2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习考点集训：考点三 8.5.2 直线与椭圆的位置关系

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考点三 直线与椭圆的位置关系
【典例3】已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,点A,B分别为椭
圆E的左、右顶点,点C在椭圆E上,且△ABC面积的最大值为2
(1)求椭圆E的方程.
(2)设F为E的左焦点,点D在直线x=-4上,过F作DF的垂线交椭圆E
于M,N两点. 证明:直线OD平分线段MN.
.
【解析】(1)由题意得解得
故椭圆E的方程为+=1.
(2)设M(x
1
,y
1
), N(x
2
,y
2
),D(-4,n),线段MN的中点P(x
0,y
0
),则
2x
0
=x
1
+x
2,
2y
0
=y
1
+y
2
,
由(1)可得F(-1,0),
则直线DF的斜率为k
DF
==-,
当n=0时,直线MN的斜率不存在,
根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN.
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当n≠0时,直线MN的斜率k
MN
==.
因为点M,N在椭圆E上,所以
整理得:+=0,
又2x
0
=x
1
+x
2
,2y
0
=y
1
+y
2
,
所以=-,直线OP的斜率为k
OP
=-,
因为直线OD的斜率为k
OD
=-,
所以直线OD平分线段MN.

1.(1)“点差法”的4步骤
处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时,常用“点差法”,步骤
如下:
(2)联立直线与椭圆方程构成方程组,消掉y,得到Ax
2
+Bx+C=0的形式
(这里的系数A不为0),设其判别式为Δ:
①Δ>0?直线与椭圆相交;
②Δ=0?直线与椭圆相切;
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③Δ<0?直线与椭圆相离.
2.求解弦长的4种方法
(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)联立直线与圆锥曲线方程,解方程组求出两个交点坐标,代入两点
间的距离公式求解.
(3)联立直线与圆锥曲线方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,
利用根与系数的关 系得到(x
1
-x
2
)
2
,(y
1
-y< br>2
)
2
,代入两点间的距离公式.
(4)当弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.
3.弦长公式
(1)设斜率为 k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两
点,A(x
1
,y
1),B(x
2
,y
2
),则
|AB|=|x
1
-x
2
|=·
=·|y
1
-y
2
|
=·.
(2)焦点弦(过焦点的弦):焦点弦最短为,最长为2a.
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