高中数学排列组合那本书-高中数学不等式调整法
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【考点剖析】
1.命题方向预测：
1.从近五年的高考试题来看,该部分的试题是综合性的,题目中既有极
坐标的问题,又有参数方程的问题.考查的重点
有:极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化;
已知直线或曲线的参数方程或极坐标方程,求点的坐标、两点
间的距离、距离的范围或最值、求动点的轨
迹方程等.往往涉及直线与圆的位置关系、直线与圆锥曲线的位置关系.
2.从近五年的高考试题来看
,高考的重点有:绝对值不等式的求解;含绝对值不等式的参数范围问题;不等式的证明与
综合应用等.
高考的热点为绝对值不等式的求解.试题为中档难度,一般有两个设问,基本上都含有参数,经常以含绝
对值的函数表示不等关系，往往与分段函数、基本不等式相结合.
2.名师二级结论：
1.熟记几个特殊位置的直线和圆的极坐标方程:
(1)直线过极点:
?
?
?
;
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:
?
cos
?
?a
;
(3)直线过点
M(b,
?
2
)
且平行于极轴:
?
sin
?
?b
;
(4)圆心位于极点,半径为
r:
?
?r
;
(5)圆心位
于M(r,0),半径为
r:
?
?2rcos
?
;
(6)
圆心位于
M(r,
?
2
)
,半径为
r:
?
?2rsin
?
.
2.直线、圆、圆锥曲线的参数方程:
(1)过定点M(x
0
,y
0
),倾斜角为α的直线l的参数方程为
(t为参数);
(2)圆心在点M(x
0
,y
0
),半径为r的圆的参数方程为
(θ为参数);
(3)椭圆=1(a>b>0)的参数方程为(θ为参数);
(t为参数). (4)抛物线y
2
=2px(p>0)的参数方程为
3.根
据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：
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(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应
的参数分别为t
1
，t
2
，则弦长l＝|t
1
－t
2
|；
(2)定点M
0
是弦M
1
M
2
的
中点?t
1
＋t
2
＝0；
(3)设弦M
1
M2
中点为M，则点M对应的参数值
t
M
?
t
1
?t
2
(由此可求|M
2
M|及中点坐标)．
2
4.解决绝对值不等式的参数范围问题常用以下两种方法:
(1)将参数分类讨论,将其转化为分段函数解决;
(2)借助于绝对值的几何意义,先求出
含参数的绝对值表达式的最值或取值范围,再根据题目要求,求解参数的取值
范围.
5.解答
此类问题应熟记以下转化:f(x)>a恒成立?f(x)>a;f(x)
max
>a;f(x)
min
max
≤a;f(x)<
a无解?f(x)
min
≥a.
【考点分类】
考向一
求直线或曲线的极坐标方程和参数方程
1.【2017天津】在极坐标系中，直线
4
?
cos(
?
?)?1?0
与圆
?
?2sin
?<
br>的公共点的个数为___________.
【答案】2
?
6
2.
【
2018
年全国卷Ⅲ】在平面直角坐标系倾斜角为的直线与
（
1
）求的取值范围；
（
2
）求中点的轨迹的参数方程．
交于两点．
中，的参数方程为（为参数），过点且
【答案】（
1
）
（
2
）
为参数，
【解析】（
1
）
方程为
的取值范围是
的直角坐标方程为
．与
．
交于两点当且仅当
．当时，与
，解得
交于两点．当
或，即
时，记
或
，
则的
．综上，
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（
2
）的参数方程为
且，满足
为参数，
．于是
<
br>．设，，对应的参数分别为，，，则
，．又点的坐标满足
，
所以点的轨迹的参数
方程是
为参数，
．
考向二
极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化
1.
【
2018
年
全国卷
II
】在直角坐标系
（为参数）
.
（
1
）求和的直角坐标方程；
（
2
）若曲线截直线所得线段的中点坐标为
【答案】（1）当
时，的直角坐标方程为
，求的斜率．
，当时，的直角坐标方程为．（2）<
br>中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为
（
2
）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点
又由①得
在内，所以①有两个
解，设为，，则
，故，于是直线的斜率
．
．
2.【20
17课标II】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C
1
的极坐
标方程为
?
cos
?
?4
. <
br>（1）M为曲线
C
1
上的动点，点P在线段OM上，且满足
|OM|?
|OP|?16
,求点P的轨迹
C
2
的直角坐标方程；
（2）设点
A的极坐标为
(2,
2
?
3
)
，点B在曲线
C2
上，求
△OAB
面积的最大值.
【答案】(1)
?
x?2
?
?y
2
?4
?
x?0
?
；
(2)
2?3
。
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【解析】
（2）设点B的极
坐标为
?
?
B
,
?
??
?
B
?0
?
,由题设知
OA?2,
?
B
?4cos
?
,于是
△OAB
面积
S?
1
OA?
?
B
?sin?AOB
2
?
??
?4cos
?
?sin
?
?
?
?
3
?
?
?
?
3
?
?2sin
?
2
?
?
?
?
3
?
2
?
?2?3。
当
?
??
?
12
时，S取得最大值
2?3
。
所以
△OAB
面积的最大值为
2?3
。
考向三
参数方程与极坐标方程的应用
1.
【
2018
年江苏卷】在极坐标系中，直
线
l
的方程为
C
截得的弦长．
【答案】直线
l
被曲线
C
截得的弦长为
，曲线<
br>C
的方程为，求直线
l
被曲线
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所以．因此，直线
l
被曲线
C
截得的弦长为．
?
x?3cos
?
,
2.【2017课标1】在直角坐标系xOy中，曲线C的
参数方程为
?
（θ为参数），直线l的参数方程为
y?sin
?
,<
br>?
?
x?a?4t,
（t为参数）
．
?
y?1?t
,
?
（1）若
a??1
，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为
17
，求
a
．
【答案】（1）
(3,0)
，
(?
【解析】
2124
（2）
a?8
或
a??16
．
,)
；
2525
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当
a??4
时，
d
的最大值为
a?9
a?9
?17
，所以
a
?8
； ．由题设得
17
17
?a?1?a?1
?17
，所
以
a??16
． ．由题设得
1717
当
a??4
时，d
的最大值为
综上，
a?8
或
a??16
．
【方法总结】
1．极坐标与直角坐标互化
(1)前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正向重合；③取相同的单位长度．
(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限，以便正确地求出角θ. <
br>2．求曲线的极坐标方程的步骤：①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；②由曲线上
的点所适合
的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；③将列出的关系式进行整理、
化简，得出曲线上
的极坐标方程．
3．参数方程化为普通方程的关键是消参数：一要熟练掌握
常用技巧(如整体代换)，二要注意变量取值范围的一致
性，这一点最易忽视．
4.参数方程
化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减
消去
法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．
5.对于极坐标和参数方程的问题,既可以通过极坐标和参数方程来解决,也可以通
过直角坐标解决,但大多数情况下,
把极坐标问题转化为直角坐标问题,把参数方程转化为普通方程更有
利于在一个熟悉的环境下解决问题.这样可以
减少由于对极坐标和参数方程理解不到位造成的错误.
考向四 绝对值不等式的解法
【2017课标3】已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式
f
?
x?
?x?x?m
的解集非空，求m的取值范围.
2
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【答案】(1)
xx?1
；
??
(2)
?
-?，
?
【解析】
?
?
5
?
4
?
?
?3,
?
（1）
f
?
x
?
?
?
2x?1,
?
3,
?
x＜?1?1?x?2
x＞2
当
x＜?1
时，
f
?<
br>x
?
?1
无解；
当
?1?x?2
时，由
f
?
x
?
?1
得，
2x?1?1
，解得
1?
x?2
当
x＞2
时，由
f
?
x
?
?1
解得
x＞2
.
所以
f
?
x
??1
的解集为
xx?1
.
??
考向五
绝对值不等式的参数范围问题
1.
已知
（
1
）当
（
2
）若
【答案】
(1)
【解析】
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．
时，求不等式
时不等式
.(2)
．
的解集；
成立，求的取值范围．
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1
）当
故不等式
（
2
）当
时，
的解
集为
时
；若，
．
，即
成立等价于当
的
解集为
2
时
，所以，故
成立．若，则当时
．
．综
上，的取值范围为
2.【2017课标1】已知函数
f(x)??x?ax?4
，g(x)?|x?1|?|x?1|
．
（1）当
a?1
时，求不等式
f(x)?g(x)
的解集；
（2）若不等式
f(x)?g(x)
的解集包含[–1，1]，求
a
的取值
范围．
【答案】（1）
{x|?1?x?
【解析】
?1?17
}
；（2）
[?1,1]
．
2
（2）当
x?[?1,1]
时，
g(x)?2
．
所以f(x)?g(x)
的解集包含
[?1,1]
，等价于当
x?[?1,1
]
时
f(x)?2
．
又
f(x)
在
[?1,1]
的最小值必为
f(?1)
与
f(1)
之一，所以
f(?1)
?2
且
f(1)?2
，得
?1?a?1
．
所以
a
的取值范围为
[?1,1]
．
考向六
不等式的证明
1.
【
2018
年江苏卷】若
x
，
y
，
z
为实数，且
x+2y+2z=6
，求的最小值．
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【答案】4
2.【2017课标II】已知
a?0,b?0,a?b?2
。证明：
（1）
(a?b)(a?b)?4
；
（2）
a?b?2
.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
55
33
(2)因为
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?
a?b
?
3
?a
3
?3a
2
b?3ab
2
?b
3<
br>?2?3ab
?
a?b
?
3
?
a?b
??2?
4
2
?
a?b
?
3
3
?
a?b
?
?2?,
4
所以
?
a?b
?
?8
，因此
a?b?2
.
3
考向七 不等式的综合应用
【山东省济南省
2018
届三模】已知函数
(1)
解不等式
(2)
若
【答案】
(1)
，且
,
证明
:
;(2).
；
，并求时，的值
.
.
（
2
）解法一
:
，
，
当且仅当
解法二：
当
当
当时，
时，<
br>，即时
“
”
成立；由可得：
，
.
时，
；
；
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的最小值为，
，
当且仅当，即时
“”
成立；由可得：
.
【方法总结】
1.绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号．
2.绝对值的性质使绝对值不等式很难
直接求解，我们应把它转化为易于求解的不等式或不等式组来解，它体现了
化归思想的具体运用． 3.绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时也有独特的作用，需灵活运用，同时还要注意等号成立
的条
件．
4.解绝对值不等式常用的三种解题思路及应用的思想为:
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想;
(2)利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想. 绝对值式子的零点相当重要，以绝对值的零点为
界点进行分段，这
样在某一个区间段内绝对值式子可变为不等式或不等式组．然后将求得的结果与前面分
段的区间求交集，最后再
对几个不同分段的区间求并集，则得该绝对值不等式的解集．(1)用零点分段
法解绝对值不等式的步骤：①求零点；
②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个
结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端
点值．
(3)通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想. 图象法，数形结合可以求解含有绝对
值的不等式，使
得代数问题几何化，即通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
5.常用的证明不等式的方法:
(1)比较法,比较法包括作差比较法和作商比较法; (2)综合法,利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质,推导
出所要证明
的不等式;
(3)分析法,证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使
这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为
判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定这些
充分条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立;
(4)反证法,可以从正难则反的角度考虑,即要
证明不等式A>B,先假设A≤B,由题设及其他性质推出矛盾,从而肯定
A>B.凡涉及的证明不等式
为否定命题、唯一性命题或含有“至多”“至少”“不存在”“不可能”等词语时,可以考虑用反
证法;
(5)放缩法,要证明不等式A
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1．【2018届北京市十一学校三模】若直线
A. -4或6 B. -6或4
C. -1或9 D. -9或1
【答案】A
【解析】把直线
直线：
〔为参数)与圆
；圆：.
〔为参数)与圆(为参数)相切，则（ ）
(为参数)的参数方程分别化为普通方程得：
此直线与该圆相切，
解得
故选：A.
或6.
，
2．【2018年天津卷】已知圆
则的面积为___________.
的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，
【答案】
【解析】
3．【2018年北京卷】在极坐标系中，直线
【答案】
【解析】
因为，
与圆相切，则a=__________．
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由
由，得
，得
，即
，
，即，
因为直线与圆相切，所以
4．过椭圆
__________．
【答案】
【解析】
.
，则该直线斜率为（为参数）的右焦点作
一直线交椭圆于、两点，若
由题可知椭圆方程为：，右焦点为（），故可设直线的参数方程为：（t为参
数），
所以
故斜率为：
，联立方程：
5．【2018年全国卷Ⅲ】设函数
（1）画出
（2）当
的图像；
，，求
．
的最小值．
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【答案】（1）
【解析】
（2）的最小值为.
（1）
的图像如图所示．
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6．【2018
届江西省抚州市临川区第一中学最后一模】以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
已知曲
线的极坐标方程为
（1）写出曲线的参数方程；
（2）在曲线上任取一点，过点作轴，轴的垂
直，垂足分别为，，求矩形
【答案】(1)
【解析】
.(2).
的面积的最大值.
.
（2）由（1）可设点的坐标为
令
，故当
，
时，
，
.
，
.
，则矩形的面积为
7．【2018届江苏省盐城中学全仿真】在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐
标系.已知曲线的极坐
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标方程为，直线的参数方程为(为参数).
(I)求曲线的直角坐标方程;
(I)若点在曲线上，且到直线的距离为1，求满足这样条件的点的个数.
【答案】(Ⅰ)
【解析】
(I)由
即
得
；
，故曲线的直角坐标方程为：，
；(Ⅱ)3个.
(Ⅱ)由直线的参数方程消去参数得
因为圆心到直线的距离为
，即.
，恰为圆半径的，
所以满足这样条件的点的个数为3个.
8．在平面直角坐标系
参数）.
中，曲线的参数方程为，曲线的参数方程为（为
（1）求曲线，的普通方程；
（2）求曲线上一点到曲线距离的取值范围.
【答案】(1)
（2）
【解析】
.
；.
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9.【2018届安徽省
淮南市二模】已知函数
(1)解不等式
(2)若关于的不等式
【答案】（1）
【解析】
(1)不等式
当
当
当时，
时，
时，
解
得
可化为
解得
解得
即;
或.
.
即
即
；
：
或
.
的解集为，求实数的取值范围.
；（2）或
综上所述:不等式
(2)由不等式
的解集为
可得
，
，即
解得或
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故实数的取值范围是或.
1
0．【2018届湖北省华中师范大学第一附属中学5月押题】以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴
，
且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线的参数方程为
方程为．
（为参数，），曲线的极坐标
（1）若，求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
的最小值．
（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求
【答案】(1)
【解析】
，.(2).
（2）将直线的参数方程代入，得.
由题意知，设，两点对应的参数分别为，，则，.
∴ ．
∵
∴当
，
，即时，
，
的最小值为
.
．
. 11.【2018届河北省衡水中学三轮复习七】已知函数
（1）当
（2）若函数
【答案】（1）
【解析】
（1）时，不等式可化为，即
时，求不等式的解集；
的图像与轴没有交点，求实数的取值范围.
或；（2）
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∴
即或
或
.
，
12．【2018届江苏省盐城中学全仿真】已知
(I)试利用基本不等式求的最小值；
(Ⅱ)若实数满足，求证：.
，且.
【答案】(Ⅰ)3；(Ⅱ)证明见解析.
【解析】
(I)由三个数的均值不等式得：
(当且仅当
（Ⅱ）
（当且仅当
整理得：
即
即
时取“=”号)，故有.
，由柯西不等式得：
时取“=”号）
，即.
，关于的不等式
13．【2018届湖南省长沙市长郡中学高考模拟卷（二）】已知函数
欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰
厚。
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的解集记为.
（1）求；
（2）已知，
【答案】（1）
【解析】
，求证：.
（2）见解析
（2）证明：∵，
∴
∵
∴.
，.
，∴
，
，
，
，
，
14.【2
018届河南省南阳市第一中学第十八次考】已知函数
（1）当
（2）
【答案】(1)
【解析】
（1）当
①当
令
②当
令
③当
令
时，
，即
时，
时，
，即
时，
，即
，
，解得
.
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时，求不等式
，
.(2)
的解集；
，求的取值范围.
.
，
，
，此时无解；
，
，所以；
，
综上所述，不等式的解集为
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