(2011成都一诊理)

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成都市
2011届高中毕业班第一次诊断性检测
数学（理）试题
本试卷分第工卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，笫I卷1至2页，第Ⅱ卷3
至4页。考试 结束时，监考人将第I卷 的机读卡及第II卷的答题卡一并收回。全卷满分为
150分。考试时间120分钟。
第I卷
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在机读卡上。
2．每小题选出 答案后，用铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案，不 能答在试卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是
符合题目要求的。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么
P（A．B）=P（A）P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验 中恰好发生k次的概
kkn?k
率
P(k?0,1,2,......,n)

n
(k)?C
n
p(1?p)


球的表面积公式：S=
4
?
R
，其中R表示球的半径
球的体积公式：V=
4
?
R
3
其中R表示球的半径
3
，
2
一、选择题：
1．设集合
A?x(x?1)x?0,B?xx?0
，则
A?B?

A． [0,+?） B．（0,+?） C．R

????
（ ）
D．?
（ ） 2．已知i为虚数单位，则复数
2i
等于
1?i
A．?1+i B．1?i C．?2+2i D．1+i

3．若等比数列{a
n
}满足a
1
=8,a
2
a
3
=?8，则a
4
=
A． ?2 B．1 C．?1 D．2
4．在空间中，下列命题正确的是
A．如果一个角的两边和另一角的两边分别平行,那么这两个角相等
（ ）
（ ）
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B．两条异面直线所成的有的范围是[0,
?
]
2
C．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行
D．如果一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行
5．已知a=（2,?1），b=（1,?），若|a+b|>|a?b|，则实数?的取值是


A．（2,+?）
C．（?
B．（??,?
11
）?（?,2）
22
（ ）

122
,）?（,+?）
233
D．（??,2）

C．10

D．15
（ ）

（ ） 6．
(1?

1
6
1
)
的展开式中
2
的系数为
x
x
B．6 A．1
?
x?1(x?0)
7．“函数f（x）=
?
2
在点x=0处连续”是“a=1”的
2
?
x?a(x?0)


A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
??
）+cosxsin（x?）的图象
44
8．函数f（x）=sinxcox（x?


A．关于原点对称
C．关于点（?
（ ）
B．关于y轴对称
3
D．关于直线x=?对称
8
?
,0）对称
8
9．设a是从集合{1，2，3，4}中 随机取出的一个数，b是从集合{1，2，3}中随机取出的一
个数，构成一个基本事件（a,b）。记 “这些基本事件中，满足
log
b
a
?1”为事件E，则
E发生的概 率是
A．
1

2

B．
5

12

1
C．
3

D．
1

4
（ ）
10．已知长方体ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点都在以O为球心的 球面上，若AB=1，BC=
2
，
AA
1
=1，则A、B两点在该球 面上的球面距离为
A．
?

3

7

9
（ ）
1

9
B．
2
?
3
C．2arcD．2arccos

11．某教师要把语文、数学、外语、 历史四个学科排到如下的课表中，如果相同科目既不同
行也不同列，星期一的课表已经确定如下表，则其 余三天的课表的不同排法种数有
（ ）

日期
星期一
星期二
星期三
星期四
A．96
节次
第一节
语文



B．36
第二节
数学



第三节
外语



C．24 D．12
第四节
历史



12．已知R上的连续函数g（x）满足：①当x>0时，
g'(x)
>0 恒成立（
g'(x)
为函数g（x）
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的导函数）；②对任意x?R都有g（x）=g（?x）。又函数f（x ）满足：对任意的x?R
都有f（
3
+x）=?f（x）成立，当x?[?
3
,
3
]时，f（x）=
x?3x
。若关于x的不
等式g[f （x）]?g（
a?a?2
）对x?[?
（ ）
Aa?1或a?0
C．?
1
3
?
2
4
3
?a? ?
2
3
33
?2
3
,?2
3
]恒成立，则a的取值范 围是
22




1
3
+
2
4
3


B．0?a??
D．a?R

第II卷
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第II卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有?的地方,是需要你在第II卷答题卡上作答的内容或问题。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡上。
13．已知函数f（x）由下表定义：
x
f（x）

-2
0
2
1
1
3
3
4
4
5
记f（x）的反函数为
f
?1
(x)
，则
f< br>?1
(4)
= ?
14．已知?是第四象限的角，且cos2?=
7
，则cos?= ? 25
15．安装在某个公共轴上的5个皮带轮的直径均为整数（单位：cm），它们的直径总和为5 5cm，
已知最大的皮带轮的直径为15cm，把这5个皮带轮的直径由大到小排列后，从第二项
起，每一项与前一项的差等于同一个常数，则其中最小的皮带轮的直径为 ? cm

????????????????????????????????
16．已知非零向量
OA
、
OB
、
OC
、
OD
满足：
OA=?
OB
+?
OC
+?
OD
（?，?，??R），B、C、D为不共线三点，给出下列命题：


①若?=
31
，?=，????，则A、B、C、D四点在同一平面上；
2 2
6
????????????????????????
5
②当?>0，? ??，??
2
时
，若?
OA
|=
3
，?
O B
|=|
OC
|=|
OD
|=1，<
OB
,
OC
>=?，
????????????????
?
<
OD
,
OB
>=<
OD
,
OC
>=，则?+?的最大值为6
?
2
；
2
③已知正项等差数列{a
n
} （n?
N
?，若??a
2
，?=a
2009
，???，且A 、B、C三点共线，但
O点不在直线BC上，则
*
14
?
的最小值为 9；
a
3
a
2008

????
?
④若 ?+?=???????，???，则A、B、C三点共线且A分
BC
所成的比?一定为
?
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其中你认为正确的所有命题的序号是 ?
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）



已知?ABC中，内角A、B 、C所对边的长分别为a、b、c，tan（B+
（I）求角B的大小；
?
）=?
3
。
3
????????
（II）若< br>BA?BC
=4，a=2c，求b的值。













18．（本题满分12分）
把正方形ABCD沿其对角线AC折成二面角D?AC?B后， 连结BD，得到如图所示的
几何体，已知点O、E、F分别为线段AC、AD、BC的中点。
（I）求证：AB平面EOF；
（II）求二面角E?OF?B的大小。











19．（本小题满分12分）
第十一届西博会于2010年10月22日至26日在蓉举行 ，本届西博会以“绿色改变生活，
技术引领发展”为主题。如此重要的国际盛会，自然少不了志愿者这支 重要力量，“志愿者，
西博会最亮丽的风景线”，通过他们的努力和付出，已把志愿者服务精神的种子播 撒到人们
心中。某大学对参加了本次西博会的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0．5
个学 分；考核为优秀，授予1个学分。假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为
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422
、、，他们考核所得的等次相互独立。
533


（I）求在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；
（II）记 这这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量?，求随机变量?
的分布列和数学期望E? 。










20．（本小题12分）
定义已知函数f（x）在[m,n]（m在[m,n]（m











21．（本小题12分）设数列{a
n
}的首项为a
1
=1,前n项和为S
n
，且na
n
?S
n
=
2n(n?1),n?N
。







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*
（I）判断函数f（x）=
x?2x?2
在[1，2]上是否具有“DK”性质？说明理由；
（II）若f（x）=
x?ax?2
在[a,a+1]上具有“DK”性质，求a的取 值范围。
2
2
（I）求a
2
的值及数列{a
n
} 的通项公式a
n
；
2
2
3
3
4
2
n
2
（II）若数列{b
n
}满足：4b
n
=S
n
+n?1+
(?1)
，当n?2，记E
n
=
???... ?
。
b
2
b
3
b
4
b
n
n
①计算E
9
的值；
②求
lim(2n?E
n
)
的值。
x??

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22．（本小题14分）



设函数f（x）=
1
2
x?ax?2lnx ,a?R
，已知f（x）在x=1处有极值。
2
（I）求实数a的值；
（ II）当x?[
1
(e?x)(e?x?6)?4
?x
4
； ,e]（其中e是自然对数的底数）时，证明：
e
e
*

2
n
1
3
5
2
31
?n?n?n
恒成立。 （III ）证明：对任意的n>1，n?
N
，不等式
ln
n!12824
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