江苏高中数学知识点总结-高中数学2-1章末总结复习题
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解密时间:2006年6月7日17:00 【考试时间:6月7日15:00—17:00】
2006年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
数学试题卷
(理工农医类)
数学试题(理工农医类)共5页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,
用橡
皮擦干净后,再选涂共他答案标号。
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字后,将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式:
如果事件A
、
B互斥,那么
P(A?B)?P(A)?P(B)
.
如果事件A
、
B相互独立,那么
P(A?B)?P(A)?P(B)
.
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概
率
k
P
n
(k)?C
n
P
k
(1?P)n?k
.
一、选择题:本大题共10小题, 每小题5分,
共50分.在每小题给出的四个备选项中, 只
有一项是符合题目要求的.
(1)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A= {2,4,5,7},B =
{3,4,5},则(
C
U
A)∪(
C
U
B)
=
(A){1,6} (B){4,5}
(D){1,2,3,6,7}
(C){2,3,4,5,7}
(2)在等差数列{a
n
}中,若a
4
+
a
6
=12,S
n
是数列{a
n
}的前n项和,则S
9
的值为
(A)48 (B)54
(C)60 (D)66
(3)过坐标原点且与圆
x
2
?y
2?4x?2y?
1
x
3
1
(C)y
=-3x或
y??x
3
(A)y =-3x 或
y?
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5
?0
相切的直线的方程为
2
1
(B)y = 3x 或
y??x
3
1
(D)y = 3x 或
y?x
3
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(4)对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有直线m,使m与l
(A)平行
(C)垂直
n
(B)相交
(D)互为异面直线
1
?
的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为
(5)若
?
?3x??
??
x
??
(A)-540
(C)162
(B)-162
(D)540
<
br>(6)为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为17.5岁-18
岁的男生体重(kg),得到频率分布直方图如下:
根据上图可得这100名学生中体重在[56.5, 64.5]的学生人数是
(A)20
(C)40
(B)30
(D)50
7
1
??
17
?
(7)与向量
a?
?
?
,<
br>?
,b?
?
,?
?
的夹角相等, 且模为1的向量是
?
22
??
22
?
(A)
?
(C)
?
?
43
?
,?
?
55
??
(B)
?
?
43
??
43?
,?
?
或
?
?,
?
55
??
55
??
?
221
?
?
?
3
,?
3
?
??
(D)
?
?<
br>221
?
?
221
?
?
或
??
<
br>?
3
,?
3
?
?
?
3
,
3
?
??
??
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(8)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的
分配
方案有
(A)30种
(C)180种
(B)90种
(D)270种
⌒
与弦AB所围
⌒
的长为
x,f(x)
表示弧AB (9)如图所示, 单位圆中弧AB
成的弓形面积的2倍,则函数
y?f(x)
的图象是
(10)若a, b, c >
0且
a(a?b?c)?bc?4?23
,则
2a?b?c
的最小值为
(A)
3?1
(C)
23?2
(D)
23?2
(B)
3?1
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填写在答题卡相应位置上.
(11)复数
1 + 2i
3
的值是_______.
3 + i
(12)
1?3?
?
?(2n?1)
?
_______.
lim<
br>2
2n?n?1
n??
3
?
?
3
?
?
12
?
???
(13)已知
?
,
?
?<
br>?
,
?
?
,sin(
?
?
?
)??
,sin
?
?
?
?
?,则cos
?
?
?<
br>?
?
_______.
?
54
?
134
??
4
???
(14)在数列
?
a
n
?
中, 若
a
1<
br>?1,a
n?1
?2a
n
?3
(n≥1),
则该数列的通项
a
n
?
_______.
(15)设
a?
0,a?1,
函数
f(x)?a
lg(x
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2
?2x?3)
2
有最大值, 则不等式
log
a
(x?5x?7)?0
的
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解集为_______.
(16)已知变量
x,y
满足约束条件
1
?x?y?4
,
?2?x?y?2
, 若目标函数
z?ax?y
(其
中
a?0
)仅在点(3,1)处取得最大值,则a的取值范围为_______.
三、解答题:本大题共6小题,共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分13分)
设函数
f(x)?
y
轴右侧的第一个最高点的横坐标为
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)如果
f(x)
在区间
?
?
3cos
2
ωx
+ sinωxcosωx + a(其中ω> 0, a∈R),
且
f(x)
的图象在
?
.
6
?
?
5?
?
,
?
上的最小值为
3
, 求a的值.
36
??
(18)(本小题满分13分)
某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载
有5
位乘客, 且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为
20层下电梯的人数, 求:
(Ⅰ)随机变量
?
的分布列;
(Ⅱ)随机变量
?
的期望.
(19)(本小题满分13分)
如图, 在四棱锥
P?ABCD
中,
PA?
底面ABCD,
1
,
用
?
表示这5位乘客在第
3
?DAB
为直角,
ABCD,AD?CD?2AB,
E、F分
别为PC、CD的中点.
(Ⅰ)试证:
CD?
平面BEF;
(Ⅱ)设
PA?k?AB
,
且二面角
E?BD?C
的平面角大于30°, 求k的取值范围.
(20)(本小题满分13分)
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已知函数
f(x)?(x?bx?c)e
,
其中
b,c?R
为常数.
(Ⅰ)若
b?4(c?1)
,
讨论函数
f(x)
的单调性;
(Ⅱ)若
b?4(c?1)
,
且
lim
(21)(本小题满分12分)
已知定义域为R的函数
f(x)
满足
f(f(x)?x?x)?f(x)?x?x
.
(Ⅰ)若
f(2)?3
, 求
f(1)
;
又若
f(0)?a,求f(a)
;
(Ⅱ)设有且仅有一个实数
x
0
, 使得
f(x
0
)?x<
br>0
,求函数
f(x)
的解析表达式.
(22)(本小题满分12分)
22
2
2
2x
x?0
f(x)?c
?4,
试证:
?6?b?2
.
x
y
2
已知一列椭圆
C<
br>n
:x?
2
?1,
b
n
2
0?b
n
?1
, n = 1, 2,
…, 若椭圆C
n
上有一点
P
n
,
使P
n
到右准线l
n
的距离d
n
是|
P
n
F
n
|与
| P
n
G
n
|的等差中项,
其中F
n
、G
n
分别是C
n
的左、右焦点.
(Ⅰ)试证:
b
n
?
n?2
3
(n≥1);
2
(Ⅱ)取
b
n
?
2n?3
,并用
S
n
表示△P
n
F
n
G
n
的面积,试证:
S
1
?S
2
且S
n
?S
n?1
(n≥3).
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2006年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
数学试题卷(理工农医类)答案
一、选择题:每小题5分,满分50分.
(1)D
(7)B
(2)B
(8)B
(3)A
(9)D
(4)C
(10)D
(5)A
(6)C
二、填空题:每小题4分,满分24分.
(11)
17
?i
1010
n?1
(12)
1
2
(13)
?
56
65
(14)
2?3
(15)(2,3) (16)a>1
三、解答题:满分76分.
(17)(本小题13分)
解:(Ⅰ)
f(x
)?
313
cos2
?
x?sin2
?
x?||?a
222
?sin(2
?
x?
?<
br>3
)?
3
?a.
2
依题意得
2
?
?
解得
?
?
?
6
?
?
3
?
?
2
.
1
.
2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
f(x)?sin(x?
又当
x?[?
故
?
?
3
)?
3
?a.
2
?<
br>5
?
3
,
6
]
时,
x?
?
3
?[0,
7
?
]
6
1
?
?sin(x?)?1
,
23
从而
f(x)在[?
?
5
?
36
,]
上取得最小值
?
13
??a.
22
3?1
.
2
因此,由题设知
?
(18分)(本小题满分13分)
13
??a?3,
故a?
22
解法一:(Ⅰ)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4,5.
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由等可能性事件的概率公式得
2
5
32
P(
?
?0)?
5
?,
243
3
C
5
2
?2
3
80
P(
?
?2)??,
243
3
5
C
5
4
?2
10
P(
?
?4)??,<
br>5
243
3
从而ξ的分布列为
ξ
P
0 1 <
br>1
C
5
?2
4
80
P(
?
?1)?
?.
5
243
3
3
C
5
?2
4
40
P(
?
?3)??.
243
3
5
P(
?
?5)?
11
?.
5
243
3
2 3 4 5
32
243
80
243
80
243
40
243
10
243
1
243
(Ⅱ)由(Ⅰ)得ξ的期望为
E
?
?0?
3280804010
1
?1??2??3??4??5?
243243243243243243
4055
??.
2433
解法二:(Ⅰ)考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验,这是5次独立重复试验.
故
?
?B(5,),
即
1
3
12
P(
?
?k)?C
5
4
()
k
()
5?k
, k?0,1,2,3,4,5.
33
由此计算ξ的分布列如解法一.
(Ⅱ)
E
?
?5?
15
?.
33
解法三:(Ⅰ)同解法一或解法二
(Ⅱ)由对称性与等可能性,在三层的任一层下电梯的人数同分布,故期望值相
等.
即
3E
?
?5,
从而
E
?
?
5
.
3
(19)(本小题13分)
解法一:
(Ⅰ)证:由已知
DFAB
且∠DAB为直角,故ABFD是矩形,从而CD⊥BF.
?
又PA⊥底面ABCD, CD⊥AD, 故由三垂线定理知CD⊥PD.
在△PDC中, E、F
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分
别为PC、CD的中点,故EFPD,从而CD⊥EF,由此得CD⊥面BEF.
(Ⅱ)连接AC交BF于G,易知G为AC的中点,连接
EG,则在△PAC中易知EGPA,又因
PA⊥底面ABCD,故EG⊥底面ABCD. 在底
面ABCD中,过G作GH⊥BD,垂足为H,连接
EH,由三垂线定理知EH⊥BD.
从而∠EHG为
二面角E—BD—C的平面角.
设AB=A,则在△PAC中,有
BG?
11
PA?ka
22
以下计算GH,考虑底面的平面图(如答(19)图2),连结GD,
11
BD?GH?GB?DF
22
GB?DF
故
GH?.
BD
因
S<
br>?GBD
?
在△ABD中,因AB=a,AD=2a,得
BD?
而GB?
5a.
11
FB?AD?a,DF?AB
,从而得
22
GH?
GB?ABa?a5
??a
BD5
5a
1
ka
EG
2
5
??k.
因此
tanEHG?
GH2
5
a
5
由k>0知∠EHG是锐角,故要使∠EHG>30°,必须
53
k?tan30??,
23
解之得,k的取值范围为
k?
215
.
15
解法二:
(Ⅰ)如图,以A为原点, AB所在直线为x轴,
AD所在直线为y轴, AP所在直线为z轴建
立
空间直角坐标系,设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为
A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),
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D(0,2a,0),F(a,2a,0)
从而
DC?(2a,0,0),
BF?(0,2a,0)
,
DC?BF?0, 故DC?BF.
设PA=B,则P(0,0,b),而E为PC中点,故
bb
E(a,a,)
. 从而
BE?(0,a,).
22
DC?BE?0, 故DC?BE.
由此得CD⊥面BEF.
(Ⅱ)设E在xOy平面上的投影为G,
过G作为GH⊥BD垂足为H, 由三垂线定理知EH⊥
BD.
从而∠EHG为二面角E—BD—C的平面角.
由
PA?k?AB得P(0,0,ka), E(a,a,
ka
),
G(a,a,0)
.
2
设
H(x,y,0)
,则
CH
?(x?a,y?a,0),BD?(?a,2a,0)
,
由
GH?BD?0得?a(x?a)?2a(y?a)?0
,即
x?2y??a
①
又因
BH?(x?a,y
,0)
,且
BH与BD
的方向相同,故
x?ay
,即
?
a2a
2x?y?2a
②
由①②解得
x?
215
34
a
.
a, y?a
. 从而
CH?(?a, ?a,
0),|GH|?
555
55
ka
|EG|5
tanEHG??
2
?k.
2<
br>5
|GH|
a
5
由k>0知∠EHG是锐角,由∠EHG>30°,得
tanEHG?tan30?
,即
5
k?
3
.
23
故k的取值范围为
k?
215
.
15
(20)(本小题13分)
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解:(Ⅰ)求导得
f
?
(x)?[x?(b?2)x?b?c]c
因
b?4(c?1),
故方程f
?
(x)?0即x?(b?2)x?b?c?0
有两根;
22
22
但
b
2
?4(c?1)b
2
?4(c?1)
b?2b?2
x
1
????x
2
???
2222
令
f<
br>?
(x)?0, 解得x?x
1
或x?x
2
;
又令
f
?
(x)?0,
解得x
1
?x?x
2
,
故当
x?(??,x
1
)时,
f(x)
是增函数;当
x?(x
2
,??)时,
f(x)
是增函数;
当
x?(x
1
,x
2
)时,
f(x)
是减函数.
(Ⅱ)易知
f(0)?c,
f
?
(0)?b?c
,因此
lim
n?0
f(x)?cf(x)?f(0)
?lim?f?
(0)?b?c.
n?0
xx
所以,由已知条件得
?
b?c?4,
?
2
b?4(c?1),
?
因此
b?4b?12?0.
解得
?6?b?2
.
2
(21)(本小题12分)
解:(Ⅰ)因为对任意
x?R,
有f(f(x)?x?x)?f(x)?x?x
,所以
f(f(2)?2?2)?f(2)?2?2.
又由
f(2)?3
,得
f(3?2?2)?3?2?2,
即f(1)?1.
若
f(0)?a, 即f(a?0?0)?a?0?0,
即f(a)?a.
22
22
22
22
22
(Ⅱ)因为对任意
x?R, 有f(f(x)?x?x)?f(x)?x?x
,
又因为有且只有一个实数
x
0
,
使得f(x
0
)?x
0
,
2
所以对任意
x?R, 有f(x)?x?x?x
0
,
,
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条件.
在上式中令
x?x
0
, 有f(x
0
)?x
0<
br>?x
0
?x
0
,
又因为
f(x
0
)?x
0
,
所以x
0
?x
0
?0,
故x
0
?0或x
0
?1.
2
若
x
0
?0, 则 f(x)?x?x?0
,即
2
2
f(x)?x
2
?x.
2
但方程<
br>x?x?x
0
有两个不同实根,与题设条件矛盾,故
x
0
?0
.
若
x
0
=1,
则有
f(x)?x
2
?x?1.
即f(x)?x
2
?x?1.
易验证该函数满足题设
综上,所求函数为
2
f(x)?x?x?1
(22)(本小题12分)
证:(Ⅰ)由题设及椭圆的几何性质有
(x?R)
2d
n
?|P
n
F
n
|?|P
n
C
n
|?2,
故d
n
?1
.
设
c
n
?1?b
n
,则右准线方程为
2
l
n
:x?
1
.
c
n
因此,由题意d
n
应满足
11
?1?d
n
??1.
c
n
c
n
?
1
?1?1
1
即
?
c
,
解之得?c
n
?1.
?
n
2
?
0?c?1
n
?
即
1
2
?1?b
n
?1,
2
3
.
2
从而对任意
n?1,
b
n
?
(Ⅱ)设点P
n
的坐标为
(x
n
,y
n
),
则由d
n
?1
及椭圆方程易知
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x
n
?
1
?1,
c
n
2222
y
n
?b
n
(1?x
n
)?(1?c
n<
br>)(1?(
1
?1)
2
)
c
n
?
1
c
n
2
(?2c
n
?c<
br>n
?2c
n
?1).
32
因
|P
n
C
n
|?2c
n
, 故?P
n
F
n
C
n
的面积为
S
n
?c
n
|y
n
|
,从而
1
232
S
n
??2c
n
?c<
br>n
?2c
n
?1 (?c
n
?1)
2
令
f(c)??2c?c?2c?1
,由
2
32
f
?
(c)??6c?2c?2?0
得两根
11?3
1?13
)
内是增函数,而在
.
从而易知函数
f(c)在(,
22
6
1?13
()
内是减函数.
6
现在由题设取
b
n
?
增数列,又易知
c
2
?
2n?3n?11
2
,
则c
n
?1?b
n
??1?, c
n
是
n?2n
?2n?2
31?134
???c
3
,
465
(n?3)
. 故由前已证,知S
12,且
S
n
?S
n?1
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