2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习课时分层提升练 六十一 坐 标 系

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课时分层提升练 六十一
坐 标 系
(20分钟 40分)
1.(10分)(2020·成都八校 联考)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方
程是
极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程.
(2)设l
1
:θ=,l
2
:θ=,若l
1
,l
2
与曲线C分别交于异于原点的A,B两点,
求△AOB的面积.
【解析】(1)将曲线C的参数方程化为普通方程为(x-3)
2
+(y-4)
2
=25,
即x
2
+y
2
-6x -8y=0.所以曲线C的极坐标方程为ρ=6cos θ+8sin θ.
(2)设A,B.
,
(α为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为
把θ=代入ρ=6cos θ+8sin θ,得ρ
1
=4+3
所以A.
把θ=代入ρ=6cos θ+8sin θ,
得ρ
2
=3+4,
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所以B.
所以S
△AOB
=ρ
1
ρ
2
sin∠AOB
=(4+3
=12+
)(3+4
.
)sin
2.(10 分)在直角坐标系xOy中,半圆C的直角坐标方程为(x-1)
2
+y
2
= 1(0
≤y≤1).以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C的极坐标方程.
(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ+cos θ)=5,射线OM:θ=与
半圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以半圆C的极坐标方程是
ρ=
2cos θ,θ∈.
(2)设(ρ
1
,θ
1
)为点P的极坐标,
则有解得
设(ρ
2
,θ
2
)为点Q的极坐标,
则有解得
由于θ
1
=θ
2
,所以|PQ|=|ρ
1
-ρ
2< br>|=4,所以线段PQ的长为4.
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3.(10分)(2020·贵阳模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C
1
的参数
方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正
半轴为极轴的 极坐标系中,曲线C
2
:ρ=4cos θ.
(1)说明C
1
是哪一种曲线,并将C
1
的方程化为极坐标方程;
(2)直线C
3
的极坐标方程为θ=α
0
,其中α
0
满足tan α
0
=2,若曲线C
1
与C
2
的公共点都在 C
3
上,求a.
【解析】(1)消去参数t得到C
1
的普通方程为 x
2
+(y-1)
2
=a
2
,
则C
1
是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.
将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C
1
的普通方程中,
得到C
1
的极坐标方程为ρ
2
-2ρsin θ+1-a
2
=0.
(2)曲线C
1
,C
2
的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0,由方程组得16cos
2
θ-8sin θcos θ+1-a
2
=0,
由已知tan θ=2,可得16cos
2
θ-8sin θcos θ=0,
从而1-a
2
=0,解得a=-1(舍去)或a=1.
当a=1时,极点为 C
1
,C
2
的公共点,且在C
3
上.
所以a=1.
4.(10分)在平面直角坐标系中,直线l过点P(2,)且倾斜角为α,以
坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标
方程为ρ=4cos ,直线l与曲线C相交于A,B两点,
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(1)求曲线C的直角坐标方程.
(2)若|AB|=,求直线l的倾斜角α的值.
,

sin θ),
ρsin θ),
y,
)
2
=4.
,所以α=90°舍去;
【解析】(1)因为ρ=4cos
所以ρ=4
=2(cos θ+
所以ρ
2
=2(ρcos θ+
所以x
2
+y
2
=2x+2
所以曲线C的直角坐标方程为(x-1)
2
+(y-
( 2)当α=90°时,直线l:x=2,所以|AB|=2
当α≠90°时,设tan α=k,
则l:y-=k(x-2),即kx-y-2k+=0,
≠
所以圆心(1,
由d
2
+
所以tan α=±
所以α=或

.
)到直线kx-y-2k+
=4得:
=0的距离d=
,
=,
+=4,解得:k=±
,因为α∈(0,π),
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