高中数学必修四教学目标-高中数学核心素养与初中数学
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高二数学优质课教案
课题:
函数的极值
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函数的极值
三维目标:
1.知识与技能:
(1).理解极大值、极小值的概念;
(2).能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值;
(3).掌握求可导函数的极值的步骤。
2.过程与方法:
通过观察函数的图像,
获取函数极值的直观感觉,帮助理解函数极值的概念。通过例题
的学习掌握求函数极值的方法和步骤。
3. 情感、态度与价值观:
激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度
,培养积极进取的精
神,使学生获得认知的一般规律的教育。
教学重点:极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤。
教学难点:对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤。
授课类型:新授课
教学过程:
一、复习引入:
1.
常见函数的导数公式:
C
'?0
;
(x
n
)'?nx
n?1
;
(sinx)
'?cosx
;;
(cosx)'??sinx
;
(lnx)'?
1
x
(log
a
x)'?1
xxxx
log
a
e
;
(e)'?e
;
(a)'?alna
x
'''
2.法则1
[u(x)?v(x)]?u(x)?v(x)
法则2
[u(x)v(x)]
?
?u'(x)v(x)?u(x)v'(x)
,
[Cu(x)]
?
?Cu'(x)
?
u
?
u'v?uv'
法则3
??
?(v?0)
2
v
?
v
?
3.
函数的导数与函数的单调性的关系:设函数y=f(x)
在某个区间内有导数,如果在这个区
间内
y
>0,那么函数y=f(x)
在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内
y
<0,那么函
数y=f(x)
在为这个区间内的减函数
4.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数f′(x).
②令f′(x)>0解不等式,得x
的范围就是递增区间.③令f′(x)<0解不等式,得x的范围,
就是递减区间
二、讲解新课:
1.极大值: 一般地,设函数f(x)在点x
0
附近有定义,如果对x
0
附近的所有的点都有f(x)<
f(x
0<
br>),就说f(x
0
)是函数f(x)的一个极大值,记作y
极大值
=f
(x
0
),x
0
是极大值点
2.极小值:一般地,设函
数f(x)在x
0
附近有定义,如果对x
0
附近的所有的点,都有f(x)>
f(x
0
).
'
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就说f(x
0
)是函数f(x)的一个极小值,记作y
极小值
=f(
x
0
),x
0
是极小值点
3.极大值与极小值统称为极值
在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值请注
意以下几点: <
br>(ⅰ)极值是一个局部概念由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较
是最大或最
小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
(ⅱ)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不
止一个
(ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值,如
下图所示
,
x
1
是极大值点,
x
4
是极小值点,而
f(x<
br>4
)
>
f(x
1
)
(ⅳ)函数的极值点一
定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点而使函数取得
最大值、最小值的点可能在区间的内部,
也可能在区间的端点
y
f(x
5
)
f(x
3
)<
br>f(x
1
)
f(x
4
)
a
x
1x
2
O
f(b)
f(x
2
)
f(a)
x
3
x
4
x
5
b
x
4.
判别f(x
0
)是极大、极小值的方法:
若
x
0
满足f
?
(x
0
)?0
,且在
x
0
的两侧
f(x)
的导数异号,则
x
0
是
f(x)
的极值点
,
,则
x
0
是
f(x)
的极大值点,
f(x
0
)
是极值,并且如果
f
?
(x)
在
x
0
两侧满足“左正右负”
如果
f
?
(x)
在
x0
两侧满足“左负右正”,则
x
0
是
f(x)
的极小值
点,
f(x
0
)f(x
0
)
是极大值;
是极小值
5. 求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间,求导数
f(x)
(2)求方程
f(x)
=0的根
(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数
的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.
检查
f(x)
在方程根左右的值的符号,
如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如
果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小
值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处
无极值
三、讲解范例:
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例1求y=
1
3
1
x-4x+的极值
33
13
1
x-4x+)′=x
2
-4=(x+2)(x-2)
3
3
解:y′=(
令y′=0,解得x
1
=-2,x
2
=2
当x变化时,y′,y的变化情况如下表
x
y
?
y
?
??,2
?
+
-2
0
极大值
(-2,2)
-
2
0
极小值
?
2,??
?
+
↗
f(?2)
17
3
↘
f(2)
↗
∴当x=-2时,y有极大值且y
极大值
=
当x=2时,y有极
小值且y
极小值
=-5
y
1
3
f(x)=x-4x+4<
br>3
2
-2
O
x
变式:
(1)
f
(
x
)
=x
(
x-c
)
在x =
2处有极大值,则常数c 的值为_________
(2)用导数方法证明二次函数
y?a
x?bx?c(a?0)
的极值点为
?
它的极值。
例2.已知函数y?ax
3
?bx
2
,当
x?1
时,
y
有极大值3;
(1)求
a,b
的值
(2)求函数
y
的极小值
四、课堂练习:
1.求下列函数的极值.
2
(1)
y?x?7x?6
(2)
y?x?
2
2
b
,并讨论
2a
1
x
五、小结 :函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数f(x)的极值的
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三个步骤.
六、课后作业:
1.函数
y=x
3
-3x
2
-9x
(
-2
A、极大值5,极小值-27
B、极大值5,极小值-11
C、极大值5,无极小值
D、极小值-27,无极大值
2.f
(x)是f(x)的导函数,f
(x)的图象如右图所示,则f(x)的图象只可
能是( )
(A) (B)
(C) (D)
2.求下列函数的极值
24
(1)
y?2x?x
(2)
y?
x
x
2
?3
(3)
y?x?2cosx
(4)
y?e
x
?ex
3.已知函数
f(x)?x
3
?3ax?b(a?0)
的极大值为6,极小值为2,求
f(x)
的递
减区间
七、教学反思:
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