2013年湖南高考文科数学试卷(word版)

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网
绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（文史类）

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只
有一项是 符合题目要求的.
1．复数
i?(1?i)(i
为虚数单位)在复平面上对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．“
1?x?2
”是“
x?2
”成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必
要条件
3．某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一产品，数量分别为120件，80件，60件. 为了解它们的产品质量是否有显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为
n
的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了
3
件，则
n?

A．
9
B．
10
C．
12
D．
13

4．已知
f(x)
是奇函数，
g(x)
是偶函数，且
f(?1)?g(1)? 2
，
f(1)?g(?1)?4
，则
g(1)?

A．
4
B．
3
C．
2
D．
1

5．在锐角
?ABC
中，角
A,B
所对的边长分别为
a,b
，若
2asinB?3b
，则角
A
等于
??
?
?
B． C． D．
12
346
6．函数
f(x)?lnx
的图象与函数
g(x)?x
2?4x?4
的图象的交点个数为
A．
A．
0
B．
1
C．
2
D．
3

7．已知正方体的棱长为
1
，其俯视图是一个面积为
1
的正方形，侧视图是一个面积为
2
的
矩形，则该正方体的正视图的面积等 于
32?1
B．
1
C． D．
2

22
8．已知是单位向量，
a
?
b
?
0
，若向量
c
满足
|< br>c
?
a
?
b
|?1
，则
|
c
|
的最大值为
A．
A．
2?1
B．
2
C．
2?1
D．
2?2


9．已知事件“在矩形
ABCD
的边
CD
上随机取一点
P
，使
?APB
的最大边是
AB
”发生的
概率为
A．
1AD
?
，则
2
AB
11
37
B． C． D．
24
24



二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网
10．已知集合
U?{2,3,6,8},A{2,3},B?{2,6,8}
，则
(?
U< br>A)?B?
__________
?
x?2s?1
?
x?a t
11．在平面直角坐标系
xOy
中，若直线
l
1
:
?
(s
为参数）和直线
l
2
:
?
(t
为
y?sy?2t?1
??
参数）平行，则常数
a
的值为______ _____
12．执行如图
1
所示的程序框图，如果输入
a?1,b?2< br>，则输出的
a
的值为___________
开始
?
x?2 y?8
?
13．若变量
x,y
满足约束条件
?
0?x?4< br>，则
x?y
的
?
0?y?3
?
最大值为___________
输入a,b

涟源一中
刘小红编
a>8?
否
a=a +b
是
输出a
结束
x
2
y
2
14．设F
1
,F
2
是双曲线
C:
2
?
2?1(a?0,b?0)
的两
ab
个焦点，若在
C
上存在一点
P
使
PF
1
?PF
2
,
且
? PF
1
F
2
?30
?
，则
C
的离心率为_ _________
图1
15．对于
E?{a
的子集
X?{ai
1
,a
i
2
,?a
i
k
}
，定义
X
的“特征数列”为
?,a
100
}
1
,a
2
,
，
x
1
,x
2
,?,x
1 00
其中
x
i
1
?x
i
2
???x
i
k
?1
.其余项均为
0
.例如:子集
{a
2< br>,a
3
}
的“特征数列”为
0,1,1,0,0,?,0
.
(1) 子集
{a
1
,a
3
,a
5
}的“特征数列”的前
3
项和等于____________
(2)若
E
的子集
P
的“特征数列”
p
1
,p
2
,? ,p
100
满足
p
1
?1,p
i
?p
i? 1
?1,(1?i?99)
;
E
的子集
Q
的“特征数列”
q
1
,q
2
,?,q
100
满足
q
1
?1,q
j
?q
j?1
?q
j?2
?1,(1 ?j?98)
,
则
P?Q
的元素个数为____________

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）
已知函数
f(x)?cosx?cos(x ?
（1）求
f(
?
3
)

2
?
)
的值
3
1
（2）求使
f(x)?
成立的
x
的取值集合
4







17．（本小题满分12分）
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网
如图2 ，在直棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
? BAC?90
?
,AB?AC?2,AA
1
?3,D
是
BC
的中点，点
E
在棱
BB
1
上运动.
(Ⅰ) 证明：
AD?C
1
E

(Ⅱ) 当异面直线
AC, C
1
E
所成角为
60
时，求三棱锥
C
1
? A
1
B
1
E
的体积
C
?
D
涟源 一中
刘小红编
A
C
1
A
1
B
1
图 2
BE






18．（本小题满分12分）
某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（ 指纵、横直线的交叉点
以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该 种作物的
年收获量
Y
(单位:
kg
)与它“相近”作物株数
X
之间的关系如下表所示：
4
51 48 45 42
这里两株“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.
（Ⅰ）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；
X

Y

1 2 3 4
3
2
1
01
涟源一中
刘小红编
Y

频数
51 48 45 42
4
（Ⅱ）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少
为48
kg
的概率









19．（本小题满分13分）
234
设
S
n
为数列
{a
n
}
的前
n
项和，已知
a
1
?0,2a
n
?a
1
?S
1
?S
n
,n? N

（Ⅰ）求
a
1
,a
2
，并求数列
{a
n
}
的通项公式
（Ⅱ）求数列
{na
n
}
的前
n
项和.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
*

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网









20．（本小题满分13分）
x
2
已知
F
1
,F
2
分别是椭圆< br>E:?y
2
?1
的左、右焦点，
F
1
,F
2
关于直线
x?y?2?0
的对
5
称点是
圆
C
的一条直径的两个端点.
（Ⅰ）求圆
C
的方程； < br>（Ⅱ）设过点
F
2
的直线
l
被椭圆
E
和圆< br>C
所截得的弦长分别为
a,b
，当
ab
最大时，求直
线
l
的方程









21．（本小题满分13分）
已知函数
f(x)?
1?x
x
e

1?x
2
（Ⅰ）求
f(x)
的单调区间
（Ⅱ）证明：当< br>f(x
1
)?f(x
2
)(x
1
?x
2)
时，
x
1
?x
2
?0



21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网