2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习课时分层提升练 二十七 平面向量的数量积及应用举例

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课时分层提升练 二十七
平面向量的数量积及应用举例
……………………25分钟 50分
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.已知a与b的夹角为,a=(1,1),|b|=1,则b在a方向上的投影为
( )
A. B. C. D.
【解析】选C.根据题意,a与b的夹角为,且|b|=1,
则b在a方向上的投影|b|cos =.
2.(2019·昆明模拟)已知平面向量a=( 1,x),b=(-2,1),若a⊥b,则
|a+b|=( )
A. B.3 C. D.10
【解析】选C.a⊥b,所以a·b=-2+x=0,所以x=2,
所 以a=(1,2),所以a+b=(-1,3),所以|a+b|=
3.△ABC的外接圆的圆心为O, 半径为1,2
则向量在向量
=
.
+,且||=||,
方向上的投影为 ( )
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A. B.- C.- D.
【解析】选D.依题意知,圆心 O为BC的中点,即BC是△ABC的外接圆
的直径,AC⊥AB.又AO=OB=AB=1,因此∠A BC=60°,∠
ACB=30°,||=,在方向上的投影为||cos 30°=×=.
·4.在如图所示的矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为线段BC上的点,则
的最小值为 ( )

A.12 B.15 C.17 D.16
【解析】选B.以B 为坐标原点,BC所在直线为x轴,BA所在直线为y
轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,4),D(2,4),设E(x,0)(0≤x≤2),所以
·=(x,-4)·(x-2, -4)=x
2
-2x+16=(x-1)
2
+15,于是当x=1, 即E为BC的
·取得最小值15. 中点时,

5.已知平面向量a,b满足|a|= 3,|b|=2,a与b的夹角为120°,若(a+mb)
⊥a,则实数m的值为 ( )
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A.1 B. C.2 D.3
【解析】选D.因为|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,
所以a·b=|a||b|cos 120°=3×2×
因为(a+mb)⊥a,
所 以(a+mb)·a=a
2
+ma·b=3
2
-3m=0,解得m=3. < br>6.已知向量
且·
与的夹角为120°,||=5,||=2,若=λ+,
=- 3.
=-6,则实数λ的值为 ( )
A.- B. C.- D.
【解析】选B.因为<
所以
=-λ
·=(λ+
||
,
)· (
>=120°,|
-)

|=5,||=2,=λ+,
+(λ-1)||cos 120°+
=-25λ-5(λ-1)+4=-6,解得λ=. < br>7.已知向量|
且⊥
|=3,||=2,=m+n,若与的夹角为60°,
,则 实数的值为 ( )
A. B. C.6 D.4
【解析】选A.因为向量|
60°,
所以
所以
·
·
=3×2×cos 60°=3,
=(-)·(m+n)
|=3,||=2,=m+n,与的夹角为
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=(m-n)·-m||
2
+n||
2

=3(m-n)-9m+4n=-6m+n=0,
所以=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.(2019·北京高考)已知向量a=(-4,3 ),b=(6,m),且a⊥b,则
m=________.
【解析】因为a⊥b,所以a·b=-4×6+3m=0,
所以m=8.
答案:8
9.向量a=(3,4)在向量b=(1,-1)方向上的投影为________.
【解析】因为a=(3,4),b=(1,-1),
所以向量a在向量b方向上的投影为|a|cos θ
=|a|× ==-.
答案:-
10.如图,在等腰三角形ABC中,已知|AB|=|AC|=1,∠A=π,E ,F分别是
边AB,AC上的点,且=λ,=μ,其中λ,μ∈(0,1),且
|的最小值为λ +4μ=1.若线段EF,BC的中点分别为M,N,则|
__________..

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【解析】连接AM,AN,
=(
=(
=(1-λ)
|
+
+
)=(λ
),=
,
+μ
-
·=|
),

|||cos=-,
+( 1-μ)
|
2
=[(1-λ)
2
-(1-λ)(1-μ)+(1-μ )
2
]
=(1-λ)
2
-(1-λ)(1-μ)+(1-μ)
2
,
由λ+4μ=1?1-λ=4μ,可得|
所以当μ=时,|
所以|
答案:
……………………15分钟 30分
1.(5分)已知|a|=2|b|≠0,且关于x的函 数f(x)=x
3
+|a|x
2
+a·bx在
R上有极值,则向量a 与b的夹角的范围是 ( )
A.
C.
B.
D.


|
2
=μ
2
-μ+,因为λ,μ∈(0,1),
|
2
取最小值,
. |的最小值为
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【解析】选C.设a与b的夹角为θ.
因为f(x)=x
3
+|a|x
2
+a·bx.
所以f′(x)=x
2
+|a|x+a·b.
因为函数f(x)在R上有极值,
所以方程x
2
+|a|x+a·b=0有两个不同的实数根,
即Δ=|a|
2
-4a·b>0,所以a·b<
又因为|a|=2|b|≠0,

所以cos θ= =,即cos θ<,
.
,AD=5,
又因为θ∈[0,π],所以θ∈
2.(5分)(2019 ·天津高考)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2
∠A=30°,点E在线段CB的延长线上, 且AE=BE,则·=________.
【解题指南】可利用向量的线性运算,也可以建立坐标系利用向量的坐
标运算求解即可.
【解析】如图,过点B作AE的平行线交AD于F,
因为AD∥BC,所以四边形AEBF为平行四边形,
因为AE=BE,故四边形AEBF为菱形.
因为∠BAD=30°,AB=2
所以AF=2,即=.
,
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因为
所以
=
·
=
=(
-
-
=
)·
-,
=·--=×2×5×
-12-10=-1.

答案:-1
【一题多解】解答本题还可以用如下方法解决:
建立如图所 示的平面直角坐标系,则B(2
因为AD∥BC,∠BAD=30°,所以∠ABE=30°,
因为AE=BE,所以∠BAE=30°,
所以直线BE的斜率为
直线AE的斜率为-
,其方程为y=
x.
(x-2),
,0),D.
,其方程为y=-
由得x=,y=-1,
所以E(
所以·
,-1).
=·(,-1)=-1.
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答案:-1
3.(5分)(2019·全国卷Ⅲ)已知a,b 为单位向量,且a·b=0,若c=2a-
则cos=________.
【解析】因为c
2
=(2a-
所以|c|=3,
因为a·c=a·(2a-
所以cos=

答案:
4. (5分)(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x
上在第一象限内的 点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点
D.若·=0,则点A的横坐标为____ ____.
b)=2a
2
-
=
a·b=2,
=.
b)
2
=4a
2
+5b
2
-4a·b=9,
b,

【解析】因为AB为直径,所以AD⊥BD,所以BD即B到直线
l< br>的距
离,BD==2.
因为CD=AC=BC=r,又CD⊥AB,
所以AB=2BC=2,
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设A(a,2a),
AB=
答案:3
5.(10分)已知向量m=
(1)若f(x)=1,求cos
,n=
的值.
,记f(x)=m·n.
=2?a=-1或3(a=-1舍去).
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2a-c)cos B=bcos
C,求f(2A)的取值范围.
【解析】(1)因为m=
所以f(x)=sin+=sin
=,
=.
,n=
+.
,
因为f(x)=1,所以sin
所以cos=1- 2sin
2
(2)由题意知2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C,
所以2sin Acos B=sin Ccos B+sin Bcos C,
即2sin Acos B=sin A.
因为sin A≠0,所以cos B=.
又因为B为三角形的内角,
所以B=,所以A∈.
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因为f(2A)=sin
所以sin∈
+,A+∈
,所以 f(2A)∈
.
,
.
故f(2A)的取值范围为

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