初高中知识衔接—数与式的教学案例

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初高中知识衔接
《数与式的运算》教学案例
一、相关背景介绍
本课选自高中课程标准实验教科书《数学》（必修一）（苏教版）指数函数是高中新引进
的第 一个基本初等函数，因此，先让学生了解指数函数的实际背景，然后对指数函数概念的
建立，函数图象的 绘制及基本性质作初步的介绍。课标要求理解指数函数的概念和意义，能
借助计算机画出具体指数函数的 图象，初步探索并理解指数函数有关的性质。
本节课属于新授课，通过引导，组织和探索，让学生在学 习的过程中体会研究具体指数
函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的的方法等， 使学生能更深刻
理会指数函数的意义和基本性质。
二、本节课教学目标
1.知识与技能: (1)掌握指数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为指数函
数. (2)能根据指数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出指数函数的性质.(3)能根据
单调性解 决基本的比较大小的问题.
2.过程与方法：引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数概念，并向 学生指出指数
函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己
作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，
并 通过观察图象，总结出指数函数当底分别是
0?a?1
，
a?1
的性质。 < br>3.情感、态度、价值观：使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学
态度，积 极参与和勇于探索的精神.
4.重难点：(1)指数函数的定义、图象、性质(2)指数函数的描绘及性质
三、课堂教学实录

1.问题情景
问题1.某种细胞分裂时,由1个分 裂成2个,2个分裂成4个,…,一个这样的细胞分裂
x
次以后,得到的细胞个数
y< br>与
x
有怎样的关系.
问题2.有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长的一半, 第二次再剪去剩余绳子的一半,…,
剪去
x
次后绳子剩余的长度为
y
米,试写出
y
与
x
之间的关系.

2.学生活动

1.思考问题1,2给出
y
与
x
的函数关系?
?
1
?
2
2.观察得到的函数
y?2
,
y?
??
与函数
y?x
的区别.
?
2
?
x
x
?
1
?
xx
3.观察函数
y?2
,
y?
??
与
y?a
的相同特点.
?
2
?

3.建构数学（用投影仪，把两个例子展示到黑板上）

[师]:通过问题1,2的 分析同学们得出
y
与
x
之间有怎样的关系?
[生1]:分裂一次得 到2个细胞,分裂两次得到
4
(
?2
)个细胞,分裂三次得到
8(
?2
),

23
x

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所以分裂
x
次以后得到的细胞为
2
x
个,即
y
与
x
之间为
y
?2
x
.
[生2]:第一次剩下绳子的,第二次剩下绳子的
1
2
1
11
(
?
2
),第三次剩下绳子的
8
42
x< br>1
1
?
1
?
(
?
3
),那么剪了< br>x
次以后剩下的绳长为
x
米,所以绳长
y
与
x
之间的关系为
y?
??
.
2
2
?
2
?
（学生说完后在屏幕上展示这两个式子）
[师]:这两个关系式能否都构成函数呢?
[生]:每一个
x
都有唯一的< br>y
与之对应,因此按照函数的定义这两个关系都可以构成函
数.
[师]:（接 着把
y?x
打出来）既然这两个都是函数,那么同学们观察我们得到的这两
2
?
1
?
2
x
个函数
y
?2
,
y?
??
在形式上与函数
y?x
有什么区别.(引导学生从自变量的位置观
?
2
?
察).
[生]:前两个函数的自变量都在指数的位置上,而
y?x
的自变量在底上.
2
x
?
1
?
x
x
[师]:那么再观察一下
y
?2
,
y?
??
与函数
y?a
有什么相同点?
?
2
?
[生]:他们的自变量都在指数的位置,而且他们的底都是常数. < br>[师]:由此我们可以抽象出一个数学模型
y?a
就是我们今天要讲的指数函数.（在屏
幕上给出定义）
定义:一般地,函数

y?a
(
a?0,a?1
)
叫做指数函数,它的定义域是
R
.

概念解析1:
[师 ]:同学们思考一下为什么
y?a
中规定
a?0,a?1
?(引导学生从定义 域为
R
的角
度考虑).（先把
a?0
，
a?0
，< br>a?1
显示出来，学生每分析一个就显示出一个结果）
[生]:⑴若
a?0
,则当
x?0
时,
a?0
没有意义.
⑵若
a?0
,则当
x
取分母为偶数的分数时,没有意义 .例如:
(?2)??2
.
⑶若
a?1
,则
a?1
,这时函数就为一个常数1没有研究的价值了.
所以,我们规定指数函数的底
a?0,a?1
.
[师]:很好,请坐.我们既然知道了底的取值范围,那么看这样一个问题:

x< br>x0
x
x
x
x
1
2

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问题１．已知函数
y?(3a?2)
为指数函数，求
a
的取值范围．（屏幕上给出问题）
[生]:由于
3a?2
作为指数函数的底因此必须满足：
x
2?
?
3a?2?0
?
a?
2
??
?
?
3
即
?
a|a?且a?0
?

?
3
??
?
3a?2?1
?
a?0
?
概念解析２: < br>[师]:我们知道形如
y?a
（
a?0,a?1
）的函数称为指数函数 ．通过观察我们发现：
⑴
a
前没有系数，或者说系数为１．既
1?a
；
⑵指数上只有唯一的自变量
x
；
⑶底是一个常数且必须满足：
a?0,a?1
．
那么，根据分析同学们判断下列表达式是否为指数函数？（在屏幕上给出问题２）
问题2．⑴
y?(0.2)
，⑵
y?(?2)
，⑶
y?e
，⑷
y?()

⑸
y?1
，⑹
y?2?3
，⑺
y?3< br>，⑻
y?2
xx?x
x
2
?x
x
xx
x
x
x
1
3
x

[生１]:（答）⑴⑶⑷为指数函数．⑵⑸⑹⑺⑻不是．
[生２]: 我不同意，⑺应该是指 数函数，因为
y?3
?x
?
1
?
?
??
．
?
3
?
x
[师]:很好，我们发现有些函数表面上不是指数函数，其 实经过化简以后就变成了指数
函数．所以不要仅从表面上观察，要抓住事物的本质．

[师]:上面我们分析了指数函数的定义，那么下面我们就根据解析式来研究它的图象和
性质．
根据解析式我们要作出函数图象一般有哪几个步骤？
[生]:（共同回答）列表，描点，连线．
?
1
??
1
?
x
x
[师]：好，下面我请两个同学到黑板上分别作出
y?2
，y?
??
和
y?3
，
y?
??
?
2< br>??
3
?
xx
xx
的函数图象．（等学生作好图并点评完以后 ，再把这四个图用几何画板在屏幕上展示出来）
?
1
??
1
?x
[师]:那么我们下面就作出函数：
y?2
，
y?
??
，
y?3
，
y?
??
的图象
?
2
??
3
?
x

x

-３
?2

?1

０ １ ２ ３
2
x

18
1412
１ ２ ４ ８
2
?x

８ ４ ２ １
1214
18

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3
x

12719
13
１ ３ ９
27

3
?x

27

９ ３ １
13
19127

[师]:通过这四个指数函数的图象，你能观察出指数函数 具有哪些性质？（先把表格在
屏幕上打出来，中间要填的地方先空起来，根据学生的分析一步步展示出来 ）
[生１]:函数的定义域都是一切实数
R
，而且函数的图象都位于
x轴上方．
[师]:函数的图象都位于
x
轴上方与
x
有没有交点 ？随着自变量
x
的取值函数值的图象
与
x
轴是什么关系？
[生１]:没有．随着自变量
x
的取值函数的图象与
x
轴无限靠近．
[师]:即函数的值域是：
(0,??)
．那么还有没有别的性质？
?1
??
1
?
x
x
[生２]:函数
y?
??
、
y?
??
是减函数，函数
y?2
、
y?3< br>是减函数．
?
2
??
3
?
[师]:同学们觉的他这 种说法有没有问题啊？（有）函数的单调性是在某个区间上的，因此
有说明是在哪个范围内．又
0?
xx
11
,?1
，
1?2,3
那么上述的结论可以归纳 为：
23
xx
[生２]:当
0?a?1
时，函数
y?a< br>在
R
上是减函数，当
a?1
时，函数
y?a
在
R
上
是增函数．
[师]:很好，请做！（提问［生３］）你观察我们在作图时的取值，能发现什么性质？
[生 ３]:当自变量取值为０时，所对的函数值为１．一般地指数函数
y?a
当自变量
x< br>取０时，函数值恒等于１．
[师]:也就是说指数函数恒过点
(0,1)
，和 底
a
的取值没有关系．那么你能否结合函数的
单调性观察函数值和自变量
x< br>之间有什么关系？
[生3]:由图象可以发现：
当
0?a?1
时， 若
x?0
，则
0?f(x)?1
；若
x?0
，则
1 ?f(x)
.
当
a?1
时，若
x?0
，则
f(x )?1
；若
x?0
，则
0?f(x)?1
.
[师]:刚才 是我们通过每个函数的图象得到共同的性质,那么同学们在观察函数图象之
间有没有什么联系?
x
?
1
??
1
?
x
[生4]: 函数y?2
与
y?
??
的图象关于
y
轴对称,函数
y?3
与
y?
??
的图象
?
2
??
3?
x
xx
关于
y
轴对称,所以是偶函数.(? ? ? ?)
[师]:前面的结论是正确的,同学们说后面那句话对吗?
[生]:(共同回答)不对,因为函数的奇偶性是对一个函数的,所以没有这个性质.
[师]:由此我们得到一般的结论, 函数
y?a
与
y?a
的图象关于
y
轴对称.
[师]:很好,那么我们把同学们刚才归纳的指数函数的性质综合起来,放到一张表格内.

x?x

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图
象


定义
域
值域
定点
性
单调
质
性
取值
情况
对称
性
0?a?1

a?1



R

R

?
0,??
?

?
0,1
?

在
?
??,??
?
上是减函数
若
x?0
，则
0?f(x)?1

若
x?0
，则
1?f(x)

x?x
?
0,??
?

?
0,1
?

在
?
??,??
?
上是增函数
若
x?0
，则
f(x)?1

若
x?0
，则
0?f(x)?1

函数
y?a
与
y?a
的图象关于
y
轴对称

巩固与练习

１根据指数函数的性质，利用不等号填空．（在屏幕上给出练习，让学生口答）
?10
⑴
?
45
?

0
，⑵
5

0
，⑶
7

0
，⑷
?
249
?

0
，
?12
3
⑸
?
23
?

1
，⑹
?
79
?

1
，⑺
10

1
，⑻
6

1
．
2?4
3
?4

注：这部分知识主要考察了指数函数的值域和对性质：当
0?a?1
时，①若
x?0
，则
0?f(x)?1
②若
x?0
，则
1?f(x )
；当
a?1
时①若
x?0
，则
f(x)?1
< br>②若
x?0
，则
0?f(x)?1
的应用．这个知识点是比较重要的部 分在后面的比较大小中常
常用到，所以在这个地方给出这样的一个巩固练习还是很有必要的．

4.数学运用

例1.比较大小
⑴
1.5,1.5
⑵
0.5
2.53.2
?1.2
,0.5
?1.5
⑶
1.5
0.3
,0.8
1.2

分析：［师］：前面我们讲了指数函数，好象和这个比大小没有关系．这几个也不是函数那怎

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么比较大小呢？先不考虑这个上面讲的性质哪个可以和大小联系起来呢？
［生］：单调性和大 小有关，我们可以借助于指数函数的单调性老考虑，要比较大小的两个
数可以看成指数函数
f( x)?1.5
当
x
取
2.5,3.2
时对应的函数值，再根据
f(x)?1.5
在
xx
?
??,??
?
是单调增的就可 以比较大小了．即：
解: ⑴考虑指数函数
f(x)?1.5
.因为
x
1.5?1

所以
f(x)?1.5
在
R
上是增函数.因为
x
2.5?3.2

所以
1.5
2.5
?1.5
3.2


［师］：很好， 充分运用了指数函数的性质．下面的两个小题请两个同学上来板书．也是利
用指数函数的性质．
⑵考虑指数函数
f(x)?0.5
.因为
x
0?0.5?1

所以
f(x)?1.5
在
R
上是减函数.因为
x
?1.2??1.5

所以
0.5
?1.2
?0.5
?1.5

⑶由指数函数的性质知
1.5
0.3
?1.5
0
?1
，而
0.8
1.2
?0.8
0
?1

所以
1.5
0.3
?0.8
1.2

［师］：第⑵小题和⑴一样 直接借助单调性即可解题，第⑶小题在考虑是就发现单调性不能
直接应用，两个底不一样．但是借助一个 中间变量１就可以把问题解决了．
例2．⑴已知
3?3
，求实数
x
的取值范围；
⑵已知
0.2?25
，求实数
x
的取值范围．
解：⑴因为
3?1
，
所以指数函数
f(x)?3
在
R
上是增函数．
x
x0.5
x

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由
3?3
，可得
x?0.5
，即
x
的取值范围为
?
0.5,??
?

x0.5
⑵因为
0?0.2?1

所以指数函数
f(x)?0.2
在
R
上是减函数，因为
x
?
1
?
25?
??
?0.2
?2

?
5
?
所以
?2
0.2
x
?0.2
?2

由此可得
x ??2
，即
x
的取值范围为
?
?2,??
?
．
五.回顾小结

y?a
x
（
a?0,a?1
），
x?R
）．要能根据概念判断一个函数是否为指数函数．
２．指数函数的性质（定义域、值域、定点、单调性）．
３．利用函数图象研究函数的性质是 一种直观而形象的方法，因此记忆指数函数性质时
可以联想它的图象．
教学反思：
本节课较好地体现了以教师为主导，学生为主体，以知识为载体和以培养学生的思维能
力，特别是研究问 题能力为重点的教学思想。教学情景的设置，让学生体验到指数函数的价
值，和我们平时的生活是夕夕相 关的生活中处处能遇到指数函数,激发他们的学习兴趣和学
习热情。
本堂课的学习任务， 都是以问题的形式出现，这有利于培养学生提出问题的意识和能力，
让学生体会研究数学的方法，有利于 学生自主构建知识结构。问题的完满解决，增加学生的
自信心，增强他们学习数学的兴趣。合作讨论探究 到最后解决问题，还培养了学生的互助精
神！
本堂课还运用了多媒体教学，教师成了整合 信息技术和学科教学的探索者，信息技术的
应用加大了师生，生生间信息交流，在平等的对话和共同参与 的教学活动中，共同体验了数
学的美。