高中数学难度分布比例-高中数学竞赛 高斯函数
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2015年高一第二学期期末
一、选择题
题号 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10 11 12
普通
选项
D C B A B B
C D C D B B
12
示范
C
二、填空题：
（13）.
y??2x
或
y?-x -1
（14）. 32
（15）.
10
?
（16） 【普通】：等腰或直角三角形 【示范】：
6 ?1
三、解答题 4
?
?
a
1
q?a
1
?15
（17）
解：设数列公比为
q
，显然
q?1
，有题意知：
?
3
?
?
a
1
q?a
1
q?6
解之得q?2
或
q?
1
………… 2分
2
当
q?2
时，得
a
1
?1
a
3
?a
1
q
2
?4
………… 4分
当
q?
1
时，得
a
1
??16
a
3
?a
1
q
2
??4
…………
6分
2
a
1
(1?q
n
)
?31
………… 8分 当
q?2
时，
S
5
?
1?q
当
q?
1
时，
S
5
??31
………… 10分
2
（18）（Ⅰ）证明：在
?DAD
1
中，因为G
、
F分别是
边DA、
DD
1
的中点，
所以 FG
D
1
A
又
FG?
面
AD
1
E
故FG
面
AD
1
E
………… 2分
在该长方体中，又因为E是
BB
1
中点，
所以
D
1
FEB
且
D
1
F?EB
所以四边形
D
1
FBE
为平行四边形
所以
BFD
1
E
又
BF?
面
AD
1
E
故BF
面
AD
1
E
………… 4分
又因为FG
、
BF 为两条相交线
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所以平面
AD
1
E
平面BGF
………… 6分
（Ⅱ）证明：在该长方体中，有直角
Rt?ADD
1
则
A
D
1
2
?AD
2
?DD
1
2
?1?22
?5
在
Rt?ABE
中，
AE?AB?BE?1?1?2
侧棱
BB
1
?
面
?A
1
B
1
C
1
D
1
连接
D
1
B
1
，
D
1
B
1
?
面
A
1
B
1
C
1
D
1
所以
BB
1
?D
1
B
1
（
D
1
B
1
2
?A
1
D
2
1
?A
1
B
1
2
?2
）
在
Rt?D
1
B
1
E
中，
D
1
E
2
?D<
br>1
B
1
2
?B
1
E
2
?2?1?3
由上述关系知：
AD
1
2
?AE
2
?D
1
E
2
所以
?AED
1
为直角三角形，
所以
D
1
E?AE
………… 8分
同理可证
D
1
E?CE
………… 10分
又AE与CE相交于E
所以
D
1
E?
平面AEC
………… 12分
（19）（Ⅰ）解：因为
cosA?
222
3
(
0?A?
?
)
5
4
所以
sinA?1?cos
2
A?
………… 2分
5
ab
o
由正弦定理：
a?1,B?60
………… 4分
?
sinAsinB
解得：
b?
53
………… 6分
8
1
bcsinA?4
2
（Ⅱ）三角形面积公式
S?
解得： 10 ………… 8分
由余弦定理：
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
=
(b?c)?2bc?2bccosA
………… 10分
解得：
b?c?33
………… 12分
（20）（Ⅰ）解：当
a?0
，
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2
联立直线
l
1
和
l
2
：
?
?2x?y?0
11
解得交点
M(?,)
42
?
?2y?1?0
联立直线
l
1
和
l
3
：
?
?
2x?y?0
解得交点
N(2,?4)
x?y?2?0
?
?
?2y?1?0
51
联立直线
l
2
和
l
3
：
?
解得交点
P(?,)
………… 3分
22
?
x?y?2?0
显然，直线
PM
平
行
x
轴，
PM??
159
?(?)?
…………
4分
424
点
N
到直线
PM
的距离为
19
?(?4)?
………… 5分
22
19981
???
…………6分
24216
a
（Ⅱ）有已知得直线
l
1
、<
br>l
2
、
l
3
的斜率分别为：
k
1
?
?2
k
2
?
k
3
??1
2
故所求封闭图形为
?PMN
, 面积为：
S?
当
l
1
l
2
时，由
k
1
?k2
得
a??4
当
l
3
l
2
时，由
k
3
?k
2
得
a??2
显然直线
l
1
和
l
3
不平行………8分
?
2x?y?a?0
当三条直线相交于一点时:
联立直线
l
1
和
l
3
：
?
x?
y?2?0
?
解得交点坐标
(2?a,a?4)
，代入
l
2
：
a(2?a)?2(a?4)?1?0
解得：
a??3
………… 10分
综上所述，当三条直线构成三角形时:
a
为实数且
a??3
且a??4
且
a??2
…… 12分
（21）解：（Ⅰ）由题意:
a
1
?(x?1)
2
?4(x?1)?2
a
2
?0
a
3
?(x?1)
2
?4(x?1)?2
因为数列
?
a
n
?
为等差数列，所以有：
a
1
?a
3
?2a
2
…………2分
即
(x?1)?4(x?1)?2?(x?1)?4(x?1)?2?0
解得：
x
1
?1,x
2
?3
…………4分
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22
当
x?1
时，
a
1
??2
(舍，因为数列
?
a
n
?
为递减数列)
所以
x?3
此时解得：
a
1
?2,a
3
??2
………… 6分
（Ⅱ）由上问得：数列
?
a
n
?
的公差
d??2
，所以
a
n
?a
1
?(n?1)d?4?2n
设所求数列前
n
项和为
S
,则
111
S?2??0?
2
??(4?2n)
n
2
22
11111
S?2?
2
?0?
3
??(6?2n)n
?(4?2n)?
n?1
………… 8分
22222
111
11
两式做差：
S?1?2(
2
?
3
??
n
)?(4?2n)?
n?1
22222
11
(1?()
n?1
)
11
2
S?1?2(
4
)?(4?2n)?
n?1
………… 10分
1
22
1?
2
n
化简
得：
S?
n?1
………… 12分
2
（22）
解：（Ⅰ）二次函数
f(x)
图像的对称轴为：
x?2
二次项系数大于零，函数图像开口向上，
故
f(x)
在
[2,??)
上为增函数，………… 2分
3
2
?
2??2?3?2?n
?
?
f(2)?2
?
4
有题意得：
?
即：
?
?
f(m)?m?
m?
3
m
2
?3m?n(m?2)
?
?4<
br>10
或
m?2
(因为
m?2
，故舍去) ………… 4分
3
10
所以，
n?5
m?
………… 6分 <
br>3
3
（Ⅱ）由题意知，关于
x
的不等式
x
2
?3x?4?a
对于一切
x?R
恒成立，…8分
4
3
从而
关于
x
的不等式
x
2
?3x?4?b
的解集为
[a
,b]
，于是，
a,b
是关于
x
的一元
4
3
二次方程
x
2
?3x?4?b
的两个实根，据二次方程根与系数关系式得：
4
解得：
n?5
m?
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?3
?
a?b??
?
3
?
?
4
(a?b)
………… 10分 关于
x
的不等式
??
ab?
4?b
?
?
?
解之，得
?
?
a?0
?
b?4
所以，
a?0,b?4
3
4
?
或
?
?
a?
8
?
3
（因为
a?b
，故舍去）
?
?
?
b?
4
3
………… 12分
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