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2012年高考真题理科数学答案解析汇编:概率

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 04:28
tags:高中数学资源网

高中数学必修一求函数值域视频-高中数学命题知识视频

2020年9月20日发(作者:邹大鹏)



2012年高考真题理科数学答案
解析汇编:概率


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2012年高考真题理科数学解析汇编:概率
一、选择题
1 .(2012年高考(辽宁理))
在长为12cm的线段AB上任取一
2

率为
A.
1

6
C.现作一矩形,领边长分别等于线
( )
B.
1

3
C.
2

3
4
D.
5

段AC,CB的长,则该矩形面积小于32cm的概
2 .(2012年高考(湖北理))如图,在圆心角为直角的
扇形
OAB
中,分别以
OA
,
OB
为直径作两
个半圆. 在扇形
OAB
内随机取一点,则
此点取自阴影部分的概率是 ( )
21
A.
1?
π
B.
1
?


2
C.
π

3 .(2012年高考(广东理))
D.
1

π
(概率)从个位数与十位数之和为


B.
1

3
2
C.
9

奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概



4
A.
9
D.
1

9
4 .(2012 年高考(北京理))
0?x?2
设不等式组
?
表示的平面区
?
0?y?2
?
域为 D.在区域D内随机取一个点,则此
点到坐标原点的距离大于2的概率是
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A.
?

4
( )
?2
B.
?
2
C.
?

6
2
?
D.
4?

4
5 .(2012年 高考(上海理))

10?x?x
1
?x
3
?x
4
?10
4
5
,
x
5
?10
5
. 随机变

?
取值
x

x

x
、< br>x

x
的概率均为0.2,随机
11
2
3
4
变量
?
取值
2
x
1
?x
2
2
x
2
?x
3
2

x
3
?x
4
2

x
4
?x
5
2

x
5
?x
1
2
的概率也为
0.2.
若记


A.
D
?
>
D
?
.
12
D?
1

D
?
2
分别为
?
1

?
2
的方差,则

B
12

D
?
1
=
D
?
2
.

1
C.
D
?
<
D
?
.
212
3
D.
D
?

D
?
的大小关系与< br>x

x

x

x
的取
4
值 有关.
二、填空题
6 .(2012年高考(上海理))
三位同学参加跳高、跳远 、铅球
项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则
有且仅有
两人选择的项目完全相同的概率是
______(结果用最简分数表示).
7 .( 2012年高考(上海春))
某校要从
2
名男生和
4
名女生中选
4
人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选
出的志愿者中,男、女都有的概率为 ______(结
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果用数值表示).
8 .(2012年高考(江苏))
现有10个数,它们能构成一个以1
为首项,
?3为公比的等比数列,若从这10个数
中随机抽取一个数,则它小于8的概率是____.
9 .(2012年高考(新课标理))
某个部件由三个元件按下图方
式连接而成,元 件1或元件2正常工作,且元件
3
正常工作,则部件正常工作,设三个电子元
件的使用寿命(单位:小时)均服从
正态 分布
N(1000,50)
,且各个元件能否正常相
2
互独立,那么该部件的 使用寿命

元件1
元件3
元件2

1000小时的概率为 _________





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三、解答题
10 .(2012年高考(天津理))
现有4个人去参加某娱乐活动,
该活动有甲、乙两个游戏可供 参加者选择.为
增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均
匀的骰子决定自己去参加个游戏, 掷出点数为
1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的
人去参加乙游戏.
(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的
概率:
(Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大
于去参加乙游戏的人数的概率:
(Ⅲ) 用
X,Y
分别表示这4个人中去参加甲、
乙游戏的人数,记
?
=|X ?Y|
,求随机变量
?
的分
布列与数学期望
E
?
.




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11.(2012年高考(新课标理))
某花店每天以每枝
5
元的价格从
农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝
10元的价
格出售,
如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处
理.
(1) 若花店一天购进
16
枝玫瑰花,求当天的
利润
y
(单位:元)关于当 天需求量
n

(单位:枝,
n?N
)的函数解析式.
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量
(单位:枝),整理得下表:
以100天记录的各需求量的频率作为各需
求量发生的概率.
(i)若花店一天购进
16
枝玫瑰花,
X
表示当天
的利润(单位:元),求
X的分布列,
数学期望及方差;
(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰
花,你认为应购进16枝还是17枝?
请说明理由.
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12.(2012年高考(浙江理))
已知箱中装有4个白球和5个黑
球,且规定:取出一个 白球的2分,取出一个黑
球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取
到的机会均等)3个球 ,记随机变量
X
为取出3
球所得分数之和.
(Ⅰ)求
X
的分布列;
(Ⅱ)求
X
的数学期望
E
(
X
).



13.(2012年高考(重庆理))
(本小题满分13分,(Ⅰ)小问 5
分,(Ⅱ)小问8分.)
甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约
定甲先投且 先投中者获胜,一直到有人获胜
或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次
投篮投中的概率为< br>1
,乙每次投篮投中的概
3
率为
1
,且各次投篮互不影响.
2
(Ⅰ) 求甲获胜的概率;
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(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数
?
的分布
列与期望

14.(2012 年高考(四川理))
某居民小区有两个相互独立的安
全防范系统(简称系统)
A

B
,系统
A

B
在任
1
意时刻发生故 障的概率分别为
10

p
.
(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不 发生
49
故障的概率为
50
,求
p
的值;
(Ⅱ) 设系统
A
在3次相互独立的检测中不发
生故障的次数为随机变量
?
, 求
?
的概率分布
列及数学期望
E
?
.






15.(2012年高考(陕西理))
某银行柜台 设有一个服务窗口,
假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都
是整数分钟,对以往顾客办理 业务所需的时间
统计结果如下:
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从第一个顾客开始办理业务时计时.
(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办
理业务的概率;
(2)
X表示至第2分钟末已办理完业务的顾
客人数,求
X
的分布列及数学期望.



16.(2012年高考(山东理))
先在甲、乙两个靶.某 射手向甲
靶射击一次,命中的概率为
3
,命中得1分,没
4
有命中得 0分;向乙靶射击两次,每次命中的
概率为
2
,每命中一次得2分,没有命中得0分.
3
该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手
完成以上三次射击.
(Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率;
(Ⅱ)求该射手的总得分
X
的分布列及数学
期望
EX
.

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17.( 2012年高考(辽宁理))
电视传媒公司为了了解某地区电
视观众对某类体育节目的收视情况 ,随机抽取
了100名观众进行调查.下面是根据调查结果
绘制的观众日均收看该体育节目时间 的频率
分布直方图;

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟
的观众称为“体育迷”.
(Ⅰ)根据已知 条件完成下面的
2?2
列联表,
并据此资料你是否认为“体育迷”与性别
有关?

(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现
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在从该地区大量电视观众中,采用随机抽
样方法每次抽取1名 观众,抽取3次,记被抽
取的3名观众中的“体育迷”人数为
X
.若
每次抽取 的结果是相互独立的,求
X
的分布
列,期望
E(X)
和方差
D(X)
.
附:



18.(2012年高考(江西理 ))
n(n
11
n
22
?n
12
n
21< br>)
2
?
?,
n
1?
n
2?
n
?1
n
?2
2

如图,从
A
1
(1,0 ,0),A
2
(2,0,0),B
1
(0,2,0),B
2
(0,2,0),C
1
(0,0,1),C
2
(0,0,2)这6个点中随机 选取3个
点,将这3个点及原点O两两相连构成一个
“立体”,记该“立体”的体积为随机变量
V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,
此时“立体”的体积V=0).

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(1)求V=0的概率;
(2)求V的分布列及数学期望.




19.(20 12年高考(江苏))

?
为随机变量,从棱长为1的正方
体的12条棱中任 取两条,当两条棱相交时,
?
?0
;
当两条棱平行时,
?
的 值为两条棱之间的距离;
当两条棱异面时,
?
?1
.
(1)求概率
P(
?
?0)
;
(2)求
?
的分布列,并求其数学期望
E(
?
)
.


20.(2012年高考(湖南理))
某超市为了解顾客的购物量及结< br>算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该
超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.




1

4

5

8

9

1
2
13

16

1
7


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(人
)




(分

人)
1 1.
5
x


30 2
5
y



1
0
2 2.
5
3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件
的顾客占55%.
(Ⅰ)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结
算时间X的分布列与数学期望;
(Ⅱ )若某顾客到达收银台时前面恰有2位
顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求
该顾客结算前 的等候时间不超过
...
2 钟的概
率.
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(注:将频率视为概率)






21.(2012年高考(湖北理))
根据以往的经验,某工程施工期< br>间的降水量
X
(单位:mm)对工期的影响如下
表:
X?300

300?X?700700?X?900X?900


工0 2 6 10
历年气象资料表明,该工程施工期间降水量
X
小于300,700,900的概率分别为
0.3,0.7,0.9. 求:
(Ⅰ)工期延误天数
Y
的均值与方差;
(Ⅱ)在降水量
X
至少是
300
的条件下,工期延
误不超过6天的概率.


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22.(2012年 高考(广东理))
(概率统计)某班50
位学生期中考试数学成绩的频
率分布直方图如 图4所示,其中
成绩分组区间是:
?
40,50
?

?50,60
?

?
60,70
?

?
70,80
?

?
80,90
?

?
90 ,100
?
.
(Ⅰ)求图中
x
的值;
(Ⅱ)从成绩不低 于80分的学生中随机选取
2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)
的人数记为
?
,求
?
的数学期望.




23.(2012年高考(福建理))
受轿车在保修期内维修费等因素
的影响,企业生产每 辆轿车的利润与该轿车首
次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产
甲、乙两种品牌轿车,保修 期均为2年,现从该
厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,
统计书数据如下:
品甲 乙
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0?x?11?x?20?x?2



x

轿


量2 3
4
(
5
5

)



1 2 3
1.8


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4
5


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(


)
将频率视为概率,解答下列问题:
(I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一
辆, 求首次出现故障发生在保修期内的概
率;
(II)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为
X
,生产一辆乙品
1
牌轿车的利润为
X
,分别求
X,X
的分布列;
2
12
(III)该厂预计今 后这两种品牌轿车销量相
当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌
轿车,若从经济效益的角度 考虑,你认为应
该产生哪种品牌的轿车?说明理由.


24.(2012年高考(大纲理))
(注意:在试题卷上作答无效)
...... ...
乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分
在10平前,一方连续发球2次后,对方再连
续发球2次,依次轮换,每次发球,胜方得1
分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载


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发球,发球方得1分的概率为< br>0.6
,各次发球
的胜负结果相互独立,.甲、乙的一局比赛中,
甲先发球.
(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1
比2的概率;
(2)
?
表示开始第4次发球时乙的得分,求
?
的期望.




25.(2012年高考(北京理))
近年来,某市为促进生 活垃圾的
分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收
物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的 垃圾
箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随
机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生 活
垃圾,数据统计如下(单位:吨):


圾”


厨余

物”


可回

圾”


其他
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余垃


回收


他垃


400 100 100
30 240 30
20 20 60
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可
回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别

a,b,c
,其中
a?0,
a?b?c?600
.
当数据
a,b,c
的方差
S
最大时,写出
a,b,c
的值
2
(结论不要求证明),并求此时S
的值.
(注:方差
s?
1
[(x?x)?(x?x)?L? (x?x)]
,其中
x

n
2
2222
12nx
1
,x
2
,Lx
n
的平均数)



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26.(2012年 高考(安徽理))
某单位招聘面试,每次从试题库
随机调用一道试题,若调用的是
A< br>类型试题,则
使用后该试题回库,并增补一道
A
类试题和一

B
类型试题入库,此次调题工作结束;若调用
的是
B
类型试题,则使用后该试 题回库,此次调
题工作结束.试题库中现共有
n?m

试题,其中有
n

A
类型试题和
m

B
类型试
题,以
X
表示两次调题工作完成后,试题库

A
类试题的数量.
(Ⅰ)求
X?n?2
的概率;
(Ⅱ)设
m?n
,求
X
的分布列和均值(数学期
望).



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2012年高考真题理科数学解析汇编:概率参考答案
一、选择题
1.
【答案】C
【解析】设线段AC的长为
x
cm,则线段CB的
长为(
12?x
)cm,那么矩形的面积为
x( 12?x)
cm,

x(12?x)?32
,解得
x?4或x? 8
.又
0?x?12
,所以该矩
形面积小于32cm
2
的概 率为
2
,故选C
3
【点评】本题主要考查函数模型的应用、不
等 式的解法、几何概型的计算,以及分析问
题的能力,属于中档题.
考点分析:本题考察几何 概型及平面图形面积
解析:令
OA?1
,扇形
OAB
为对称图
形,
ACBD
围成面积为
S
,围成
OC

S,
12
2
2.
求法.
作对称轴
OD
, 则过
C
点.
S
即为以
OA

2
直径的半圆 面积减去三角形
OAC
的面
.在扇形
OAD

S
2
为扇
第8题图
形面积减去三角形
OAC
面积和
积,
1
1
?
1
?
111
?
?2
S
2
?
?
??
????
2
?
2
?
22 28
2
S
2
2
1
?
?
?
1
?
,
S
28
1
2
1S
?
?2
? ?
2
?
8216
,
S?S
12
?
?
?2
4
,扇形
OAB

?
,选A. 积
S?
1
4
3.
解析:D.两位数共有90个,其中个位数与十位
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数之和为奇数的两位数有45个,个位数为0的
51
有 5个,所以概率为
45
?
.
9
4.
【答案】D
【解析】题目中
?
?
0?x?2
?
?
?
0 ?y?2
表示的区域表示正方
形区域,而动点
D
可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分,因此
1
2?2?
?
?2
2< br>4?
?
4
p??
2?24
,故选D
【考点定位】 本小题是一道综合题,它涉及
到的知识包括:线性规划,圆的概念和面积
公式、概率.
5.
[
=
t
,
E
?
?t)
2
2

x
1
?x
2
2
析]
E
?
x
4
?x
5
2
1
?0.2(x
1?x
2
?x
3
?x
4
?x
5
)
?0.2(
+
x
2
?x
3
2
+
x
3
?x
4
2
+
+
x
5
?x
1< br>2
)=
t
,
+
(x
2
D
?1
?0.2[(x
1
?t)
2
?t)
2
+(x
3
+
(x
4
?t)
2
+
(x5
?t)
2
]
;
,
有大
2222
?0.2[(x
1
2
?x
2
?x
3
?x< br>4
?x
5
)?2(x
1
?x
2
?x
3
?x
4
?x
5
)t?5t
2
]

x
1
?x
2
2
?
?x
1
,
x< br>2
?x
3
2
?
?x
2
,,
x
5
?x
1
2
?
?x
5
,同理得
与< br>x
2
1
2222
?x
2
?x
3
?x
4
?x
5
?
2
?x
2
?
2
?x
3
?
2
?x
4
?
2
?x
5
?
2
)?2(x
1
?
?x
2
?
? x
3
?
?x
4
?
?x
5
?
)t? 5t
2
]
D
?
2
?0.2[(x
1
只要比 较
x
?
1
2
?
2
?x
3
?
2
?x
4
?
2
?x
5
?
2
?x
2
小,
?
2
?x
2
?
2
?x
3
?
2
?x
4
?
2
?x
5
?
2
?
1
x
1
[(x
1
?x
2
)
2
?(x
2
?x
3
)
2
??? (x
1
?x
2
)
2
]
4


22222
?
1
[2(x?x?x?x?x)?(2x
1
x
2
?2x
2
x
3
?2x
3
x
4< br>?2x
4
x
5
?2x
5
x
1
)]< br>12345
4
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222222
?
1
[2(x
1
2
?x
2
?x
3
2
?x
4
?x
5
2
)?(x
1
2
?x2
)?(x
2
?x
3
2
)?(x
3
2
?x
4
)?(x
4
?x
5
2
)?(x5
2
?x
1
2
)]
4

2222< br>?x
1
2
?x
2
?x
3
?x
4?x
5
,所以
D
?
2
?D
?
1
,选A.
[评注] 本题的数据范围够阴的,似乎为了
与选项D匹配,若为此范围面困惑 ,那就中
了阴招!稍加计算,考生会发现
E
?

E
?
相等,
12
其中的智者,更会发现第二组数据是第一组
数据的两两平均值,故比第一 组更“集
中”、更“稳定”,根据方差的涵义,立得
D
?
1
二、填空 题
6.
>
D
?
而迅即攻下此题.
2
k
n
2
3
[解析] 设概率
p=
,则
n?C?C
3
2
?C
3
2
?27
,求k
,分
2
3
三步:①选二人,让他们选择的项目相同,有
C1
C
3
种;②确定上述二人所选择的相同的项目,有
种;③确定另一人所 选的项目,有
C
种. 所以
1
2
11
k?C
32
?C
3
?C
2
?18
,故
p=
18
27
?
2
3
.
7.
8.
14
15

【考点】等比数列,概率.
【解析】∵以1为 首项,
?3
为公比的等比数
列的10个数为1,-3,9,-27,···其中有5< br>个负数,1个正数1计6个数小于8,
∴从这10个数中随机抽取一个数,它小于8
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3
【答案】
5
.


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63
的概率是
10
=
.
5
9.
3
【解析】使用寿命超过1000小时的概率为
8

三个电子元件的使用寿命均服从正态分布
N(1000,50)

2
得:三个电子元件的使用寿命超过1000小
时的概率为
p?
1

2
超过1000小时时元件1或元件2正常工作
的概率
P?1?(1?p)
1
2
?
3
4

那么该部件的使用寿命超过1000小时的概
率为
p
三、解答题
10.
2
?p
1
?p?
3
8

【命题意图】本小题主要考查古典概型及其计
算公式,互斥事件、事件的相互独立性、离散
型 随机变量的分布列与数学期望等基础知识.
考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
依 题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏
2
的概率为
1
,去参加乙游戏的概率 为.设
33
“这4个人中恰有
i
人去参加甲游戏”为事
2
) ()
. 件
A(i?0,1,2,3,4)
,则
P(A)?C(
1
33
i
i
i
4
i4?i
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(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概
2
率为< br>P(A)?C(
1
)()
33
2
2
4
22< br>?
8
27
.
(2)设“这4人中去参加甲游戏的人数大于
去参加乙游戏的人数”不事件
B
,则
B?A?A
,
34
由于
A

A
互斥,故
3
4
1
3
1
3
2
4
1
4
P(B)?P(A
3
)?P( A
4
)?C
4
()()?C
4
()?
3339
所以这4人中去参加甲游戏的人数大于去
参加乙游戏的人数的概率为
1
.
9
(3)
?
的所有可能的取值为
0,2,4
,由于
A

A

1
3
斥,
A

A
互斥,故
04
P(
?
?0)?P(A
2
)?
84017
,P(
?
?2)?P(A
1
)?P(A
3
)?,P(
?
?4)?P(A
0
)?P(A
4
)?
278181

所以
?
的分布列为


0
8
27
2
40
81
4
17
81

84017148
?2??4??
随机变量
?
的数学期望
E
?
?0?
27
.
81 8181
【点评】应用性问题是高考命题的一个重要
考点,近年来都通过概率问题来考查,且常
考常新,对于此类考题,要注意认真审题,从
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数学与实际生活两个角度来理解问题的实
质,将问题成功转化为 古典概型,独立事件、
互斥事件等概率模型求解,因此对概率型应
用性问题,理解是基础,转化 是关键..
11.
【解析】(1)当
n?16
时,
y?16?(10?5)?80


n?15
时,
y?5n?5(16?n)?10n?80
得:
?
10n?80(n?15)
y?
?
(n?N)
8 0(n?16)
?

(2)(i)
X
可取
60
,
70
,
80

P(X?60)?0.1,P(X?70)?0.2,P(X?80)?0.7

的分布列为
60

70

80

X

0.1

0.2

0.7

P


EX?60?0.1?70?0.2?80?0.7?76

DX?16?0.1?6?0.2?4?0.7?44

X
222
(ii)购进17枝时,当天的利润为
y?(14?5?3?5 )?0.1?(15?5?2?5)?0.2?(16?5?1?5)?0.16?17?5?0.54?76. 4

76.4?76
得:应购进17枝
12.
【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知
(Ⅰ)
X
的可能取值有:3,4,5,6.
3
C
5
5
P(X? 3)?
3
?
C
9
42
识点.
; < br>1
C
5
2
C
4
20
P(X?4)??
3
42
C
9
;
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12
C
5
C
4
15
P(X?5)??
3
42
C
9
;
3
C
4
2
P(X?6)?
3
?
C
9
42
.
故,所求
X
的分布列为
X
P

3 4
2010
?
4221
5
155
?
4214
6
21
?
4221

(Ⅱ) 所求
X
的数学期望
E
(
X
)为:
E
(
X
)=
?
i?P(X?i)?
13
.
3
6
i?4
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
13
.
3
13.
【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列
和期望与相互独立事 件的概率,考查运用概率
知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指
两事件发生的概率互不影 响,注意应用相互独
立事件同时发生的概率公式.
解:设
A,B
分别表示 甲、乙在第
k
次投篮投中,
kk

P
?
Ak
?
?
1
3
,
P
?
B
??
1
,
k?
?
1,2,3
?
< br>2
k
(1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一
个发生的概率与相互独立事 件同时发生的
概率计算公式知,
P
?
C
?
?P
?< br>A
?
?P
?
ABA
?
?P
?
ABA BA
?

?P
?
A
?
?P
?
A
?
P
?
B
?
P
?
A
?
? P
?
A
?
P
?
B
?
P
?
A
?
P
?
B
?
P
?
A
?

111211223
111211223
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1211
?
2
??
1
?1
?????
??
?
??
?
3323
?
3
??
2
?
3
11113
????
392727
22


(2)
?
的所有可能为:
1,2,3

212
由 独立性知:
P
?
?
?1
?
?P
?
A
?
?P
?
AB
?
?
1
???

3323
111
211
?
2
??
1
?
2
P
?
?
?2
?
?PA
1
B
1A
2
?PA
1
B
1
A
2
B
2
????
????
?
323
?
3
??
2< br>?
9
???
?
?
22

?
2??
1
?
1
P
?
?
?3
?
? PA
1
B
1
A
2
B
2
?
????
?
?
3
??
2
?
9
?
22

综上知,
?
有分布列
?

1
2
P


3
2
2

9
3
1

9
2113
从而,
E
?
?1?
2
?2??3??
(次)
3999
14. < br>[解析](1)设:“至少有一个系统不发生故
149
1-P(C)=1-
10
P=
50
,解得P=
1
4 分
5
11
(2)由题意,P(
?
=0)=
C(
10

)?
1000
0
3
3
障”为事件C,那么
11 27
)(1?)?
P(
?
=1)=
C(
10
< br>101000
1
3
2
11243
)(1?)?
P(< br>?
=2)=
C(
10

101000
2
3
2
11729
)(1?)?
P(
?
=3)=
C(< br>10

101000
3
3
03
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所以,随机变量
?
的概率分布列为:
?

0 1 2

P

故随机变量X的数学期望为:

E
?
=0
0?
1000
.
?1??2??3??
10
1
1000

27
1000

243
1000

3
729

1000
[点评]本小题主要考查相互独立事件,独立
重复 试验、互斥事件、随机变量的分布列、
数学期望等概念及相关计算,考查运用概率
知识与方法解 决实际问题的能力.
15.
解析:设
Y
表示顾客办理业务所需的时间,用 频
率估计概率,得
Y
的分布列如下:
Y

P
1
0.
1
2
0.
4
3
0.
3
4
0.
1
5
0.
1

(1)A
表示事件“第三个顾客恰好等待4分
钟开始办理业务”,则事件A对应三种情
形 :
①第一个顾客办理业务所需的时间为1分
钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载


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分钟;②第一个顾客办理业务所 需的时间为
3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间
为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业 务
所需的时间均为2分钟.
所以
P(A)?P(Y?1)P(Y?3)?P(Y? 3)P(Y?1)?P(Y?2)P(Y?2)

?0.1?0.3?0.3?0.1?0.4?0.4?0.22

(2)解法一
X
所有可能的取值为
0,1,2

X?0
对应第一个顾客办理业务所需的时间超
过2分钟,
所以
P(X?0)?P(Y?2)?0.5

X?1
对应第一个顾 客办理业务所需的时间为
1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超
过1分钟,或第一个顾客办 理业务所需的时
间为2分钟.
所以
P(X?1)?P(Y?1)P(Y?1)?P(Y?2)

?0.1?0.9?0.4?0.49

X?2
对应两个顾客办理业务所需时间均为1
分钟,
所以
P(X?2)?P(Y?1)P(Y?1)?0.1?0.1?0.01

所以
X
的分布列为
X

0
P

0.5
1 2
0.01 0.49
EX?0?0.5?1?0.49?2?0.01?0.51

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解法二
X
所有可能的取值为
0,1,2

X?0
对应第一个顾客办理业务所需的时间超
过2分钟,
所以
P(X?0)?P(Y?2)?0.5

X?2
对应两个顾客办理业务所需时间均为1
分钟,
所以
P(X?2)?P(Y?1)P(Y?1)?0.1?0.1?0.01

P(X?1)?1?P(X?0)?P(X?2)?0.49

所以
X
的分布列为
X

0
P

0.5
16.
1 2
0.01 0.49
EX?0?0.5?1?0.49?2?0.01?0.51

2
1
解析:(Ⅰ)
P?
3
?()
43
?
1
1
127
?C
2
???
43336
;
(Ⅱ)
X?0,1,2,3,4,5

P(X?0)?
11
2
13111
1
121
?()?.P(X?1)??()
2
?,P(X?2)?C
2
??
433643124339
,
P (X?3)?
3
1
121121321
C
2
??,P(X? 4)??()
2
?,P(X?5)??()
2
?
433343943 3

5
1

3
X
P
0
1
36
1
1
12
2
1

9
3
1

3
4
1
9
< br>11
111
EX=0×
36
+1×
12
+2×
1
+3×+4×+5×=
9393
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415
?3
1212
17.
.
【答案及解析】
(I)由频率颁布直方图可知,在抽取的100
人中,“体育迷” 有25人,从而2×2列联表
如下:

由2×2列联表中数据代入公式计算,得:

因为3.030<3.841,所以,没有理由认为“体
育迷”与性别有关.
(I I)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”
的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众
中抽取 一名“体育迷”的概率为
1
,由题意,
4
,从而X的分布列为:
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【点评】本题主要考查统计中的频率分布直
方图、独立性检验、离散型随机变量的分布
列,期望
E(X)
和方差
D(X)
,考查分析解决问题
的能力、运算 求解能力,难度适中.准确读取
频率分布直方图中的数据是解题的关键.
18.
. 【解析】
解:(1)从6个点中随机地选取3个点共有
3
C
6
?20
种选法,选取的3个点与原点O在同一
1
3
3
4< br>个平面上的选法有
CC
3

P(V?0)?
12
?< br>
205
?12
种,因此V=0的概
124
(2)V的所有 可能值为
0,
1
,,,
,因此V的分布
6333
列为
V 0

1
6
1
3
2
3
4
3

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P

1
20
3
20
3
20
1
20

由V的分布列可得:
3111323419
EV=
0?
5

???????? ?
62
【点评】本题考查组合数,随机变量的概率,
离散型随机变量的分布列、期望等 . 高考中,
概率解答题一般有两大方向的考查.一、以
频率分布直方图为载体,考查统计学中 常见
的数据特征:如平均数,中位数,频数,频率
等或古典概型;二、以应用题为载体,考查条
件概率,独立事件的概率,随机变量的期望
与方差等.来年需要注意第一种方向的考
查 .
19.
【答案】解:(1)若两条棱相交,则交点必为正
方体8个顶点中的一 个,过任意1个顶点恰有
3条棱,
∴共有
8C
对相交棱.
2
3

8C
3
2
8?34
P(
?
?0)=
2
??
C
12
6611
.
(2)若两条棱平行,则它们的距离为1或
2
,
其中距离为
2
的共有 6对,

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P(
?
?2) =
661
??
2
C
12
6611
,
P(< br>?
?1)=1?P(
?
?0)?P(
?
?2)=1?
416
?=
111111
.
∴随机变量
?
的分布列是:
?
0
4
11
1

6
11
2

P(
?
)

1
11

∴其数学期望
616?2
.
E(
?
)=1??2?=
111111
【考点】概率分布、数学期望等基础知识.
【解析】(1)求出两条 棱相交时相交棱的对
数,即可由概率公式求得概率
P(
?
?0)
.
(2)求出两条棱平行且距离为
2
的共有6对,
即可求出
P(
?
?2)
,从而求出
P(
?
?1)
(两条棱平行
且距离为1和两条棱异面),因此得到随机变

?
的分布列,求出其数学期望.
20.
【解析】(1)由已知,得
25?y?10?55,x?y?35,
所以
x?15,y?20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成
一个 总体,所以收集的100位顾客一次购物
的结算时间可视为总体的一个容量随机样
本,将频率视 为概率得
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p(X?1)?
153 303251
?,p(X?1.5)??,p(X?2)??,
14
201101p(X?2.5)??,p(X?3)??.
100510010


2
1
4
X
的分布为
1
3
20

X
P
1.5
3
10
2.5
1
5
3
1
10

X的数学期望为
E(X)?1?
33111
?1.5??2??2.5? ?3??1.9
20104510
.
(Ⅱ)记A为事件“该顾客结算前的等候时
间不超过2 钟”,
X(i?1,2)为该顾客前面第
i

i
顾客的结算时间,则
P(A)?P( X
1
?1且X
2
?1)?P(X
1
?1且X
2?1.5)?P(X
1
?1.5且X
2
?1)
12
.
由于顾客的结算相互独立,且
X,X
的分布列
都与X的分布列相同,所以
P(A)?P(X
1
?1)?P(X
2
?1)?P(X
1< br>?1)?P(X
2
?1.5)?P(X
1
?1.5)?P(X
2
?1)

?
3333339
??????
20
.
故该顾客结算前的等候时间不超过2 钟的
9
概率为
80
.
【点评】本题考查概率统计的基础知识,考
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查分布列及数学期望的计算,考查运算能
力、分析问题能力.第 一问中根据统计表和
100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客
占55%知
25 ?y?10?100?55%,x?y?35,
从而解得
x,y
,计算每一
个 变量对应的概率,从而求得分布列和期望;
第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关
系,从而 求得
该顾客结算前的等候时间不

超过
..
2 钟的概率.
21.
P
A
4
考点分析:本题考察条件概率、离
散型条件概率分布列的期望与
方差.
G
F
3
5
D
E
B
C
图 ①
解析:(Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式
有:
P(X?300)?0.3,P(300?X?700)?P(X?700)?P(X?300)?0.7?0.3?0.4
,
P(700?X?900)?P(X?900)?P(X?700)?0.9?0.7?0.2
P(X?900)?1?P(X?900)?1?0.9?0.1
.
.
所以
Y
的分布列为:
Y
P


0
0.
2
0.
6
0.
10
0.
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3 4 2 1

于是,
E(Y)?0?0.3?2?0.4?6?0.2?10?0.1?3
; < br>D(Y)?(0?3)
2
?0.3?(2?3)
2
?0.4?(6?3 )
2
?0.2?(10?3)
2
?0.1?9.8
.
故工期延误天数
Y
的均值为3,方差为
9.8
.
(Ⅱ)由概率的加法公式,
P(X?300)?1?P(X?300)?0.7,


P(300?X?900)?P(X?900)?P(X?300)?0.9?0.3?0. 6
.
由条件概率,
.

P( 300?X?900)0.66
??
P(X?300)0.77
P(Y?6X?300 )?P(X?900X?300)
?
故在降水量
X
至少是
300mm的条件下,工期延
6
误不超过6天的概率是
7
. 22.
解析:(Ⅰ)由
?
0.006?3?0.01?0.054?x
?
?10?1
,解得
x?0.018
.
(Ⅱ)分数在
?< br>80,90
?

?
90,100
?
的人数分别是50?0.018?10?9
人、
50?0.006?10?3
人.所以
?
的取值为
,
,所以
.
11
C
3
C< br>279
P
?
?
?1
?
?
2
9
??
C
12
6622
0、1、2.
C
3
0< br>C
9
2
366
P
?
?
?0
?
???
2
C
12
6611
C
3
2
C9
0
31
P
?
?
?2
?
?
2
??
C
12
6622
,
?
的数学期望是
E
?
?0?
23.
691111
?1??2???
1122 22222
【考点定位】本题主要考查古典概型、互斥事
件的概率、离散型随机变量的分布列、 数学期
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望等基础知识,考查数据处理能力、应用意识、
考查必然与或然思想.
解:(1) 设“品牌轿车甲首次出现故障在保
?31
修期内”为事件
A
,则
P( A)?
2
50
?
.
10
(2)依题意
X,X
的分布列分别如下:
12
X
2
1.82.9

p

1
10

9
10

X
1



p
1
1
25
2
3
50
3
9
10

E(X
1
)?1?


(3)由(2)得 139
?2??3??2.86
255010
19
E(X
2)?1.8??2.9??2.79
1010
E(X
1
)?E(X
2
)
24.

,所以应生产甲品牌的轿车.
【命题意图】 本试题主要是考查了独立事件的
概率的求解,以及分布列和期望值的问题.首
先要理解发球的具 体情况,然后对于事件的情
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况分析、讨论,并结合独立事件的概率求解结
论.
解:记
A
i< br>为事件“第i次发球,甲
123
胜”,i=1,2,3,则
P(A)?0.6, P(A)?0.6,P(A)?0.4
.
(Ⅰ)事件“开始第
4
次发球时 ,甲、乙的比分

1

2
”为
AAA?AAA?AAA,由互斥事件有一
123123123
个发生的概率加法公式得
P(A
1
A
2
A
3
?A
1
A
2
A3
?A
1
A
2
A
3
)
?0.6?0. 4?0.6?0.4?0.6?0.6?0.4?0.4?0.4
?0.352
.
即开始第
4
次发球时,甲、乙的比分为
1

2

概 率为0.352
(Ⅱ)由题意
?
?0,1,2,3
.
P(< br>?
?0)?P(A
1
A
2
A
3
)?0.6? 0.6?0.4?0.144
P(
?
?1)?P(A
1
A
2
A
3
?A
1
A
2
A
3
?A
1
A
2
A
3
)
?0.4?0.6?0.4?0.6?0. 4?0.4?0.6?0.6?0.6
;
=0.408;
P(
?
?2)?0.352
;

所以
E
?
?0.408?2?0.352?3?0.096?1.4

P(
?
?3)?P(A
1
A
2
A
3
)?0.4?0.4?0.6?0.096
【点评】首先从试题的选材上来源于生活,
同学们 比较熟悉的背景,同时建立在该基础
上求解进行分类讨论的思想的运用,以及能
结合独立事件的 概率公式求解分布列的问
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题.情景比较亲切,容易入手,但是在讨论情
况的时候,容易丢情况.
25. < br>【考点定位】此题的难度集中在第三问,其他
两问难度不大,第三问是对能力的考查,不要
求证明,即不要求说明理由,但是要求学生对
方差意义的理解非常深刻.
4002
(1)由题意可知:
600
=

3
3
(2)由题意可知:
200+60+40
=

100010
(3)由题意可知:
s
a?600
26.
2
1
?(a
2
?b
2
?c
2
?120000 )
3
2
,因此有当
,
b?0
,
c?0
时, 有
s?80000
.
【解析】(I)
X?n?2
表示两次调题均 为
A
类型试
n?1
题,概率为
m
n

?
?nm?n?2
(Ⅱ)
m?n
时,每次调用的是
A
类型试题 的概率

p?
1

2
随机变量
X
可取
n,n?1,n?2

P(X ?n)?(1?p)
2
?
P(X?n?2)?p
2
?
14
,

1

4
n
P(X?n?1)?2p(1 ?p)?
1
2
,
X

P

1
4

n?1

1

2
n?2

1

4
111
EX?n??(n?1)??(n?2)??n?1
424

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n?1
答:(Ⅰ)
X?n?2
的概率为
m
n

?
?nm?n?2
(Ⅱ)求
X
的均值为
n?1



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