解排列组合应用题的21种策略——高三数学解排列组合应用题

3eud教育网 http: 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！
解排列组合应用题的21种策略
排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型 多样，思路灵活，不易掌
握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应 用题的有效
途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.
1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
例1.
A,B,C,D,E
五人并排站成一排，如果
A,B
必须相邻且
B
在
A
的右边，那么不同的排法
种数有（ ）
A、60种 B、48种 C、36种 D、24种
4
?24
种，解析：把
A,B
视为一人，且
B
固定在
A的右边，则本题相当于4人的全排列，
A
4
答案：
D
.
2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再
把规定的 相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）
A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种
解析：除甲乙外，其余5个排列数为
A
5
5
种，再用甲乙去插6个空 位有
A
6
2
种，不同的排法种
52
A
6
? 3600
种，选
B
. 数是
A
5
3.定序问题缩倍法:在排 列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方
法.
例3.
A,B ,C,D,E
五人并排站成一排，如果
B
必须站在
A
的右边（
A,B
可以不相邻）那么不
同的排法种数是（ ）
A、24种 B、60种 C、90种 D、120种
解析：
B
在
A
的右边与
B
在
A
的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全 排列数的
1
5
一半，即
A
5
?60
种，选
B
.
2
4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排 入，第二步再排
另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
例4.将数字1，2，3，4填 入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方
格的标号与所填数字均不相同的填法有 （ ）
A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其
它三个方 格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种
填法，选
B
.
5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.
例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承
担 这三项任务，不同的选法种数是（ ）
A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种
解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8 人中选1人承担乙项任务，第三
211
C
8
C
7
?2520
种，选
C
. 步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有
C
10
3eud教育网 http: 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

3eud教育网 http: 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！
（2）12名同学分别到三个不同的 路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方
案有（ ）
44
C
12
C
8
4
C
4
A、
CCC
种 B、
3CCC
种 C、
CCA
种 D、种
3< br>A
3
4
12
4
8
4
4
4
1 2
4
8
4
4
4
12
4
8
3
3
答案：
A
.
6.全员分配问题分组法:
例6.（1）4名优 秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案
有多少种？
解析：把 四名学生分成3组有
C
4
2
种方法，再把三组学生分配到三所学校有
A
3
3
种，故共有
23
C
4
A
3
?36
种方法.
说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
A、480种 B、240种 C、120种 D、96种
答案：
B
.
7.名额分配问题隔板法:
例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至
少一个，可 以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，
故共有不同的分配方案为
C
9
6
?84
种.
8.限制条件的分配问题分类法: < br>例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建
设， 其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
①若甲乙都不 参加，则有派遣方案
A
8
4
种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法 ，
然后安排其余学生有
A
8
3
方法，所以共有
3A
8
3
；③若乙参加而甲不参加同理也有
3A
8
3
种；④若< br>甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有
A
8< br>2
种，
共有
7A
8
2
方法.所以共有不同的派遣方法 总数为
A
8
4
?3A
8
3
?3A
8
3
?7A
8
2
?4088
种.
9.多元问题分类法：元 素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别
计数，最后总计.
例9（ 1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数
字的共有（ ）
A、210种 B、300种 C、464种 D、600种 解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有
A
5
5
个，

A
4
A
3
A
3
,A
3
A
3
A
3
,A
2
A
3
A3
,A
3
A
3
个，合并总计300个,选
B
.
3eud教育网 http: 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

3eud教育网 http: 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ < br>（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数
的取法（不计顺序）共有多少种？
解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能 被7整除，将这100个数
组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做
A?
?
7,14,21,L98
?
共有14个元素,不能
被7整除的数组成的集合记 做
A?
?
1,2,3,4,L,100
?
共有86个元素；由此可知 ，从
A
中任取2
2
11
C
86
个元素的取法有C
14
，从
A
中任取一个，又从
A
中任取一个共有C
14
，两种情形共符合要
211
?C
14
C
86
?1295
种. 求的取法有
C
14
（3）从1，2，3，…， 100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）
有多少种？
解析： 将I?
?
1,2,3L,100
?
分成四个不相交的子集，能被4整除的数集 A?
?
4,8,12,L100
?
；
能被4除余1的数集
B ?
?
1,5,9,L97
?
，能被4除余2的数集
C?
?< br>2,6,L,98
?
，能被4除余3
的数集D?
?
3,7,1 1,L99
?
，易见这四个集合中每一个有25个元素；从
A
中任取两个数符 合要；
从
B,D
中各取一个数也符合要求；从
C
中任取两个数也符合 要求；此外其它取法都不符合要
2112
?C
25
C
25
? C
25
求；所以符合要求的取法共有
C
25
种.
10.交 叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式
n(A?B)?n(A )?n(B)?n(A?B)
.
例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛， 如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，
共有多少种不同的参赛方案？
解析：设全集=｛6人中任 取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒
的排列｝，根据求集合元素个数的 公式得参赛方法共有：
332
?A
5
?A
4
?252
种.
n( I)?n(A)?n(B)?n(A?B)
?A
6
4
?A
5
11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它
的元素。
例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少
种 ？
1
解析：老师在中间三个位置上选一个有
A
3
种，4名同学在其 余4个位置上有
A
4
4
种方法；所
14
A
4
?72
种。. 以共有
A
3
12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题 可归结为一排考虑，再分段处理。
例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共
A
6
6
?720
3eud教育网 http: 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

3eud教育网 http: 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！
种，选
C
.
（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2 个元素要排在前排，某1个
元素排在后排，有多少种不同排法？
解析：看成一排，某2个元素 在前半段四个位置中选排2个，有
A
4
2
种，某1个元素排在后
1< br>半段的四个位置中选一个有
A
4
种，其余5个元素任排5个位置上有
A
5
5
种，故共有
125
A
4
A
4
A
5
?5760
种排法.
13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:
例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，
则不同的取法共有 （ ）
A、140种 B、80种 C、70种 D、35种
解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取 另一种型号的电视机，
333
?C
4
?C
5
?70
种,选.
C
故不同的取法共有
C
9
解析2：至少要甲型和乙 型电 视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙
112
?C
5
C< br>4
?70
台,选
C
. 型1台；故不同的取法有
C
5
2
C
4
14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再 安排到一定的位置上，可
用先取后排法.
例14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3， 4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少
种？
解析：先取四个球中二个为一组，另二组各 一个球的方法有
C
4
2
种，再排：在四个盒中每次
23
3< br>A
4
?144
种. 排3个有
A
4
种，故共有
C
4
（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不 同
的分组方法？
解析：先取男女运动员各2名，有
C
5
2
C
4
2
种，这四名运动员混和双打练习有
A
2
2
中 排法，故共
22
A
2
?120
种. 有
C
5
2
C
4
15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从 总数中减去不符合
条件数，即为所求.
例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）
A、70种 B、64种 C、58种 D、52种
解析 ：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成
C
8
4
四面体，但6个表面 和6个对角
面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有
C
8
4
?12?58
个.
（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）
A、150种 B、147种 C、144种 D、141种
4
解析：10个点中任取4个点共有
C
10
种，其中四点共面的有三种情况： ①在四面体的四个面
3eud教育网 http: 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

3eud教育网 http: 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ < br>上，每面内四点共面的情况为
C
6
4
，四个面共有
4C
6
4
个；②过空间四边形各边中点的平行四边
形共3个；③过棱上三点与对棱中点的 三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是
4
C
10
?4C
6< br>4
?3?6?141
种.
16.圆排问题单排法:把
n
个不 同元素放在圆周
n
个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时
钟）不同的排法才算不同 的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同
的，它与普通排列的区别在于只计顺序 而首位、末位之分，下列
n
个普通排列：
a
1
,a
2,a
3
L
,a
n
;a
2
,a
3
,a
4
,
L
,a
n
,
L
;a
n
,a
1
,
L
,a
n?1
在圆排列中只算一种，因为 旋转后可以重合，故
认为相同，
n
个元素的圆排列数有
n!
种.因此 可将某个元素固定展成单排，其它的
n?1
元素
n
全排列.
例16.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？
解析：首先可让5位姐 姐站成一圈，属圆排列有
A
4
4
种，然后在让插入其间，每位均可插入
其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式
24?2
5
?768
种不同站法.
1
m
A
n
种不同排法.
m
17. 可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约
说明：从
n
个不同元素中取出
m
个元素作圆形排列共有
束，可逐一安排元素的位置， 一般地
n
个不同元素排在
m
个不同位置的排列数有
m
n种方法.
例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
解析：完成 此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：
将第二名实习生分配到车 间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有
7
6
种不同
方案.
18.复杂排列组合问题构造模型法:
例18.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯， 现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的
二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有 多少种？
解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯
C< br>5
3
种方法,
所以满足条件的关灯方案有10种.
说明：一些不易理 解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒
模型可使问题容易解决.
19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:
例19.设有编号为1，2，3，4， 5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投
入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种
不同的方法？
解析：从5个球中取出2个与 盒子对号有
C
5
2
种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，
利用 枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，
当3号球装入 4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也
3eud教育网 http: 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

3eud教育网 http: 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！
只有1种装法，所以剩下三球只有2 种装法，因此总共装法数为
2C
5
2
?20
种.
20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:
例20.（1）30030能被多少个不同偶数整除？
解析：先把30030分解成质因数的 形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，
3，5，7，11，13这5 个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为
135
C
5
0
?C
5
?C
5
2
?C
5
?C
5
4?C
5
?32
个.
（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？ < br>解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不
同的四 面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有
C
8
4
?12?58
个，所以8个顶
点可连成的异面直线有3×58=174对.
21.利用对应思想转 化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问
题转化为简单问题处理.
例21.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？
解析：因 为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应
着两条弦相交于圆内的 一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同
44
的四边形，显然有C
10
个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有
C10
个.
（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从
A
到
B
的最短路径有多
少种？
B
A

解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从
A
到
B
最短路线必须走7小段，其 中：向东4
段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确< br>定路径，因此不同走法有
C
7
4
种.
3eud教育网 http: 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！