2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习课时分层提升练 六十四 证明不等式的基本方法

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课时分层提升练 六十四
证明不等式的基本方法
(20分钟 40分)
1.(10分)已知函数f(x)=|x|+|x-3|.
(1)解关于x的不等式f(x)-5≥x.
(2)设m,n∈{y|y=f(x)},试比较mn+4与2(m+n)的大小.
【解析】(1)f(x)=|x|+|x-3|
= f(x)-5≥x,即
或或
解得x≤-或x∈?或x≥8,
所以不等式的解集为∪[8,+∞).
(2)由(1)易知f(x)≥3,所以m≥3,n≥3.
由于2(m+n)-(mn+4)=2m-mn+2n-4
=(m-2)(2-n)
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且m≥3,n≥3,
所以m-2>0,2-n<0,
即(m-2)(2-n)<0,
所以2(m+n)2.(10分)(1)求不等式|x-5|-|2x+3|≥1的解集.
(2)若正实数a,b满足a+b=,求证:+≤1.
【解析】(1)当x≤-时,-x+5+2x+3≥1,
解得x≥-7,所以-7≤x≤-;
当-解得x≤,所以-当x≥5时,x-5-(2x+3)≥1,
解得x≤-9,舍去.
综上,-7≤x≤.
故原不等式的解集为
(2)要证
即证2
+≤1 ,只需证a+b+2
≤.
≤成立.
.
≤1,
≤,即证
,所以而a+b=≥2
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所以原不等式成立.
3.(10分)设函数f(x)=
(1)证明:f(x)≥2.
(2)若f(3)<5,求a的取值范围.
【解析】(1)由a>0,有f(x)=
≥
所以f(x)≥2.
(2)f(3)=+|3-a|.
=+a≥2,
+|x-a|
+|x-a|(a>0).
当a>3时,f(3)=a+,
由f(3)<5得3当0由f(3)<5得.
.
综上,a的取值范围是
4. (10分)已知函数f(x)=|x-1|+|x-5|,g(x)=
(1)求f(x)的最小值. < br>(2)记f(x)的最小值为m,已知实数a,b满足a
2
+b
2
=6 ,求证:g(a)+g(b)
≤m.
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【解析】(1)因为f(x)=|x-1|+|x-5|,
所以f(x)=
所以f(x)
min
=4.
(2)由(1)知m=4.
由柯西不等式得
[1×g(a)+1×g(b)]2
≤(1
2
+1
2
)[g
2
(a)+g
2
(b)],
即[g(a)+g(b)]
2
≤2(a
2
+b
2
+2),
又g(x)=>0,a
2
+b
2
=6,
时取等号). 所以g(a)+g(b)≤4(当且仅当a=b=
即g(a)+g(b)≤m.
【变式备选】
设函数f(x)=|x-2|+2x-3,记f(x)≤-1的解集为M.
(1)求M.
(2)当x∈M时,证明:x[f(x)]
2
-x
2
f(x)≤0.
【解析】(1)由已知,得f(x)=
当x≤2时,由f(x)=x-1≤-1,
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解得x≤0,此时x≤0;
当x>2时,由f(x)=3x-5≤-1,
解得x≤,显然不成立.
故f(x)≤-1的解集为M={x|x≤0}.
(2)当x∈M时,f(x)=x-1,
于是x[f(x)]
2
-x
2
f(x)=x(x-1)
2
-x
2
(x-1)
=-x
2
+x=-
令g(x)=-
+.
+,
则函数g(x)在(-∞,0]上是增函数,
所以g(x)≤g(0)=0.故x[f(x) ]
2
-x
2
f(x)≤0.

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