湖北省襄阳五中2012届高三第二次适应性考试数学(理)试题

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湖北省襄阳五中2012届高三下学期第二次适应性考试数学（理科）
命题人：何宇飞 审题人：丁全华 2012年5月17日
一．选择题：（本大 题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的, 把答案填在答卷的表格内）
b2
?ad?bc
,则符合条件
dz
1
12
A． B．
?
C．
5
55
1．定义运算
a
c
1
?i
的复数
z
的虚部为（ ）


zi
2
D．
?

5
2．已知某个几何体的三视图如 下图，根据图中标出的尺寸（单
位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）
5
3
3
cm
3
2
2
C.
3
cm
3
D.2 cm
3
3．已知函数
f(x)
是定义在R上的奇函数，且当
x?0
时，
A.
f(x)?2
x
?3,则f(?2)
=（ ）
A．1 B．-1 C．
111
D．
?

44
4．如图,若程序框图输出的S是126,则判断框①中应为 （ ）
A．
n?5?
B．
n?6?

C．
n?7?
D．
n?8?

5．在下列结论中，正确的结论为（ ）
（1）“
p?q
”为真是“
p?q
”为真的充分不必要条件
（2）“
p?q
”为假是“
p?q
”为真的充分不必要条件
（3）“
p?q
”为真是“
?p
”为假的必要不充分条件
（4）“
?p
”为真是“
p?q
”为假的必要不充分条件
A.（1）（2） B.（1）（3）
C.（2）（4） D.（3）（4）
?????
6. 平面向量的集合
A
到
A
的映射
f
由
f(x)?x?2(x?a)a
确
?
???? ??
定,其中
a
为常向量.若映射
f
满足
f(x)?f(y )?x?
对
y
?
???
是（ ）
x,y?A
恒 成立,则
a
的坐标不可能
．．．
222213
,)
C．
(,)
D．
(?,)

442222
1n2
*
7．已知
(1?2x?3x)(x?
2
)
的展开 式中没有常数项,
n?N
且
2?n?8
,则
n
的值共
x
A．
(0,0)
B．
(
（ ）
A．1个

B．2个 C．4个 D．0个
1

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?
y?x
?
?5)
，
O
为坐 8．设
m?2
，点
P(x，y)
为
?
y?mx
所表 示的平面区域内任意一点，
M(0，
?
x?y?1
?
标原点，
f(m)
为
OP?OM
的最小值，则
f(m)
的最大值为（ ）
A．
?
10
10
B． C．
0
D．
2

3
3
9．
已知
a,b?
?
0,2
?
，函数
f
?
x< br>?
?
?
1
?
asint?2bcost
?
d t
在
?
x
?
??
?
,
?
上为增函 数的概
4
?
3
?
率是（ ）

113
A. B. C. D.1

424
10.

定义在
R
上的可导函数
f(x)< br>，当
x?(1,??)
时，
f(x)?f'(x)?xf'(x)
恒成 立，
1
a?f(2),b?f(3),c?(2?1)f(2)
，则
a,b ,c
的大小关系为 （ ）
2
A．
c?a?b
B．
b?c?a
C．
a?c?b
D．
c?b?a

二．填空题（每小题5分. 11,12,13,14为必做题， 15，16为选做题，请在两道题中选择一道
作答，两道都选的只计15题的分.）
11．某 同学五次测验的政治成绩分别为78，92，86，84，85，则该同学五次测验成绩的标
准差为 ．
12．已知
a,b?R
，⊙
C
1
：
x
2
?y
2
?4x?2y?a
2
?5?0
与⊙
C< br>2
：
x
2
?y
2
?(2b?10)x?2by?
x
1
?x
2
y
1
?y
2
? ?0
，则实数
b
的
2b
2
?10b?16?0
交于 不同两点
A(x,y),B(x,y)
，且
1122
y
1
? y
2
x
1
?x
2
为 .
13．设
A
和
B
是抛物线
L
上的两个动点，在
A
和
B
处的抛物线切线相互垂直，已知由
A、B
及
抛物线的顶点
P< br>所成的三角形重心的轨迹也是一抛物线，记为
L
1
．对
L
1< br>重复以上过程，又
得一抛物线
L
2
，以此类推．设如此得到抛物线的 序列为
L
1
,L
2
,?,L
n
，若抛物线
L
的方程为
2
2
y?6x
，经专家计算得，
L
1
:y?2(x?1)
，
L
2
:y?
2
2124(x?1?)?(x?)
，
3333
211213
T
2
(x?1??)?(x?)
，
?
，
L
n
:y
2< br>?(x?
n
)
．则
2T
n
?3S
n
= .


93999
S
n
S
n
14．将27，37，47，48，55，71，75这7个数排成一列,使任意连续4个数的和为3的倍数,
则这样的排法有_________种.
L
3
:y
2
?< br>15．
如图，点
A,B,C
是圆
O
上的点,且
AB? 2,BC?6,?CAB?120
?
,则
?AOB
对应
的劣弧长为
16. 已知极坐标系的极点
O
与直角坐标系的原点重合，极轴与
x
轴的
?
x?4t
2
,
?
正半轴重合，曲线
C
1
：
?
cos(
?
?)?22
与曲线
C
2
：
?
（t∈R）
4
?
y?4t
????????
交于A、B两点．则
?OA,OB??
______.
2

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三．解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．（本题满分12分）已知函数
f
?
x
?
?2sinxcosx ?cos2x
(
x?
R).
(1) 当
x
取什么值时,函 数
f
?
x
?
取得最大值,并求其最大值;
（2）若
?
为锐角，且
f
?
?
?
?
?
?
?
2
，求
tan
?
的值.
?
?
8
?
3


18．（本题满分12分 ）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序
加工而成，两道工序的加工结果相 互独立，每道工序的加工结果均有
A,B
两个等级．对每
种产品，两道工序的加工结果 都为
A
级时，产品为一等
品，其余均为二等品。
（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为
A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为
一等品的概率
P
甲
,P
乙
；
（2）已知一件产品的利润如表二所示，用
?
,
?
分别
表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，
求
?
,
?
的分布列及
E
?
,E
?
；
（3）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三
所示。该工厂有工人
40
名，可用资金
60
万元。
设
x,y
分别表示生产甲、乙产品的数量，在（2）的
条件下，
x ,y
为何值时，
z?xE
?
?yE
?
最大？
概
工序
第一工序
0.8
0.75
第二工序
0.85
0.8

率

产品
甲
乙
（表一）

润

产品
甲
乙
利
等级
一等
5（万元）
二等
2.5（万元）
2.5（万元） 1.5（万元）
（表二）
用
项目
工人（名） 资金（万元）
8 5

量

产品
甲
最大值是多少？（解答时须给出图示说明）
2 10
乙


（表三）
19．（本题满分12 分）如图,在三棱柱
ABC
中,侧面
AAC?
1
A
1
B
1
C
11
C?
底面
ABC
,
AA1
?AC?AC?2
,
AB?BC
,且
AB?BC,O
为
AC
中点.
1
(I)证明:
AO?
平面
ABC
;
1
(II)求直线
AC
1
与平面
A
1
AB
所成角的正 弦值;
(III)在
BC
1
上是否存在一点
E
,使得OE
平面
A
1
AB
,若
不存在,说明理由;若存在,确定点
E
的位置.
3

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20．（本题满分12分）已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?|a
n
?4|?2(n?N
?
)< br>.
（1）若
a
1
?1
，求
S
n
? a
1
?a
2
?a
3
???a
n
；
（2）试探求
a
1
的值，使得数列
{a
n
}(n?N?
)
成等差数列.



21．（本题满分13 分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，直线
AB?x
轴于点
C
，
OC?4，CD?3DO
动点
M
到直线
AB
的距离是它到点
D
的距离的2倍．
（I）求点
M
的轨迹方程；
（II）设点
K
为点
M
的轨迹与
x
轴正半轴的交点，直线
l
交点
M
的轨 迹于
E
，
F
两点（
E
，
，且满足
KE?K F
，动点
P
满足
2OP?OE?OF
，求直线
KP
的斜率
F
与点
K
不重合）
的取值范围．



22．（本题满分14分）已知函数
f(x)?(x
3
?6x2
?3x?t)e
x
，
t?R
.
（1）若函数
y?f(x)
依次在
x?a,x?b,x?c(a?b?c)
处取到极值。
①求
t
的取值范围；
②若
a?c?2b
，求
t
的值。
（2）若存在实数
t?
?
0,2
?
，使对任意的
x?
?
1,m?
，不等式
f(x)?x
恒成立。求正整数
m

的最大值。















http:

2
4

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参考答案
一．选择题
1.
B，主要考察复数的有关概念和运算，属简单题
2.B，主要考察三视图和体积的计算，属简单题
3.B，主要考察函数的奇偶性，属简单题
4.B，主要考察程序框图，属简单题
5.B，主要考察复合命题真假性判断和充分必要条件的判断，属简单题
6.B，主要考察平面向量的运算，属中档题
7.D，主要考察二项式定理，属简单题
8.A，主要考察线性规划，属中档题
9.A，主要考察积分运算和三角函数的单调性以及几何概型，属中档题
10.A，主要考察抽象函数单调性，属难题
二．填空题
11.
25
，主要考察对标准差概念的理解，属简单题
5
，主要考察对圆的有关性质的理解，属中档题
3
13．
?1
，主要考察推理与证明，属中档题


12.
14.144 ，主要考察排列组合，属于难题
15．
16.
2
?
，主要考察圆的性质，属简单题
2
?
，主要考察参数方程和极坐标方程，属简单题
2
三．解答题
17．解(1):
f
?
x
?
?2sinxcosx?co s2x
?sin2x?cos2x

?
2
?
2
?
??
?2
?
sin2 x?cos2x

?2sin
?
2x?
?
.
?
?
2
?
2
4
??
??
∴当< br>2x?
?
4
?2k
?
?
?
2
,即< br>x?k
?
?
?
8
(k?
Z
)
时,函 数
f
?
x
?
取得最大值,其值为
2
.
…… 6分
(2):∵
f
?
?
?
?
?
?
?
2
?
?
8
?
3
, ∴
??
2
?
2sin
?
2
?
?
?
?
2
?
3
?
. ∴
cos2
?
?
1
.
3
∵
?
为锐角，即
0?
?
?
∴
tan2
?
?
?
2
2
, ∴
0?2
?
?
?
∴
sin2
?
?1?cos2
?
?
22
.
3
sin2
?
2tan
?
2
?22?
. ∴
2tan
?
?tan
?
?2?0
.…… 10分
2
cos2
?
1?tan
?
∴
tan
?
?
22
或
tan
?
??2
(不合题意,舍去) ∴
tan
?
?
. …… 12分
22
18． 解：（1）解：
P
甲
?0.8?0.85?0.68,
5

P
乙
0.75?0.8?0.6.
……2分

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（2）解：随机变量
?
、
?
的分别列是



?

P
5
0.68
2.5
0.32

?

P
2.5
0.6
1.5
0.4
E
?
?5?

0.68?2.5?0.32?4.2,

E
?
?2.5?0.6?1.5?0.4?2.1.
…6分
?
5x?10y?60,
?
（3）解：由题设知
?
8x?2y?40,
目标函数为 ……8分
?
?
x?0,
?
?
y?0.


z?xE
?
?yE
?
?4.2x?2.1y.
……9分
作出可行域（如图），作直线
l:

4.2x?2.1y?0,< br>将l向右上方
平移至l
1
位置时，直线经过可行域上的点M点与原点距离最大，
此时
z?4.2x?2.1y
……10分
z
取最大值．解方程组
?

?
5x?10y?60,

?
8x?2y?40.
得
x?4,y?4.
即
x?4,y?4时，z取最大值25．2. …12分
19．（本题满分12分）
解:(Ⅰ)证明:因为
A
1
A?AC
,且O为AC的中点,
1
?AC
所以
AO
1
又由题意可知,平面
A A
1
C
1
C?
平面
ABC
,交线为
AC< br>,且
A
1
O?
平面
AA
1
C
1C
,
所以
A
1
O?
平面
ABC

(Ⅱ)如图,以O为原点,
OB,OC,OA
1
所在直线分别为x,y,z轴 建立空间直角坐标系.
1
?AC?2,
又
AB?BC,AB?BC
,?OB?AC?1,
由题意可知,
A
1
A?AC
1
2
所以得:
O(0,0,0),A(0,?1,0),A
1
(0,0,3), C(0,1,0),C
1
(0,2,3),B(1,0,0)

????? ????????
则有:
AC?(0,1,?3),AA
1
?(0,1,3) ,AB?(1,1,0).

1
z
设平面
AA
1
B
的一个法向量为
n?(x,y,z)
,则有
A
1
? ???
?
?
y?3z?0
?
n?AA
1
?0
?
y?1
,得,令
?
????
??
x?y?0
?
?
?
?
n?AB?0
3

3
3
所以
n?(?1,1,?)

3
???? ?
?????
n?A
1
C
21
?????
?cos ?n,A
1
C??

7
|n||A
1
C|
x??1,z??
6
C
1
B
1
A
O
B
x
C
y

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?????
21
因为直线
A
1
C与平面
A
1
AB
所成角
?
和向量
n
与
A
1
C
所成锐角互余,所以
sin
?
?

7
?????????
(Ⅲ)设
E?(x
0
,y
0
,z
0
),BE?
?
BC
1
,
?
x
0
?1?
?
?
即
(x
0
?1,y
0
,z
0
)?
?
(?1,2,3)
,得< br>?
y
0
?2
?

?
?
z
0
?3
?
????
所以
E?(1?
?
,2
?
,3
?
),
得
OE?(1?
?
,2
?< br>,3
?
),

????
令
OE
平面A
1
AB
,得
OE?n=0
,
1
即< br>?1?
?
?2
?
?
?
?0,
得
?< br>?,

2
即存在这样的点E,E为
BC
1
的中点
20．解：（1）
a
1
?1
，
a
n?1
? |a
n
?4|?2(n?N
?
)

a
2
? 4?a
1
?2?5
，
a
3
?|a
2
?4| ?2?3
，
a
4
?|a
3
?4|?2?3,?,a
n
?3

?
1,n?1
?
1,n?1
?
? S
n
?a
1
?a
2
?a
3
?
?< br>?a
n
?
?
6,n?2?
?

3n,n?2
?
6?3(n?2),n?3
?
?
（2）①当
a
n
?4
时，
a
n?1
??a
n
?6
，即a
n?1
?a
n
?6
………………（1）
当
n?1
时，
a
1
?a
2
?6
；当
n?2< br>时，
a
n
?a
n?1
?6
…………………（2） < br>（1）
?
（2）得，
n?2
时，
a
n?1
? a
n?1
?0
，即
a
n?1
?a
n?1

又
{a
n
}
为等差数列，
?a
n
?3(n ?N
?
)
，此时
a
1
?3

②当
a
n
?4
时，
a
n?1
?a
n
?2
，即
a
n?1
?a
n
??2
，即
d??2

若
d??2
时，则
a
n?1
?a
n
? 2
…………………（3）
将（3）代入
a
n?1
?|a
n
?4|?2
得
a
n
?4?|a
n
?4|
，
?a
n
?4
对一切
n?N
都成立
另一方面，a
n
?a
1
?2(n?1),a
n
?4
当且仅 当
n?
?
a
1
?1
时成立，矛盾
2
?d??2
不符合题意，舍去
综合①②知，要使数列
{a
n
}(n?N
?
)
成等差数列，则
a
1
?3.
21．解：（1）依题意知，点C（－4，0），由
CD?3DO
得点D（－1，0）
设点M（
x，y
），则：
x?4?2(x?1)?y

整理得：
3x?4y?12

22
22
x
2
y
2
??1
动点M的轨迹方程为
43
（2）当直线EF的斜率不存在时，由已知条件可知，O、P、K三点 共线，直线PK的斜率
为0.
x
2
y
2
??1
，整理 当直线EF的斜率存在时，可设直线EF的方程为
y?mx?b
代入
43
7

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得
(3?4m
2
)x
2
?8mby? 4b
2
?12?0

设
E(x
1
，y
1< br>)，F(x
2
，y
2
)

8mb4b
2?12
x
1
?x
2
??，x
1
x
2< br>?
2
3?4m3?4m
2
6b3b
2
?12m
2
y
1
?y
2
?m(x
1
?x
2
)?2b?，y
1
y
2
?

3?4m
2
3?4m
2
?KE?KF
，K点坐标为（2，0）

?x
1
x
2
?2(x
1
?x
2
)?4?y
1< br>y
2
?0
，代入整理得
?4m
2
?16mb?7b
2
?0

解得：
b??
2
m，b??2m

7
0)
，与已知矛盾，舍去. 当
b??2m
时，直线EF的方程为
y?m(x?2)
恒过点
(2，
当
b??m
时，
设
P(x
0
，y
0
)，x
0
?2
，由2OP?OE?OF
知
2
7
x
1
?x
2< br>8m
2
y
1
?y
2
6m

x
0
??，y???
0
22
27(3?4m)27(3?4m)
直线 KP的斜率为
k?
y
0
6m3m

??
22
x
0
?2
16m?148m?7
当
m?0
时，直线KP的 斜率为0， 符合题意
当
m?0
时，
k?
1
7
8m?
m

?8m?
77
14
14
?414
(m?
时取“=” ）或
8m?
≤－
414(m??
时取“=”）
m
m
4
4
?
11
?k?0)
或
0?k?

4 14414
综合以上得直线KP斜率的取值范围是
[?
1414
，]
.
5656
8

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22．解：（1）①
f
?
(x)?(3x
2
?12x?3)e
x
?(x
3
?6x
2
?3x?t)e
x
?(x
3
?3x
2
?9x?t?3)e
x

?f(x)有3个极值点,?x
3?3x
2
?9x?t?3?0有3个根a,b,c.

令g(x)?x< br>3
?3x
2
?9x?t?3,g'(x)?3x
2
?6x?9 ?3(x?1)(x?3)

g(x)在(-?,-1),(3,+?)上递增,(-1,3) 上递减.
?
g(-1)>0
?
g(x)有3个零点?
?
?? 8?t?24.
…………5分
g(3)?0
?
②
?a,b,c是f(x)的三个极值点

?x
3
?3x
2
?9x?t?3?(x-a)(x-b)(x-c)=x3
?(a?b?c)x
2
?(ab?bc?ac)x?abc

?
a?1?23
?
a?b?c?3
?
3
?
?
?
ab?ac?bc??9
?b?1或?(舍?b?(-1,3))
?
?< br>b?1?t?8
…………
2
?
t?3??abc
?
?
?
c?1?23
10分
（2）不等式
f(x)?x
，即
(x
3
?6x
2
?3x?t)e
x
?x
， 即
t?xe
?x
?x
3
?6x
2
?3x
.
?x
3
?6x
2
?3x
恒转化为存在实数
t??
0,2
?
，使对任意的
x?
?
1,m
?，不等式
t?xe
成立.
即不等式
0?xe
即不等式
0?e
?x
?x
?x
3
?6x
2
?3x
在
x?
?
1,m
?
上恒成立.
?x
?x
2
?6x?3
在
x?
?
1,m
?
上恒成立.
设
?
(x)?e
?x
?x
2
?6x?3
，则?
?
(x)??e
?x
?2x?6
.
设
r( x)?
?
?
(x)??e
?x
?2x?6
，则
r< br>?
(x)?e
?x
?2
，因为
1?x?m
，有
r
?
(x)?0
.
故
r(x)
在区间
?
1,m
?
上是减函数.又
r(1)?4?e
?1
?0,r(2)? 2?e
?2
?0,r(3)??e
?3
?0

故存在
x
0
?(2,3)
，使得
r(x
0
)?
?
?
(x
0
)?0
.
当
1?x?x
0
时 ，有
?
?
(x)?0
，当
x?x
0
时，有
?
?
(x)?0
.
从而
y?
?
(x)
在 区间
?
1,x
0
?
上递增，在区间
?
x
0
,??
?
上递减.
又
?
(1)?e?4?0,
?
(2)?e?5>0,
?
(3)?e?6>0,

?1?2?3
9

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?
(4)?e
?4
?5>0,
?
(5)?e
?5
?2?0,
?
( 6)?e
?6
?3?0.

所以当
1?x?5
时，恒有?
(x)?0
；当
x?6
时，恒有
?
(x)?0
；
故使命题成立的正整数
m
的最大值为5.

10