辽宁省高中数学竞赛-x新疆高中数学书
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成都市2009届高中毕业班第二次诊断性检测
数学(理工农医类)
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第I卷至2页,第Ⅱ卷3至8页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。全卷满分为150分,完成时间为120钟.
第<
br>Ⅰ卷
注意事项:
1.答第I卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在
答题卡上.
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡
皮擦干净后,再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上.
3.本卷共12小题,每小题5分,共60分
。在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
参考公式:
如果事件A、B
互斥,那么
球的表面积公式
2
P(A?B)?P(A)?P(
B
)
S?4
?
R
如果事件
A、B
相互独立,那么
其中
R
表示球的半径
P(A?B)?P(A)?P(
B
)
球的体积公式
如果事件
A
在依次实验中发生的概率是
p
,
V?
那么
n
次独立重复实验中恰好发生
k
次的概率
P
n
(k)?C
n
P
一、选择题:4
3
?
R
3
kk
(?1P
2
?n)k?(
k
0,…1,,n2),
其中
R
表示球的半径
(1)已知集合
P?{x|x?2x?1?0,x?R}
,则
集合
P
的子集个数是
A.1 B.2 C.4
D.8
(2)化简复数
i-
3
1+i
1-i
的结果是
A.-2i B.2i C.0 D.-1-i
(3)已知函数
f(x)
的定义域为[0,1?,则函数
f(1?x)
的定
义域为
A.
[0,1)
B.
(0,1]
C.
[?1,1]
D.
[?1,0)?(0,1]
?
x?1
(x?0)
f(x)?
(4)函数的图象为
?
|x|
x(x?0)<
br>?
(5)在
ΔABC
中,
a、b、c
分别是三内角
A
、B、C
所对边的长,若
bsinA?asinC,
则
ΔABC
的形
状
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A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
(6)已直数列
{a
n
}的前
n
项和为
S
n
,若
a
n
?
1
n?n?1
(n?N)
,则
S
2009
的值为
?
A.
2008
B.
2008?1
C.
2009
D.
2009?1
(7)已知过原点的动圆
C
与直线
l:x?y?4?0
相切,切当动圆
C
面积最小时,圆的
方程是
A.
(x?1)
2
?(y?1)
2
?4
B.
(x?1)
2
?(y?1)
2
?2
C.
(x?1)
2
?(y?1)
2
?4
D.
(x?1)
2
?(y?1)
2
?2
(8)已知三棱锥<
br>P?ABC
中,
PA、PB、PC
两两垂直,
PA?PB?2PC?2
a
,且三棱
锥外接球的秒面积为
S?9
?
,则实数
a
的值为
A.1 B.2
C.
2
D.
1
2
(9)为支援地震灾区的灾后重
建工作,四川某公司决定分四天每天各运送一批物资到
由于
A
地距离该公司较近,安排
在第一天或最后一天送达;
A、B、C、D、E
五个受灾点,
安排在同一天上、下午分
别送达(
B
在上午、
C
在下午与
B
在下午、
C在
B、C
两地相邻,
上午为不同运送顺序),且运往这两地的物资算作一批;D、E
两地可随意安排在其余两天
送达。则安排这四天送达五个受灾地点的不同运送顺序种
数共有
A.72种 B.18种 C.36种
D.24种
(10)将函数
f(x)?3sinxcosx?cosx?
2
1
2
的图象按向量
a
平移后得到函数
g(x)
的图
象
,若函数
g(x)
为奇函数,则符合条件的一个向量
a
可以是
A.
a?
?
?
?
?
?
?
??
?<
br>??
?
?
,0
?
B.
a?
?
?,0
?
C.
a?
?
,0
?
D.
a?
?
?
,0
?
?
12
?
?
12
??
6
?
?
6
?
2
?
2
(11)已知曲线
y?2sinx<
br>与曲线
y?ax?bx?3
的一个交点
P
的横坐标为,且两
3
曲线在交点
P
处的切线与两坐标轴围成的四边形恰好有外接圆,则
a
与
b
的值分别为
33
A.
a?,b?1
B.
a?,b??1
?
?
C.
a??
3
2
?
,b?1
D.
a
?
2
2
3
2
?
,b??1
(12)过双曲线
x
a
?
y
2
b
2
?1(b?a?0)
的
左焦点
F(?c,0)(c?0)
作圆
x?y?a
的切线,
2
222
????
1
????????
切点为
E
,延长FE
交抛物线
y?4cs
于点
P?
若
OE?(OF?O
P)
,则双曲线的离心率为
2
A.
3?
2
3
B.
1?
2
5
C.
5
2
D.
1?
2
3
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用钢笔或圆珠
笔直接答在试题卷中.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
3.本卷共10小题,共90分
.
题号
得分
二
17
18
19
三
20
21
22
总分
总分人
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二、填
空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.
(13)若函数
f(
x)?1?C
8
x?C
8
x?…?C
8
x(x?R),则l
og
2
f(3)?
______________.
(14)与抛物线
y
2
?2x
关于点(-1,0)对称的抛物线方程是______________
_________.
2
12288
(15)若关于
x
的方程
x?3x?m?2
在[0,2]上有两个不同实数解,则实数
m
的取值范围
是__________________.
????????????
(16)已知空间向量
OA?(1,k,0)(k?Z),|OA|??(3,1,0),O
为坐标原点,给出以下<
br>????
结论:①以
OA、OB
为邻边的平行四边形
OACB
中,当且仅当
k?0
时,
|OC|
取得最小
值;②当
k?2
时,到
A
和点
B
等距离的动点
P(x,y,z)
的
轨迹方程为
4x?2y?5?0
,其
????
????
7
轨
迹是一条直线;③若
OP?(0,0,1),
则三棱锥
O?ABP
体积的最大
值为;④若
OP
=(0,
6
0,1),则三棱锥
O?ABP
各个面都为直角三角形的概率为
2
5
.
其中,所有正确结论的番号应是___
__________________.
三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说
明、证明过程或推演步骤.
(17)(本小题满分12分)
?
5
?
)
??A
.已知函数
f(x)?Asin(2x?
?
)(A?0,|
?
|?),且f(
26
(I)求
?
的值;
(Ⅱ)若
f(a)?
3
5
A,f(
?
?
?
12
)?
5
13
A,且
?
6
?a?
?
3
,
0?
?
?
?
4
,
求cos(2a?2
?
?
?
6
)
的值
(18)(本小题满分12分)
如图的多面体是
直平行六面体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
经平面
AEFG
所截后得到的图形,其
中
?BAE??GAD?4
5,AB?2AD?2,?BAD?60
.
??
(I)求证:
BD?平面AD
G
;
(Ⅱ)求平面
AEFG
与平面
ABCD
所成锐而面角的
大小;
(Ⅲ)求点C到平面
AEFG
的距离
(19)(本小题满分12分)<
br>质检部门将对12个厂家生产的婴幼儿奶粉进行质量抽检,若被抽检厂家的奶粉经检验
合格,则该
厂家的奶粉即可投放市场;若检验不合格,则该厂家的奶粉将不能投放市场且作
废品处理。假定这12个
厂家中只有2个厂家的奶粉存在质量问题(即检验不能合格),但不
知道是哪两个厂家的奶粉.
(I)从中任意选取3个厂家的奶粉进行检验,求至少有2个厂家的奶粉检验合格的概率;
(Ⅱ)每次从
中任意抽取一个厂家的奶粉进行检验(抽检不重复),记首次抽检到合格奶粉
时已经检验出奶粉存在质量
问题的厂家个数为随即变量
?
,求
?
的分布列及数学期望.
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(20)(本小题满分12分)
已知函数
f(x)??
2
1
3
x?x?b,g(x)?
32
x?a
x?1
2
,其中x?R
?
f(x)(x?2)
(I)当
b?
时,若函数
F(x)?
?
为
R
上的连续函数,求
F(x)
的单调区间;
3
g(x)(x?2)
?
(Ⅱ)当
a??1<
br>时,若对任意
x
1
,x
2
?[?1,2],
不等式<
br>g(x
1
)?f(x
2
)
恒成立,求实数
b
的取
值范围.
(21)(本小题满分12分)
在平面直角坐标系
xOy
中,
RtΔABC
的斜边
BC
恰在
x
轴上,点
B
(?2,0),C(2,0)
,
且
AD
为
BC
边上的高.<
br>(I)求
AD
中点
G
的轨迹方程;
(Ⅱ)若一直线与(I)中
G
的轨迹交于两不同点
M、N
,且线段
MN
恰以点
?
?1,
?
?
1
?
?
4
?
为中点
,求直线
MN
的方程;
(Ⅲ)若过点(1,0)的直线
l
与(I)中
G
的轨迹交于两不同点
P、Q,
试问在
x
轴上
若不
存在,请说明理由.
????????
是否存在定点
E(m.0)
,使
PE?QE
恒为定值
?
?若存在,求出点
E
的坐标及实数
?
的值;
(22)(本小题满分14分)
已知数列
{a
n
}
中,<
br>a
1
?
2
3
,a
2
?
8
9
,且当
n?2,n?N
时,
3a
n?1
?4a,?a
n?1
.
(I)求数列
{a
n
}
的通项公式;
n
i=1
(Ⅱ)记
Ⅱai?a
1
?a
2
?
a
3
?…?a
n
,n?N
n
?
(1)求极限
limⅡ(2?a
2
)
; n??
i=1
i?1
n
i=1
(2)对一切正整数
n<
br>,若不等式
?
Ⅱa
i
?1(
?
?N)
恒成立
,求
?
的最小值.
?
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第I卷(选择题 共60分)
一、选择题:(每小题5分,共60分)
(1)B; (2)A; (3)B;
(4)A; (5)C; (6)C; (7)B; (8)A;
(9)D;
(10)B; (11)D; (12)B
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:(每小题4分,共16分)
(13)16;(14)
y
2
??2(x?2);
(15)<
br>?
?
?
?
1
?
,0
?
;
(16)③④
4
?
三、解答题:(本大题共6小题,共74分)
5
?
5
?
)??A?Asin(?
?
)??A
(17)解:(I)由题意,得
f(
5
?
?sin(?
?
3
|
?|
?
?
6
5
?
)??1?,
3
3
?
?k??
2
3
?
?k
2
,Z
?
?
2
?,
?
??
?
6
?
6
)
(Ⅱ)由(I)可知,
f(x)?Asin(2x?
?f(a)?
3
5
A?Asin(2a?
?
6
)?
?
3
5
2
A,?sin(2a?
.
?
6
)?
3
5
又
?
?
6
?a?
?
3
,?
4
5
?
6
?2
a?
?
6
?
?cos(2a?
?
6
)?
5
A?Asin(2
?
?
12
13
又
f(
?
?
?
12
)?
?
613
?
?<
br>6
)?
5
13
A,?sin2
?
?
5
13
?0?2
?
?
?
2
,?cos2
?
?
?
6
)cos2
?
?sin(2a??co
s(2a?2
?
?
?
6
)?cos(2a?
?
6<
br>)sin2
?
?
4
5
?
12
13
?
3
5
?
5
13
?
33
65
(18)(I)证明:在
?BAD
中,
?A
B?2AD?2,?BAD?60
?
由余弦定理,可得
BD?
?AB?AD?B,D?
222
?
3
AD?
BD
又在直平行六面体中,
GD?平面ABCD
,
?GD?BD
又
AD?GD?D,?BD?平面ADG
(Ⅱ)解:以
D
为坐标原
点,建立如图所示的空间直角坐标系
D?xyz
??BAE??GAD?45,AB?2AD?
2
?
则有
A(1,0,0),B(0,3,0),G(0,0,1),E(
0,3,2),C(?1,3,0)
。
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????????
?AE?(?1,3,2),AG?(?1,0,1)
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设平面
AEFG
的法向量为
n?(x,y,z)
????
?
3
?
n?AE??x?3y?2z?0
,1)
由
?
????
取
n?(1,?
3
?
?
n?AG??x?z?0
????
而平面
ABCD
的一个法向量为
DG?(0,0,1)
,
????
????
DG?n21
?cosDG,n?
????
?
7
|DG|?|n|
7
?
???
(Ⅲ)解:点
C
到平面
AEFG
的距离即为
AC在平面
AEFG
法向量
n
上的射影的模长.
????
3
?
AC?(?2,3,0),n?(1,?,1),
<
br>3
????
|AC?n|33321
故所求点
C
到平面
AEFG
的距离为
d?
??
|n|7
7
故平面
AEFG
与平面
ABCD
所成锐二面角的大小为
arccos
21
(19)解:(I)任意选取3个厂家进行抽检,至少有2个厂家的奶粉检验合格有两
种情形;
一是选取抽检的3个厂家中,恰有2个厂家的奶粉合格,此时的概率为
P
1
?
C
10
C
2
C
3
12
21?
9
22
C
10
C
12
3
3
二是选取抽检的3个厂家的奶粉均合格,此时的概率为
P
2
?
故所
求的概率为
P?P
1
?P
2
?
21
22
?
12
22
(Ⅱ)由题意,随即变量
?
的取值为0,1,2.
?P(
?
?0)?
10
12
?
5
6
,P(
?
?1
)?
2
12
?
10
11
?
5
33
,P(
?
?2)?
2
12
?
1
11
?1
66
?
?
的分布列为
?
0
5
6
5
6
?1?
5
33
1
5
33
1
66
?
2
11
2
1
66
P
?2?
?
?
的数学期望
E
?
?0?
2
?
1
32
?x?x?(x?2)
?
2
?
33
(20)解:(I)
?
当
b?
时,函数
F(x)?
? 为
R
上的连续函数,
3
x?a
?
(x?2)<
br>2
?
?
x?1
?lim
?
g(x)?
x?2
2?a
5
2
?f(2)?2,?a?8
?f'(x)??
x?2x??x(x?2),
令
f'(x)?0?0?x?2
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?
当
x?2
时,函数
f(x)
在
(??,0)
上单调递减,在(0,2)上单调递增.
又
g(x)?<
br>x?8
x?1
2
,g'(x)?
?x?16x?1
(x?1)
22
2
?
当
x?(2,??)
时,
g'(x)?0
恒成立, ?
当
x?2
时,函数
g(x)
在
(2,??)
上单调递减.
综上可知,函数
F(x)
的单调递增区间为(0,2),单调递减区间
为(
??,0),(2,??)
.
(Ⅱ)对任意
x
1
,x
2
?[?1,2],g(x
1
)?f(x
2
)
恒成
立
?g(x)
max
?f(x)
min
,x?[?1,2].
?
a??1,?g(x)?
x?1
x?1
2
2?x?1?2
。
2,2]
上单调递增。而
此时
g'(
x)?0,
即
?x
2
?2x?1?0?1?
当
x?[?1,
2]
时,函数
g(x)
在
[?1,1?
g(?1)??1,g(2)
?
1
5
,
2]
上单调递减,在
[1?
?
当
x?[?1,2]
时,函数
g(x)
的最大值为
g(2)
?
1
5
结合(I)中函数
f(x)
的单调性可知:当
x?[
?1,2]
时,
f(x)
min
?f(0)?b
1
5
?b
1
.
?g(x)
max?f(x)
min
?
即实数
b
的取值范围为
b?(,?
?)
5
????????
?AB?(?2?x,?2y),AC?(2?x
,?2y)
.
(21)解:(I)设
G(x,y)
,则
A(x.2
y).
而
B(?2.0).C(2,0)
,
2
????????<
br>x
2
由
AB?AC?0??y?1(y?0)
,即为中点
G<
br>的轨迹方程
4
1
??
(Ⅱ)
?
点
?
?1,
?
在椭圆内部,
?
直线
MN
与椭圆必有公共点 <
br>4
??
设点
M(x
1
,y
1
)、N(x2
,y
2
)
,由已知
x
1
?x
2,则有
?
x
1
2
2
?y
1
?1?
(x?x
2
)(x
1
?x
2
)
?<
br>4
??(y
1
?y
2
)(y
1
?y
2
)
两式相减,得
1
?
2
4
?
x
2
?y
2
?1
2
?
?4
2
?
直
线
MN
的方程为
4x?4y?5?0
????????
(
Ⅲ)假定存在定点
E(m,0)
,使
PE?QE
恒为定值
?
而
x
1
?x
2
??2,y
1
?y
2
?
1
,?
直线
MN
的斜率为
k
MN?1
由于轨迹方程中的
y?0
,故直线
l
不可能为
x
轴
于是可设直线
l
的方程为
x?ky?1,
且设点P
(x3
,y
3
)、Q(x
4
,y
4
)
<
br>将
x?ky?1
代入
22
x
2
4
?y?1(
y?0),
得
2
k?4)y?2ky?3?0
.
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显然
??0,?y
3
?y
4
??
2
,y
3
y
4
??
2
k?4k?4
??????
??
?
EP?(x
3
?m,y
3
),EQ?(x
4
?m,y
4
)
,
????????
则
EP?EQ
?x
3
x
4
?m(x
3
?x
4
)?m2
?y
3
y
4
?(1
?k)y
3
y
4
?k(1?m)(y
3
?y
4)?m?2m?1
?
(m?4)k?4m?8m
?1
k?4
222
2
222
22
2k3
,则必有
?
?
为定值(
?
与
k
值无关)
若存在定点
E(m,0)
使
(m?4)k?4m?8m?1
k?4
2
17
?
m?,
2
?
?
?
m?4?
?
?
8
?
?
?
2
?
?
4m?8m?1?4
?
?
?
?
33
?
64
?
????????
17
33
?
在
x
轴上存在定点
E(,0)
,使
PE?QE
恒为定值
8
64
38
(22)解:(I)
?a
1
?,a
2
?,且3a
n
?1
?4a
n
?a
n?1
?3(a
n?1
?an
)?a
n
?a
n?1
29
1112
?a
n
?a
n?1
?(a
n?1
?a
n?2)?
2
(a
n?2
?a
n?3
)?…?
n?2
(a
2
?a
1
)
n
3333
2
22
由
a
2
?a
1
?
2
,a
3<
br>?a
2
?
3
,…,a
n
?a
n?1
?
n
333
111
叠加,得
a
n
?a<
br>1
?2(
2
?
3
?…?
n
)
333
1
?
故所求的通项公式为
a
n
?1?
n
(n?N)
3
n
1111
(Ⅱ)①
limⅡ(2
?a
2
i?1
)?lim(1?)(1?
2
)(1?
4)?…?(1?
2
n?1
)
n??
i?1
n
??
333
3
11111
(1?)(1?)(1?
2
)(1
?
4
)?…?(1?
n?1
)
2
3333
3
?lim
n??
1<
br>1?
3
1
1?
n
2
3
3
?lim?
n??
2
2
3
n
1111<
br>②
?
Ⅱa
i
?1?
?
(1?
1
)(
1?
2
)(1?
3
)…(1?
n
)?1
恒成立 <
br>i?1
3333
下面证明
(1?)(1?
3
11
3<
br>)(1?
2
1
3
)…(1-
3
1
3
n
n
)?1?
?
k?1
1
3
k
(i)当
n?1
时,
1?
1
3
?1?
1
3
,
不等式成立;
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当
n?2
时,左边?(1?)(1?
3
11
3
)?
2
1
3
16
27
,
右边
?1?(
1
3
1
3k
?
1
3
)?
2
5
9
1
3<
br>?
15
27
1
,
左边>右边,不等式成立. (ii)假设当
n?k
时,
(1?)(1?
3
1
)(1
?
2
1
3
)…(1?
3
)?1?(?
3
2
?…?
1
3
k
)
成立.
则当
n?k?1
时,
(1?
1
3
)(1?
1
3
1
)(1?
2
1
3
)…(1?
3<
br>1
3
k
)(1?
1
3
k?1
)
<
br>?[1?(
?
1
2
?
1
3
?
13
2
?…?
?
3
1
3
k
]?(1?<
br>?
1
3
)?(
k?1
1
1
2
??
1
2
1
2?3
?
k
)(1?
11
3
k?1
)
2?3
k?1
2?3
k?1
2?3?3
kk?1
2?3
k?1
333
?
当
n?k?1
时,不等式也成立.
又
1
?(?
11
2
?…?
1
1?
1
3
2
1
k?1
)?1?
k?1
1
?
1
2
1<
br>3
?
1
2?3
k?1
综上(i)、(ii)可知,(
(1?)(1?
33
)(1?
2
) …
3
?
1
3
n
?
n
??
?
k?1
1
3
k
成立.
对一切正整数
n
,不等式
?
a
1
?a
2
?a
3
?…?a
n
?1(
??N)
恒成立
n
?1?
?
k?1
1
3
n
k
?
1
?
1
k
恒成立
1
2
?
11
n
1
()]?,
2
32
而lim(1?
n??
n
?
k?1
3
?
1
2
)?lim[
n??
?1?
?
k?1
13
k
故只需
1
2
?
?
1
?
,?
?
?2
而
?
?N,?
?
的最小值为2.