2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习考点集训：考点一 选修4-4.2 直线的参数方程及其应用

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考点一 直线的参数方程及其应用
【典例1】已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角
坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参
数方程是(t是参数) .
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程.
(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=
α的值.
【解析】(1)因为ρcos θ=x,ρsin θ=y,ρ
2
=x
2
+y
2
,
所以曲线C的极坐标方程ρ=4cos θ可化为
ρ
2
=4ρcos θ,所以x
2
+y
2
=4x,
所以(x-2)
2
+y
2
=4.
(2)将
α)
2
=4,
化简得t
2
-2tcos α-3=0.
设A,B两点对应的参数分别为t
1
,t
2
,
则
代入圆的方程(x-2)
2
+y
2
=4得:(tcos α-1)
2
+(tsin
,求直线的倾斜角
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所以|AB|=|t
1
-t
2
|=
=< br>因为|AB|=
所以cos α=±
,
,所以
.

=.
因为α∈[0,π),所以α=或α=π.
所以直线的倾斜角α=或α=π.

1.本例中若直线l的参数方程为
与曲线C的位置关系.
2.本例中若直线l的倾斜角为,试求直线与曲线C相交所得的弦长
|MN|.
【解析】1.直线l的方程化为x-y-1=0,
圆的方程化为x
2
+y< br>2
=4x,即(x-2)
2
+y
2
=4,则圆心到直线的距离
d==<2,则直线与圆相交.
(m为参数),判断直线l
2.直线的参数方程为< br>圆的方程为x
2
+y
2
=4x,
(t为参数),
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则+=4,即t
2
-t-3=0,
令点M,N对应的参数分别是t
1
,t
2
,
则t
1
+t
2
=1,t
1
t
2
=-3,
=

直线的参数方程在解决弦长问题中的应用
已知直线l经过点M
0
(x
0
,y
0
),倾斜角为α,点M(x,y)为l上任意一点, 则
直线l的参数方程为(t为参数).
==.
(1)将直线的参数方程化为普通方程,利用直角坐标系中直线与圆锥曲
线的知识解决. (2)若M
1
,M
2
是直线与圆锥曲线的交点,对应的参数分别为t1
,t
2
,则
=
【变式备选】
已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cos θ,以极点为平面直角坐标系的
原点,极轴为x轴的正半轴, 建立平面直角坐标系,直线L的参数方程是
(t为参数).
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程.
(2)设点P(m,0),若直线L与 曲线C交于A,B两点,且|PA|·|PB|=1,求
实数m的值.
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,||=|t
2
-t
1
|=.

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【解析】(1)曲线C的极坐标方程是ρ=2cos θ,
化为ρ
2
=2ρcos θ,得x
2
+y
2
=2x,
直线L的参数方程是(t为参数),
消去参数t可得x=y+m.
(2)把(t为参数),代入方程x
2
+y< br>2
=2x,化为
t
2
+(m-)t+m
2
-2m=0 ,
由Δ>0,解得-1令A,B对应的参数分别为t
1
,t
2
,
所以t
1
t
2
=m
2
-2m,
因为|P A|·|PB|=1=|t
1
t
2
|,所以m
2
-2m=± 1,
解得m=1±,1,又满足Δ>0,
,1. 所以实数m=1±
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