江苏省扬州市2013届高三上学期期末考试数学试题(含答案)

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扬州市2012—2013学年度第一学期期末检测试题
高 三 数 学
2013．01

全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间1 20分钟），第
二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）．
注意事项：
1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．
2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．

第 一 部 分
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．若集合
M?{x|?1?x?1}
，
N?{x|x?2x?0}
，则 M∩N= ▲ ．
2．将复数
2
1?2i
(是虚数单位)写成
a?bi(a,b?R)
，则
a?b?
▲ ．
1?i
3 ．已知向量
a?
?
2,1
?
,b?
?
?1,k?
，若
a?b
，则k等于 ▲ ．
?
log
2
x
(x?0)
4．已知函数
f(x)?
?
x
，则< br>f[f(0)]?
▲ ．
3
(x?0)
?
5．先后 抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、
5、6)，骰子朝上的面的点 数分别为
x
，
y
，则
y?2x
的概率为 ▲ ．

?
x?0
?
6．设
x,y
满足约束条件
?
x?2y?4
，则
z?2x?y
的最大值是 ▲ ．
?< br>2x?y?5
?
7．如图所示的流程图，若输出的结果是15，则判断框中的横线上可以 填入的
最大整数为 ▲ ．

8．已知圆
C
的圆心为抛物线< br>y??4x
的焦点,又直线
4x?3y?6?0
与圆
C
相切， 则圆
C
的标准方程为 ▲ ．
9．设
a、b
是两条不同的直线 ，
?
、
?
是两个不同的平面，则下列四个命题
①若
a?b,a?
?
，则
b
?
，
③若< br>a
?
,a?
②若
a?
?
,
?
??
，则
a
?
,
④若
a?b,a?
?
,b?
?
，则
?
?
?
,
2
?
,则
?
?
?

第1页 共14页

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其中正确的命题序号是 ▲ ． 10．在
?ABC
中，角
A,B,C
所对边的长分别为
a,b, c
，且
a?5,b?3,sinC?2sinA
，
则
sinA? ▲ ．
11．已知函数
f(x)?lnx?
m
（
m? R
）在区间
[1,e]
上取得最小值4，则
m?
▲ ．
x
y
D
n
12． 如图所示：矩形
A
n
B
n
C
n
D
n
的一边
A
n
B
n
在
x
轴上，另两
个顶点
C
n
、
Dn
在函数
f(x)?x?
*
1
若点
B
n
(x?0)
的图像上，
x
C
n
的坐标为
?
n,0
?
(n?2,n?N)
），矩形
A
n
B
n
C
n
D
n
的周长记为
a
n
，则
a
2
?a
3
?????a
10
?
▲ ．
x< br>2
y
2
3
13．已知椭圆
2
?
2
? 1(a?b?0)
的离心率
e?
，A、
2
ab
O
A
n
B
n
x
B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点， 直线PA、PB斜倾角分别为
?
、
?
，则
cos(
?
?
?
)
= ▲ ．
cos(
?
?
?)
111
????
14．数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1,a
n?1
?1?a
n
(a
n
?1)
，
(n?N
?
)
，且 =2，则
a1
a
2
a
2012
a
2013
?4a
1
的最小值为 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应 写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤）
15．（本小题满分14分）
21
已知向量
m?(sinx,?1)
，
n?(3cosx,?)
，函数
f(x)?m?m?n?2
．
2
（Ⅰ）求
f(x)
的最大值，并求取最大值时
x
的取值集合；
（Ⅱ）已知
a
、
b
、
c
分别为
?ABC
内角
A
、
B、
C
的对边，且
a
，
b
，
c
成等比数 列，
角
B
为锐角，且
f(B)?1
，求



16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥
P?ABCD
中，
PA
⊥平面
ABCD
，
AC?BD
于
O
。
（Ⅰ）证明：平面
PBD
⊥平面
PAC
；
（Ⅱ）设
E
为线段
PC
上一点，若
AC?BE
，求证：
PA
平面
BED

第2页 共14页
11
的值．

?
tanAtanC

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17．（本小题满分15分）
已知数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
．
（Ⅰ）若数列
{a
n
}
是等比数列，满足
2a
1
数列
?a
3
?3a
2
，
a
3
?2
是
a
2
，
a
4
的等差中项，求
?
a
n
?
的通项公式；
（Ⅱ）是否存在等差数列
{a
n
}
，使对任意n?N
*
都有
a
n
?S
n
?2n
2< br>(n?1)
？若存在，请求
出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由．


18．（本小题满分15分）
轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地 上滑行的运动．如
y
图，助跑道ABC是
一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速 度后飞离跑道然后
4
A
D
落到离地面高为1米的平台上E处，飞行的轨迹是一 段抛物线CDE
（抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内），D为这段抛物线的
最高点．现 在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐
C
标系，
x
轴在地面上 ，助跑道一端点A(0，4)，另一端点C(3，1)，
B
O
2
点B(2，0 )，单位：米．
（Ⅰ）求助跑道所在的抛物线方程；
（Ⅱ）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹 所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安
全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4米到6 米之间（包括4米和6米），试求运
动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？
（注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．）

19．（本小题满分16分）
E
x
x
2
y
2如图，已知椭圆
E
1
方程为
2
?
2
?1(a? b?0)
，圆
E
2
方程为
ab
y
C
DB
A
O
x
x
2
?y
2
?a
2
，过椭圆的左顶点A作斜率为
k
1
直线
l
1
与椭圆
E
1
和圆
E
2
分别相交于B、C．
（Ⅰ）若< br>k
1
?1
时，
B
恰好为线段AC的中点，试求椭圆
E
1
的离心率
e
；
（Ⅱ）若椭圆
E
1
的离 心率
e
=
1
，
F
2
为椭圆的右焦点，当
| BA|?|BF
2
|?2a
时，求
k
1
的值；
2
第3页 共14页

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k
1
b
2
（Ⅲ）设D为圆
E
2
上不同于A的一点， 直线AD的斜率为
k
2
，当
?
2
时，试问直线
k< br>2
a
BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．



20．（本小题满分16分）
记函数
f
n
?
x
?
?a?x
n
?1a?R,n?N
*
的导函数为
f
n
?
?
x
?
，已知
f
3
?
?
2
?
?12
．
（Ⅰ）求
a
的值．
（Ⅱ）设函数
g
n
(x)?f
n
(x)?n
2lnx
，试问：是否存在正整数
n
使得函数
g
n
(x)
有且只有
一个零点？若存在，请求出所有
n
的值；若不存在，请说明理由．
??
f
n
?
?
x
0
?
f
?
m
?
?
n
（Ⅲ）若实数
x
0
和
m
（
m?0
，且
m?1
）满足：，试比较
x
0与
m
的
?
f
n?1
?
x
0
?
f
n?1
?
m
?
大小，并加以证明．
第4页 共14页

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第二部分（加试部分）
21．B 选修4 - 2：矩阵与变换（本题满分10分）
若矩阵
A
有 特征值
?
1
?3
,
?
2
??1
,它们所对 应的特征向量分别为
e
1
?
??
0
??
?
1
?
和
?
1
?
e
2
?
??
,求矩阵
A
.
?
2
?
…………………10分


21．C． 选修4 - 4：坐标系与参数方程 （本题满分10分）
x
2
y
2
已知椭圆
C
：??1
与
x
正半轴、
y
正半轴的交点分别为
A,B，动点
P
是椭圆上
169
任一点，求
?PAB
面积的最 大值。



22．（本题满分10分）
在四棱锥
P? ABCD
中，侧面
PCD?
底面
ABCD
，
PD?CD，底面
ABCD
是直角梯形，
ABCD
，
?ADC?
?
2
，
AB?AD?PD?1
，
CD?2
．设
Q为侧棱
PC
上一点，
????????
PQ?
?
PC< br>，试确定
?
的值，使得二面角
Q?BD?P
为45°．


23．（本题满分10分）
已知数列
{a
n
}
是等差数列，且
a
1
,a
2
,a
3
是
(1 ?
1
m
x)
展开式的前三项的系数.
2
（Ⅰ）求
(1?
1
m
x)
展开式的中间项；
2
1111
1
?????
与的大小.
a
n
a
n?1
a
n?2
a
n
2
3
（Ⅱ）当< br>n?2
时，试比较

扬州市2012—2013学年度第一学期期末检测试题
高 三 数 学 参 考 答 案
第5页 共14页

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2013．01
第 一 部 分
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．
[0,1]
；2．；3．
2
；4．
0
；5．< br>1
； 6．
3
；7．49； 8．
(x?1)
2
?y
2
?4
；
12
9 ．③④；10．
5
3
7
；11．
?3e
；12． 216；13．；14．
?

2
5
5
二、解答题：（本大题 共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤）
15．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）
f(x)?(m?n)?m?2
? sin
2
x?1?3sinxcosx?
1
?2

2
?
1?cos2x3131
?
?sin2x??sin2x?cos2x?sin( 2x?)
．……… 3分
222226
故
f(x)
max
?1
，此时
2x?
?
6
?2k
?
?
?2
,k?Z
，得
x?k
?
?
?
3
,k ?Z
，
∴取最大值时
x
的取值集合为
{x|x?k
??
（Ⅱ）
f(B)?sin(2B?
?
3
,k?Z}
． ………………… 7分
?
6
)?1
，
?0?B?
?
2
，
??
?
6
?2B?
?
6
?
5
?
，
6
?2B?
?
6
?
?
2
，
B?
?
3
． …………………………… 10分
由
b
2
?ac
及正弦定理得sin
2
B?sinAsinC
于是
11cosAcosCsinCcosA?cosCsinA

????
ta nAtanCsinAsinCsinAsinC
sin(A?C)123
． ……………………………………14分
???
sin
2
BsinB3
16．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证：因为
PA?
平面
ABCD
，
BD?
平面
ABCD
，
?PA?BD
…………………2分
又
AC?BD
，
PA,AC
是平面
PAC
内的两条 相交直线，
平面
?BD?
PAC
， …………………4
分
而
BD?
平面
PBD
，所以平面PBD
⊥平面
PAC
…………………6分 （Ⅱ）证：
?AC?BE
，
AC?BD
，
BE
和
BD
为平面
BED
内
两相交直线，
?AC?
平面
BED
， …………………8分
连接
EO
，
?EO?
平面
BED，
?AC?EO
， …………………10分
第6页 共14页

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?PA⊥平面
ABCD
，
?AC?
平面
ABCD
，
? AC?PA
，
又
AC,PA,EO
共面，
?EOPA
， …………………12分
又
?PA?
平面
BED
，
EO?< br>平面
BED
，
?PA
平面
BED
…………………14分
17．（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）设等比数列
?a
n
?
的首项为
a
1
，公比为
q
，
……3分
?
a
1
(2?q
2
)?3a
1
q,(1)
?
2a
1
?a
3
?3a
2,
依题意，有
?
即
?
32
?
a
2?a
4
?2(a
3
?2).
?
a
1
( q?q)?2a
1
q?4.(2)
由
(1)
得
q
2
?3q?2?0
，解得
q?1
或
q?2
.
?1
时，不合题意舍；
?2
时，代入(2)得
a
1
?2
，所以，
a
n
?2?2
n?1
?2
n
. …………………7分
当
q
当
q
（Ⅱ）假设存在满 足条件的数列
{a
n
}
，设此数列的公差为
d
，则
方法1：
[a
1
?(n?1)d][a
1
n?
n (n?1)
d]?2n
2
(n?1)
，得
2
d
2
2
331
n?(a
1
d?d
2
)n?(a
1
2
?a
1
d?d
2
)?2n
2
?2n< br>对
n?N
*
恒成立，
2222
?
d
2?
2
?2,
?
?
3
2
则
?
a
1
d?d?2,
…………………10分
?
2
1
2
?
2
3
a?ad?d?0,
?
1
2
1
2
?
?
d? 2,
?
d??2,
解得
?
或
?
此时
an
?2n
，或
a
n
??2n
．
a?2,a? ?2.
?
1
?
1
故存在等差数列
{a
n
}
，使对任意
n?N
*
都有
a
n
?S
n?2n
2
(n?1)
．其中
a
n
?2n
，
或
a
n
??2n
． …………………15分
方法2：令
n?1
，
a
1
2
?4
，得
a
1
??2
，
2
令
n?2< br>，得
a
2
?a
1
?a
2
?24?0
， …………………9分
①当
a
1
?2
时，得
a
2
?4
或
a
2
??6
，
若
a
2
?4
，则
d?2
，a
n
?2n
，
S
n
?n(n?1)
，对任意< br>n?N
*
都有
a
n
?S
n
?2n
2
(n?1)
；
第7页 共14页

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若
a
2
??6
，则
d??8
，
a
3
??14
，
S
3
??18
，不满足
a
3
?S
3
?2?3
2
?(3?1)
．
…………………12分
②当
a
1
??2
时，得
a
2
??4
或
a
2
?6
，
若
a< br>2
??4
，则
d??2
，
a
n
??2n，
S
n
??n(n?1)
，对任意
n?N
*
都 有
a
n
?S
n
?2n
2
(n?1)
； < br>若
a
2
?6
，则
d?8
，
a
3?14
，
S
3
?18
，不满足
a
3
? S
3
?2?3
2
?(3?1)
．
综上所述，存在等差数列
{a
n
}
，使对任意
n?N
*
都有
an
?S
n
?2n
2
(n?1)
．其中
a
n
?2n
，或
a
n
??2n
． …………………15分
18．（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）设助跑道所在的抛物线方程 为
f(x)?a
0
x
2
?b
0
x?c
0< br>，
?
c
0
?4,
?
依题意：
?
4a
0
?2b
0
?c
0
?0,
…………………3分
?
9a?3b?c?1,
00
?
0
解 得，
a
0
?1
，
b
0
??4
，
c
0
?4
，
∴助跑道所在的抛物线方程为
f(x)?x?4x?4
． …………………7分
（Ⅱ）设飞行轨迹所在抛物线为
g(x)?ax?bx?c
（< br>a?0
），
依题意：
?
2
2
?
f(3)? g(3),
?
9a?3b?c?1,
?
b?2?6a,
得
?
解得
?
…………………9分
?
f'(3)?g'(3),
?
6a?b?2,
?
c?9a?5,
3a?1
2
1
)?1?
，
aa
3a?1
2
13a?112
令
g (x)?1
得，
(x?)?
2
，∵
a?0
，∴
x? ??3?
，…11分
aaaa
a
3a?11
当
x?
时，
g(x)
有最大值为
1?
，
aa
22
则运动员的飞行距离
d?3??3??
， ………………13分
aa
11
飞行过程中距离平台最大高度
h?1??1??
，
aa
21
依题意，
4???6
，得
2???3
，
aa
∴
g(x)?ax
2
?(2?6a)x?9a?5?a(x?< br>即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2米到3米之间．………………15分
19．（本小题满分16分）
第8页 共14页

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解：（Ⅰ）当
k
1
?1
时，点C在
y
轴上，且
C(0,a)
，则
B(?
aa
,)
，由点B在椭圆 上，
22
aa
(?)
2
()
2
2
?2
?1
， …………………2分 得
a
2
b
2
b
2
1c
2
b
2
2
6
2
∴
2
?
，
e?
2
?1?
2
?
，∴
e?
． …………………4分
33
3
aaa
（Ⅱ）设椭圆的左焦点为
F1
，由椭圆定义知，
|BF
1
|?|BF
2
|?2a< br>，
∴
|BF
1
|?|BA|
，则点B在线段
AF< br>1
的中垂线上，∴
x
B
??
又
e?
a?c< br>，…………6分
2
3
c113a
a
，∴
x
B
??
，
?
，∴
c?a
，
b?
2
a224
y
B
72121
k?
代入椭圆方程得
y
B
??
=
?
．…………9分
b
=
?a
， ∴
1
x
B
?a
482
?
y?k
1
(x?a),
22
22
k(x?a)
x?a
?
2
1
（Ⅲ）法一：由
?
x
得
??0
，
y
2< br>22
ab
?
2
?
2
?1,
ab
?< br>a(b
2
?k
1
2
a
2
)
∴
x??a
，或
x?
，
222
b?ak
1
a(b
2
?k
1
2
a
2
)2ab
2
k< br>1
∵
x
B
??a
，∴
x
B
?
，则
y
B
?k
1
(x
B
?a)?
2．……11分
22222
b?ak
1
b?ak
1
?< br>y?k
2
(x?a),
2
由
?
2
得
x
2
?a
2
?k
2
(x?a)
2
?0，
22
?
x?y?a,
22
2ak
2
a(1 ?k
2
)a(1?k
2
)
y?
x?
得
x? ?a
，或
x?
，同理，得，，……13分
D
D
2
22
1?k
2
1?k
2
1?k
2
b
42
a(b?
2
k
2
)
2
222
k1
b
2
2abk
2
a(a?bk)
a
2
?
2
时，
x
B
?
y?
当，，
?
B
222
4222
k
2
aa?bk
2
b
2
a?bk
2
b
2
?
2
k
2
a< br>2
k
BD
2ab
2
k
2
2ak
2< br>?
22
a
2
?b
2
k
2
1?k2
1
???
，∴ BD⊥AD，∵
E
2
为圆， 22
k
2
a(a
2
?b
2
k
2
)a(1?k
2
)
?
2222
a?bk
2
1?k
2
∴ ∠ADB所对圆
E
2
的弦为直径，从而直线BD过定点（a,0）. ……………16分
法二：直线
BD
过定点
(a,0)
， …………………10分
第9页 共14页

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证明如下：
x
B
2
y
B
2
设
P(a,0)
，
B(x
B
,y
B
)
，则 ：
2
?
2
?1(a?b?0)

ab
2
y
B
y
B
y
B
a
2
a
2
a
2
a
2
b
2
k
AD
k
PB
?
2
k
1
k
PB
?
2
????
2
?(?)??1
，
bbx
B
?ax
B
?ab< br>2
x
B
?a
2
b
2
a
2
所 以
PB?AD
，又
PD?AD

所以三点
P,B,D
共线，即直线
BD
过定点
P(a,0)
。. …………………16分
20．（本小题满分16分）
解：（Ⅰ）
f
3'
(x)?3ax
2
，由
f
3
?
?
2
?
?12
得
a?1
． …………………3分
（Ⅱ）
g
n
(x)?x?nlnx?1
，g(x)?n?x
'
∵
x?0
，令
g
n
(x) ?0
得
x?
n2
'
n
n?1
n
2
n(x
n
?n)
，………………5分
??
xx
n
n
，
当
x?
n
'< br>n
时，
g
n
(x)?0
，
g
n
(x )
是增函数；
当
0?x?
∴当
x?
n
n
'
n
时，
g
n
(x)?0
，
g
n
(x)
是减函数．
n
时，
g
n
(x)
有极小值， 也是最小值，
g
n
(
n
n)?n?nlnn?1
，……7分
当
x?0
时，
g
n
(x)???
；
当< br>x???
时（可取
x?e,e,e?
体验），
g
n
( x)???
．
当
n?3
时，
g
n
(
n< br>n)?n(1?lnn)?1?0
，函数
g
n
(x)
有两个零 点；
当
n?2
时，
g
n
(
n
n)??2 ln2?1?0
，函数
g
n
(x)
有两个零点；
当
n?1
时，
g
n
(
n
n)?0
，函数
g
n
(x)
有且只有一个零点，
综上所述，存在
n?1
使得 函数
g
n
(x)
有且只有一个零点． …………………9分
（Ⅲ）
f(x)?n?x
'
n
n?1
23
n?1
f
n
?
?
x
0
?
f
n
?
m
?
nx
0
m
n
?1
?
，∵，∴，
?< br>n?1n
f
n
?
?1
?
x
0
?f
n?1
?
m
?
(n?1)x
0
m?1
n(m
n?1
?1)
得
x
0
?
， …………………11分
n
(n?1)(m?1)
?m
n?1
?m( n?1)?n
则
x
0
?m?
，
(n?1)(m
n
?1)
当
m?1
时，
(n?1)(m?1)?0
，设
h(x)??x
nn
nn?1
?x(n?1)?n(x?1)
，
则
h'(x)??(n?1)x?n?1??(n?1)(x?1)?0
（当且仅当
x ?1
时取等号），
第10页 共14页

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∴
h(x)
在
?
1,??
?
上是减函数，
又∵
m?1
，∴
h(m)?h(1)?0
，∴
x
0
?m?0
，∴
x
0
?m
．…………………14分
当0?m?1
时，
(n?1)(m?1)?0
，设
h(x)??x
nn
nn?1
?x(n?1)?n(0?x?1)
，
则
h'(x) ??(n?1)x?n?1??(n?1)(x?1)?0
（当且仅当
x?1
时取等号 ），
∴
h(x)
在
?
0,1
?
上是增函数， < br>又∵
0?m?1
，∴
h(m)?h(1)?0
，∴
x
0
?m?0
，∴
x
0
?m
．
综上所述，当
m?1
时
x
0
?m
，当
0 ?m?1
时
x
0
?m
………………………………16分

第11页 共14页

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第二部分（加试部分）
21．B 选修4 - 2：矩阵与变换（本题满分10分） ?
Ae
1
?
?
1
e
1
ab
?
解.设
A
?
?
,由 …………………3分
?
?
cd
?
?
Ae
2
?
?
2
e
2
??
b
??
1
??
1
??
3
?
a?3a?3
?3??
???
???
0
??
0
?
d
?
??
0
? ????
??
c?0
?
c?0
得
?
,即
?
，
?
，
b
??
1
??
1
??< br>?1
?
??
a?2b??1
?
b??2
??1??< br>???
???
2
??
?2
?
c?2d??2d??1
d
?
??
2
?????
?
3?2
?
所以
A
?
?
…………………10分
?
?
0?1
?
21．C． 选修4 - 4：坐标系与参数方程 （本题满分10分）
解：依题意
A(4,0)
，
B (0,3)
，
AB?5
，直线
AB
：
?
a
?
c
?
?
a
?
c
?
xy
??1< br>，即
3x?4y?12?0

43
设点
P
的坐标为< br>(4cos
?
,3sin
?
)
，则点
P
到直 线
AB
的距离是
|3?4cos
?
?4?3sin
??12|12
?
d??|2sin(
?
?)?1|
， …………………4分
554
?
12(2?1)
当
sin(
?
?)??1
时，
d
max
?
， …………………6分
4
5
1
所以
?PAB
面积的最大值是
S?AB?d
max
?6(2?1)
…………………10分
2
22．（本题满分10分）
解：因为侧面
PCD?
底面
ABCD
，平面
PCD?
平面
ABCD?CD
，
PD?CD
，
所以
PD?
平面
ABCD
，所以
PD?AD< br>，即三直线
DA,DC,DP
两两互相垂直。
如图，以
D
为 坐标原点，
DA,DC,DP
分别为
x,y,z
轴建立直角坐标系，
则的一个法向量为
PBD
n
?(?1,1,0)
， …………………2分
????????????
PC?(0,2,?1),PQ?
?
PC,
?
?(0,1)
，所以
平面
Q(0,2
?
,1?
?
)
，设平面
QBD
的一个法向量为
??? ?
????
m
?(a,b,c)
，由
m
?BD?0
，
m
?DQ?0
，
?
a?b?0
得
?
，
2
?
b?(1?
?
)c?0
?
所以
m?(?1,1,
所以
cos45?
?
2
?
)
…………………6分
?
?1
2
2?2?(
2
?
2
)
?
?1
?
2

2
|
m
?
n
|
，即
|
m
|?|
n
|
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注意到
??(0,1)
，解得
?
?
23．（本题满分10分）
2?1
． …………………10分
( 1?
解：（Ⅰ）
1
m
1m(m?1)
1
1
2
1
x)?1?C
m
(x)?C
m
(x)
2
??< br>依题意
a
1
?1
，
a
2
?m
，a
3
?
，
22228
由
2a
2
?a< br>1
?a
3
可得
m?1
（舍去），或
m?8
…………………2分
所以
(1?
1
m
135
x)
展开式的中间项是第五项为：
T
5
?C
8
4
(x)
4
?x
4
；…………………4分
228
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
a
n
?3n?2
,
当
n?2
时，
91
?????????????

a
n
a
n?1
a
n?2
a
n
2
a
2
a
3
a
4
47101403
11111111< br>???????????

a
n
a
n?1
a
n?2
a
n
2
a
3
a
4
a
5a
9
当
n?3
时，
?
1111111
1111 111
??????
??(??)?(??)

71
71
311
??(??)?(??)???????

8281632816163
1111
1
猜测：当
n?2
时，
?????
?
…………………6分
a
n
a
n?1
a
n?2
a
n
2
3
以下用数学归纳 法加以证明：
①
n?3
时，结论成立，
②设当
n?k
时，
11111
??????
，
a
k
a
k?1
a
k?2
a
k
2
3< br>则
n?k?1
时，
1
a
(k?1)
?
1a
(k?1)?1
?
1
a
(k?1)?2
???
1
a
(k?1)
2

?(
11111
1111
??????)
?(?????)

a
k
a
k?1)
a
(k?1)?1
a
(k ?1)?2
a
k
2
a
k
2
?1
a
k
2
?2
a
(k?1)
2
a
k
11111
1(2k?1)1
??(?????)
??

?
2
3a
k
2
?1
a
k
2
?2
a
(k ?1)
2
a
k
33(k?1)?23k?2
1(2k?1)(3k? 2)?[3(k?1)
2
?2]13k
2
?7k?3
????

22
3[3(k?1)?2][3k?2]3[3(k?1)?2][3k?2]
由
k?3
可知，
3k
2
?7k?3?0

即
1
a
(k?1)
?
1
a
(k?1)?1
?
1
a
(k?1)?2
???
1
a
(k?1)
2< br>1
?

3
第13页 共14页

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综合①②可得，当
n?2
时，




11111
??????
…………………10分
a
n
a
n?1
a
n?2
a
n
2
3
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