2020东莞市高一下数学期末考(A)答案

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2019-2020学年度第二学期期末教学质量检查
高一数学（A）参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）
ABBCC ADADD
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
11．9 12.
5
2
13. 14.
(x?1)
2
?(y?1)
2
?2
5
3< br>三、解答题（本大题共6小题，共80分.）
15．（本小题满分13分）
解：（1）散点图如下. …………2分
两个变量呈正线性相关关系. …………4分
说明：①五个点中，全对的得2分，全错的得0分，不全对的得1分；
②答到正相关就给2分.

y（百万元）
5
4
3
2
˙
˙
˙
˙
˙
1
o
O
1
2
3
4 5 6 7
8
9
x(千万元)

?
x
?
a
?
?
b
?
.
（2）设回归直线的方程是：
y
由题中的数据可知
y?3.4,x?6
. …………6分
n
?
?
所以
b
?
(x
i? 1
n
i
?x)(y
i
?y)
?
i
?
(x
i?1
?x)
2
?3?(?1.4)?(?1)?(?0.4)?1? 0.6?3?1.6

9?1?1?9
101
?
. …………8分
202
?
x?
3.4
?
1
?
6
?
0.4
.
?
?y?ba
2
?
所以 利润额
y
关于销售额
x
的回归直线方程为
$$
y?0.5x? 0.4
. …………10分
?
?0.5?4?0.4
＝2.4， …………12分 （3）由（2）知，当
x?4
时，
y
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所以当销售额为4(千万元)时，可以估计该店的利润额为2.4(百万元). ………13分

16．（本小题满分13分）
解: 解: (1)
f(x)?3cos
2
x?sinxcosx?
3

2
?
31
cos2x?sin2x
…………4分
22
?sin(2x?
由
?
?
3
).
…………5分
?
2
?2k
?
?2x?
?
3
?
?
2
?2k
?
,
得
5
??
?k
?
?x??k
?
,
…………7分
1212
5
??
所以
f(x)
的单调递增区 间为
[??k
?
,?k
?
](k?Z)
． …………8分
1212
?
(2)将函数
f(x)
的图象向左平移< br>?
个单位,其对应的函数为
12
???
y?sin[2(x?)?]?sin(2x?)?cos2x
, …………12分
1232
?
由于
y?cos2x
是偶函数，所以将
f(x)
的图象向左平移个单位,其对应的函数可
12
成为偶函数． …………13分
（说出正确的一种平移即可，但如果没有说明理由，则扣3分）

17. （本小题满分13分）
解: (1) 因为
ab
,所以
2 sin
?
?cos
?
?0
.① …………2分
又
sin
?
?cos
?
?1
.② …………4分
则由①②及
?
?(0,
(2) 由
sin(
?
?
?
)?
22
?
2
)
，可解得
sin
?
?
525
,cos
?
?
. …………6分
55
11
,
sin(
?
?
?
)?
得
34
1
?
sin
?
cos
?< br>?cos
?
sin
?
?
?
?
3

?
, …………8分
1
?
sin
?
cos
?
?cos< br>?
sin
?
?
?
4
?
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7
?
sin
?
cos
?
??
?
24
即
?
, …………9分
?
cos
?
sin
?
?
1
?
24
?
1
tan
?
. …………11分
7
sin
?
1
又由(1)知
tan
?
??
， …………12分
cos
?
2
1111
所以
tan
?
?tan
?
???
. …………13分
77214
所以
tan
?
?

18．（本小题满分13分）
解:（1）根据频率分布直方图，利用组中值可得这次考试该年级的数学平均分的估计值为
4 5?f
1
?55?f
2
?65?f
3
?75?f
4
?85?f
5
?95?f
6
…………3分
?45?0.05?55?0.15?65?0.2?75?0.3?85?0.25? 95?0.05

?72
.
所以估计这次考试该年级的数学平均分是
72
分. …………6分
（2）从
96,97,98,99,100
中抽取2个数全部可能的结果有：
(96,97)
,
(96,98)
,
(96,99)
，
( 96,100)
,
(97,98)
，
(97,99)
,
(9 7,100)
，
(98,99)
，
(98,100)
，
(9 9,100)
共10种． …………9分
而数学成绩在
[90,100]
内的学生有
0.005?10 ?60?3
人,不妨设这
3
人的数学成绩
是
96,97,98
．如果抽取的
2
个数恰好是两个学生的数学成绩,则事件
A
:“抽取的2
个
数恰好是两个学生的数学成绩”包括的结果有：
(96,97),(96,9 8)
，
(97,98)
共
3
种． …………12分
所以所求的概率为
P(A)?

19．（本小题满分14分）
解：（1）以直线
OA
为
x
轴，
OB
为
y
轴，如图建立直角坐标系.
3
. …………13分
10
uuuruuuruuur
则
OA?
?
2,0
?
,OB?
?
0,1
?
,OC?
?
1,?1
?
. …2分
令
OC?mOA?nOB
，则有
Y
B
O
C
A
X
(1,?1)?m(2,0)?n(0,1)

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1
?
?
m?,
即
?
2
…………3分
?
?
n??1,
1
所以
OC?OA?OB
. …………4分
2
uuur
uuur
（2）令
OE?
kOC?
?
k,?k
?
，则
uuuruuuruuur
AB?OB?OA?
?
?2,1
?
，
uuuruuuruuur< br>AE?OE?OA?
?
k?2,?k
?
. …………6分
uuuruuur
由题意知：
AB
∥
AE
，
所以
?2?
?
?k
?
?
?
k?2
?
?0
，
解得
k??2
. …………8分
（3）设过点
A
、
B
、
C
的圆的方 程为
x?y?Dx?Ey?F?0
.
将
A
、
B
、
C
三点的坐标分别代入圆方程得
22
?
2D?F?4?0
?
…………10分
?
E?F?1?0
?
D?E?F?2?0
?
12
E??,F??
.
33
512
22
所以圆的方程为
x?y?x?y??0
. …………12分
333
uuur
1
uuuruuur
22
又
OD?OA?tOB?(,t)?D(,t)
.
333
要使
A< br>、
B
、
C
、
D
四点共圆，则点
D
在 过点
A
、
B
、
C
的圆上，即
所以
D??,
5
3
5212
?
2
?
2
?t???t?? 0
， …………13分
??
33333
??
3t
2
?t?4?0
.
解得
t??1
或
t?
2
4
.
3
4
. …………14分
3
所以当
A
、
B
、
C
、
D
四点共圆时，t??1
或
t?

20. （本小题满分14分）
解：(1) 若直线
l
的斜率不存在，则过点
A(6,0)
的直线为
x?6
，此时圆心
C
2
(4,5)
到直线
x?6
的距离为
2
，
l
被圆
C
2
截得的弦长为
216?4?43
，符合题意，所以直线
x?6
为
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所求. …………2分
若直线
l
的斜率存在，可设直线
l
的方程为
y?k(x?6)
，即
kx?y?6k?0
，
所以圆心
C
2
到直线
l
的距离
d?
|4k?5?6k|
k?1
2
?
|2k?5|
k?1
2
. …………3分 又直线
l
被圆
C
2
截得的弦长为
43
，圆C
2
的半径为4，所以圆心
C
2
到直线
l
的距 离
应为
4?(23)?2
，即有
22
|2k?5|
k2
?1
?2
，解得：
k??
21
. …………4分
20
21
(x?6)
，
20
因此，所求直 线
l
的方程为
x?6
或
y??
即
x?6
或
21x?20y?126?0
. …………5分
(2) 设
P
点坐标为
(m,n)
，直线
l
1
的斜率为
k
(不妨设
k?0)
，则
l
1
,l
2
的方程分别为：
l
1
:y?n?k(x?m)即
l
1
:kx?y?n?km?0
，
1
l
2
y?n??(x?m)
即
l
2
:x?ky?kn?m?0
. …………6分
k
因为直线
l
1
被圆
C
1
截得的弦长的
2
倍与直线
l
2
被圆
C
2
截 得的弦长相等，又已知圆
C
2
的半径是圆
C
1
的半径的2
倍.由垂径定理得：圆心
C
1
到直线
l
1
的 距离的
2
倍与
C
2
直线
l
2
的距离相等. …………7分
故有
2|?3k?1?n?km|
k?1
2
?
|4?5k?kn?m|
k?1
2
， …………10分
化简得：
2|3k?1?n?km|?|4?5k?nk?m|
，
即有
(2m?n?1)k?(m?2n?2)?0
或
(2m?n?11)k? (6?2n?m)?0
.
…………11分
由于关于
k
的方程有无穷多解，所以有
?
2m?n?1?0
?
2m?n?11?0
或
?
， …………12分
?
?
m?2n?2?0
?
?m?2n?6?0
解之得：
16
?
m??
?
m?0
?
5
， …………13分 或
?
?
?
n??1
?
n?
23< br>5
?
1623
所以所有满足条件的
P
点坐标为
(0, ?1)
或
(?,)
. …………14分
55
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