前
n
项和，
，
相减可得，
，
化简可得．

【解析】Ⅰ运用数列的递推式，化简变形，结合等比数列的定义，即可得证；
Ⅱ，即，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．
本题考查等 比数列的定义和通项公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运
算能力，属于中档题．
18.
【答案】解：当时，平面平面
ABCD
，
证明如下：在中，
因为，所以，
又，，
AD
，平面
PAD
，
所以平面
PAD
，
又平面
ABCD
，
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所以平面平面
ABCD
．
分别取线段
AD
，
BC
的中点
O
，
E
，连接
PO
，
OE
，
因为为等边三角形，
O
为
AD
的中点，所以，
O
，
E
为
AD
，
BC
的中点，所以，
又，所以，
故为二面角的平面角，所以，
如图，分别以的方向以及垂直于平面ABCD
向上的方向作为
x
，
y
，
z
轴的正方 向，建立
空间直角坐标系，









因为，，
所以，
0
，，
2
，，
1
，．
可得，，
设
y
，为平面
PBC
的一个法向量，则有，
即，
令，可得，
设
AB
与平面
PBC
所成角为，
则有

所以直线
AB
与平面
PBC
所成角的正弦值为．



【解析】当时，推导出，，从而平面
PAD
，由此能证明平面平面
ABCD
．
分别取线段
AD
，
BC
的中点
O，
E
，连接
PO
，
OE
，推导出，，由，得，从而为二 面角
的平面角，进而，
分别以的方向以及垂直于平面
ABCD
向上的方向作 为
x
，
y
，
z
轴的正方向，建立空间直
角坐标系， 利用向量法能求出直线
AB
与平面
PBC
所成角的正弦值．
本题考 查满足面面垂直的线段长的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、
线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.
【答案】解：Ⅰ依题设，，
则，．
由，得：，
解得，又，所以．
所以椭圆
C
的方程为；
Ⅱ椭圆
C
上存在点
E
使得四边形
ADBE
为菱形．
依题直线
l
的方程为．
联立，
得：．
在椭圆内，则恒成立，
设，，弦
AB
的中点为，
则，，
所以，，
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所以．
则直线
MD
的方程为，
令，得，则．
若四边形
ADBE
为菱形，则，
所以．
，所以．
所以．
若点
E
在椭圆
C
上，则．
即

整理得，解得．
所以椭圆
C
上存在点
E使得四边形
ADBE
为菱形．
此时点
E
到
y
轴的距离为．

【解析】本题考查 了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的位置关系，训练了设而不求
的解题方法，此法的依据是二次方程 中根与系数的关系，训练了学生的计算能力，属有
一定难度题目．
Ⅰ题目给出了椭圆的右焦点 坐标，则知道了
c
的值，再由，列式求出的值，结合隐含条
件求出的值，则椭圆方程可 求；
Ⅱ由点斜式写出直线
l
的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数的关系求出A
，
B
中点
的坐标，然后写出
MD
所在的直线方程，求 出
D
点的坐标，根据四边形
ADBE
是菱形，
列式求出
E< br>点的坐标，把
E
点的坐标代入椭圆方程求出的值，则
E
点到
y
轴的距离可求．
20.
【答案】解：由已知频数表得：，
，
由，则，
而，所以，
则，
；
显然，
所以有
Y
的取值为
15
，
30
，
45
，
60< br>，
，
，
，
，
所以
Y
的分布列为：

Y

P

15



30



45



60



所以，
需要的总金额为．

【解析】根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而，根据原则，计算即可；
列出< br>Y
所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而
可得需 要的总金额．
本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布，考查了离散型随机变< br>量的概率分布列和数学期望，主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题．
，
21.
【答案】解：Ⅰ证明：当时，，则
令，则，
令，得，故在时取得最小值，
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0'>
，在上为增函数，
；
Ⅱ
由
，
，得对一切恒成立，
当时，可得，所以若存 在，则正整数
a
的值只能取
1
，
2
．
下面证明当时，不等式恒成立，
设，则，
由Ⅰ，，
0'>
， 当时，；当时，
即在上是减函数，在上是增函数，
，
当时，不等式恒成立，
所以
a
的最大值是
2
．

【解析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道
中档题．
Ⅰ求出函数的导数，根据函数的单调性判断最值；
Ⅱ求出函数的导数，得到，问题转化为证明 当时，不等式恒成立，设，根据函数的单调
性证明即可．
，
22.
【答案】解：由得
将，代入上式中，
得曲线
C
的普通方程为：；
将
l
的参数方程为参数代入
C
的方程中，
整理得，
因为直线
l
与曲线
C
有两个不同的交点，
所以，化简得．
又，所以，且，．
设方程的两根为，，则，，
所以，，
所以．
由，得，
所以，从而，
即的取值范围是．

【解析】本题考查 直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，
考查数形结合思想、化归与转化思想 等，是中档题．
由得由此能求出曲线
C
的普通方程

将
l
的参数方程为参数代入
C
的方程，得由直线
l
与曲线
C有两个不同的交点，得设方
程的两根为，，则，，从而，，由此能求出的取值范围．
23.
【答案】解：，
若，则，得，即时恒成立，
若，则，得，即，
若，则，得，即不等式无解，
综上所述，
a
的取值范围是．
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由题意知，要使得不等式恒成立，只需，
当时，，
因为，所以当时，，
即，解得，结合，所以
a
的取值范围是．

【解析】利用，通过，，，分别求解即可．
要使得不等式恒成立，只需，通过二次函数的最值，绝对值的几何意义，转化求解即可．
本题 考查函数的最值的求法，二次函数的简单性质以及绝对值不等式的几何意义，考查
分类讨论思想的应用．

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